26.4 第2课时最大利润问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十六章二次函数 第2课时 最大利润问题 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.某服装品牌厂家生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经 销商愿意经销5000件，并且表示每件每降价0.1元，愿意相应多经销500件.设厂家的批发价是 x元/件，下列说法中，错误是 () A.销售量可以表示为(70000一5000x)件 B.销售额可以表示为13×(70000一5000x)元 C.所获利润可以表示为[-5000(x-12)2+20000]元 ↑y/个 D.当批发价为12元/件时，所获利润最大，为20000元 20 2.某食品零售店新上架一款冷饮，每个的成本为8元，在销售过程中，10 每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10≤ x≤20时，其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮的 1020x/(元/个) 最大利润为 元（利润=销售额一成本）· (第2题) 3.教材变式题[2025大庆中考]为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A,B两种 文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪 念品的成本之和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成，规定：每套纪念品 的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）.如果每套纪念品的售价为72元，那么每 天可销售80套.经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套.设每天的 利润为W元，每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数). (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本， (2)当a为何值时，每天的利润最大？ 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.某快餐店销售A,B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出的份数分别为40,80.该店为了 增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范 围内，每份A种快餐的利润每降低1元可多卖2份，每份B种快餐的利润每提高1元就少卖2份. 如果这两种快餐每天的销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元 5.“地摊经济”一时兴起，小惠计划在夜市销售一款产品，进价每件40元，售价每件110元，每天可 以销售20件，每销售一件需缴纳摊位管理费用a元(a>0).未来30天，这款产品将开展“每天降 价1元”的大促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现：该产品 39 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数t (t为正整数)的增大而增大，则a的取值范围应为 6.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（利润 与投资量的单位：万元). (1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数解析式. (2)该专业户计划用8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额万元，种植花卉和 树木共获利润万元，请直接写出心关于的函数解析式，并求他能获取的最小利润和最大利润. (3)若该专业户想获利不低于22万，在(2)的条件下，请直接写出投资种植花卉的金额m的范围. ↑y/万元 yy/万元 -/P(1,2) Q(2,2) 12x/万元 -2-1012x/万元 ① ② (第6题) 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.某商店销售一种商品，在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y(件)是售价x(元/ 件)的一次函数，其售价x(元/件)、月销售量y(件)、月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价x/(元/件) 40 45 月销售量y/件 300 250 月销售利润w/元 3000 3750 注：月销售利润=月销售量X(售价一进价) (1)求y关于x的函数解析式. (2)当该商品的售价是多少时，月销售利润最大？并求出最大利润， (3)现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润(m≤6)给慈善机构，要求：当售价不超过52元 时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大.求m的取值范围. 40 >“答案与解析”见P23三：小辉的说法不对.理由：设菜地的面积为S平方米，则 S=x(48-3x)=-3x2+48x=-3(x-8)2+192 :一3<0，抛物线的对称轴为直线x=8.在取值范围 内，y随x的增大而减小.∴当x=9时，S取得最大值，最 大值为189..189<192，∴.小辉的说法不对. 第2课时最大利润问题 1.B销售量=原销量十多经销的销量，故销售量可以表 示为500+17×500=(-500z+7000)件，故A正 确，不符合题意.销售额可以表示为x(一5000x十70000) 元，故B错误，符合题意.所获利润可以表示为(x一10)· (-5000x+70000)=-5000x2+120000x-700000= [一5000(x一12)2十20000]元，故C正确，不符合题意.所 获利润可以表示为[-5000(x-一12)2+20000]元，则当批 发价为12元/件时，所获利润有最大值20000元，故D正 确，不符合题意！ 2.121当10x20时，设y=kx+b.把(10,20)，(20， 10k+b=20, k=一1， 10)代入，得 。解得 ∴.每天的销售量 20k+b=10, {b=30. y(个)与销售价格x(元/个)的函数解析式为y=一x十30. 设该食品零售店每天销售这款冷饮的利润为w元，则 (x-8)y=(x-8)(-x+30)=-x2+38x-240= 一(x一19)2+121..1<0，∴.当x=19时，有最大值 为121. 3.(1)由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪 念品的成本为y元.∴ 2r十3y=15,=25·:每 {4x+y=135. (y=35. 个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为 35元.(2)由题意，每套的成本为25+35=60（元），售价 为a元，.每套的利润为(a-60)元.当售价为72元 时，销量为80套，每降价1元销量相应增加10套，∴.销量 为80+10(72一a)=(800一10a)套.∴.W=(a一60)(800 10a)=-10a2+1400a-48000=-10(a-70)2+1000. 一10<0,65≤a≤72且a为整数，∴.当a=70时，每天 的利润最大 4.1264设每份A种快餐降价a元，则每天卖出(40十 2a)份，每份B种快餐涨价b元，则每天卖出(80一2b)份， 总利润为W元.由题意可得，40+2a+80一2b=40+80,解 得a=b,∴.W=(12一a)(40+2a)+(8+a)(80一2a)= -4a2+48a+1120=-4(a-6)2+1264.-4<0, ∴.当a=6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总 利润最多为1264元. 5.0<a<6设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元. 根据题意，得y=(110一t一40一a)(20十4t),整理，得y= -4t2+4(65-a)t+1400-20a.-4<0,当1≤t≤30(t 为正整数时y随：的谐大而增大5>2”解 得a<6.又a>0,∴.a的取值范围是0<a<6. 6.(1)设y1=.函数y1=kx的图象过点(1,2)，∴k= 2.∴利润y1关于投资量x的函数解析式为y1=2x(x≥ 0).该抛物线的顶点是原点，∴.设y2=ax2.:函数 1 y2=ax2的图象过点(2,2)，2=a·2,解得a=2 利润y关于投资量x的函数解析式为y=2x(x之 0).(2):投人种植花卉m万元(0≤m≤8)，∴.投人种 植树木8-m)万元如=28-m)十号m=号m 1 1 21+16=7(m-2)2+14.，≥0,0≤m8,.当m日 2时，的最小值是14，当m=8时，e的最大值是32. ∴.他能获取的最小利润是14万元，最大利润是32万元. (3)根据题意，当w=22时，(m一2)2+14=2，解得 m=-2(舍去)或m=6,∴.6≤m≤8. 7.(1)设一次函数解析式为y=kx十b.根据题意，得 (40k+b=300, k=一10， 解得 ∴.y与x的函数解析式为 45k+b=250, b=700, y=一10x+700.(2)由表中数据知，每件商品进价为 40X30-3000=30(元)w=(x-30)y=(x-30)· 300 (-10x+700)=一10x2+1000x-21000=-10(x- 50)2十4000.一10<0，∴.当x=50时，最大，最大值 为4000.∴.当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最 大，最大利润为4000元.(3)根据题意，得心=(x一30一 m)(-10x+700)=-10x2+(1000+10m)x-21000-700m, 对轴为直线x一-0+号m:一10< 1 0心当x≤50+2m时，w随x的增大而增大.”当x≤ 52时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增 大.且x为整数50+号m>5152.m>a.0< 1 2 m6,.∴.m的取值范围是3<m6. 第3课时抛物线形问题 1.B建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线对应的 函数解析式为y=a.x2十c.由题意，得c=2,点A(2,0),将 3