26.2 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第3课时二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.已知抛物线对应的函数解析式为y=3(x一2)2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向 左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中对应的函数解析式为 () A.y=3(x+1)2+3B.y=3(x-5)2+3C.y=3(x-5)2-1D.y=3(x+1)2-1 2.对于抛物线y=一2x十1)2+3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1, ③顶点坐标为（一1,3）；④当x>1时，y随x的增大而减小；⑤函数的最大值为3.其中，正确 结论的个数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知二次函数y=a(x一h)2十k的图象经过(0,3)，(6,6)两点，若a>0,0<h<6,则h的值可 能为 () A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知二次函数y=一(x一1)2十2，当t<x<5时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是 5.如图，二次函数y=(x一2)2+m的图象与y轴交于点C,B是点C关于该二次函数图象的对称 轴对称的点，已知一次函数y=k.x十b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的解析式. (2)抛物线上是否存在一点P(不与点C重合)，使S△4即=S△4c？若存在，求出点P的坐标： 若不存在，请说明理由、 (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.数形结合思想二次函数y=a(x一3)2十c与一次函数y=cx十a在同一平面直角坐标系中的大致 图象可能是 () 了 26 第二十六章二次函数 7.已知抛物线y=3(x一1)2十m(m为常数)经过（一2，y1),(0,y2),(3,y3)三点，则y1,y2,y3的 大小关系是 () A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y2>y3>y1 8.若当-一1≤x≤m时，函数y=(x一2)2+1的最大值为17，则m= 9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(6,2).若抛 物线y=一3(x一h)2十k(h,k为常数)与线段AB交于C,D两点，且CD= 专AB,则无的值为 (第9题) 10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)y=一2(x一m)十4图象的顶点为A,与y轴交于点B, 异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上. (1)当m=5时，求n的值 (2)当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围 (3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围. 0 (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.如图，直线y=x一3与x轴、y轴分别交于点B,A,抛物线y=a(x一2)2+k经过点A,B,其顶 点为C (1)求抛物线对应的函数解析式. (2)求△ABC的面积. (3)P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴，交直线AB于点D,求线段 PD长的最大值及此时点P的坐标. (第11题) ●“答案与解析”见P14 27m=am+c…a=-ac的值为-·2m= 2m=c. -2. B (第6题) 7.B函数图象的对称轴为直线x=h.①若h≥3，则当 x=3时，y取得最大值，即-(3-h)2=-1,解得h=2(舍 去)或h=4.②若h≤1，则当x=1时，y取得最大值，即 -(1-h)2=-1,解得h=0或h=2(舍去).③若1<h< 3,则当x=h时函数取得最大值0，不符合题意.综上所述， h=0或4. 8.B由点A,B的坐标，可知a<0.:m-h<n一h, ∴点C比点D离对称轴更近.画草图（图略）可知y1>y2. 9(0,7)过点A作AD⊥BC于点D,则AD=2. :△ABC为等边三角形，∴.AB=AC,∠ACD=60°. ·易得CD= 号AD-25c(-3+号5,2设抛物线 对应的函数解析式为y=a+3,则a(-3计2+3) 2,解得a=y=号(c+3.当x=0时y-号， :抛物线与y轴的交点坐标为(0，号) 10.(1):抛物线的顶点坐标为(2,0)，∴.设抛物线对应 的函数解析式为y=a(x一2)2.：该抛物线经过点(4,1)， ÷1=0X(4-2,解得a=子.抛物线对应的函数解 析式为y=子（x-2)=子-x十1.(2)存在.联立 y=4x, x1=1, 解得1 :=4:点A的坐标 y= 4x2-x十1， y=4,y2=1. 为(1，)，点B的坐标为(4,1D.作点B关于直线y=-1 的对称点B',连接AB交直线y=一1于点P,此时PA+ PB取得最小值.易知点B'的坐标为(4，一3).设直线AB 对应的函数解析式为y=kx+6(k≠0).将A(1,) 1 B(4,-3)代入y=kx+b,得 k十b=4'解得 4k+b=一3， 13 k= 121 直线AB对应的函数解析式为y=一分x十 4 1b= 3 会当)=-1时是十号一1架得器当点 P的坐标为（袋-）时，PA+PB取得最小值 11.(1):二次函数y=(x+2)2的图象与y轴交于点B, ∴.令x=0,得y=4..B(0,4).二次函数y=(x十2)2 的图象与x轴交于点A,∴.令y=0,得x1=x2=一2. ∴.A(-2,0).(2)由题意，令y=4,则4=(x+2)2, .x1=0,x2=-4..C(-4,4)..BC=4,OB=4, -2A+)XOB-X(2+ 4)×4=12.(3)①当BC为边时，有BC=AP=4,且点 P必在x轴上，设P(m,0),∴.AP=m+2.∴.m+2|= 4.∴.m1=2,m2=-6..P,(2,0),P2(-6,0).②当BC 为对角线时，对角线PA和BC互相平分，设P(x,y),易得 -2+x=-4+0,0十y=4+4,∴.x=-2,y=8,.P3(-2, 8).综上所述，满足条件的点P有三个，P,(2,0),P2(一6， 0),P3(-2,8) 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 1.C根据题意知，将抛物线y=3(x一2)2+1向下平移 2个单位长度，向右平移3个单位长度后所得抛物线对应 的函数解析式为y=3(x一5)2一1. 2C:抛物线y=一号（红+1十3，抛物线的开口 向下，对称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1,3），当x 一1时，y随x的增大而减小，函数的最大值为3，∴.当x> 1时，y随x的增大而减小.故①③④⑤共4个正确. 3.A:'二次函数y=a(x一h)2十k的图象经过(0,3)、 6.6两点0>0.0<60<h<5,即A<a只有 选项A符合题意. 4.1≤t<5:a=一1<0，∴.抛物线开口向下.，抛物 线的对称轴为直线x=1,.当x>1时，y随x的增大而 减小.：'当t<x<5时，y随x的增大而减小，∴.1≤t<5. 5.(1)将A(1,0)代入y=(x-2)2+m,得(1-2)2+m= 0,解得m=一1，.二次函数的解析式为y=(x一2)2一1. ! 当x=0时，y=4一1=3，∴.点C的坐标为(0,3).由于点 C和点B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x 2,∴.点B的坐标为(4,3).将A(1,0),B(4,3)代入y kx十b,得4k十b=3 k+b=0, 解得任二1，六一次丽数的解析式 b=一1. 为y=x一1.(2)存在.如图，过点C作CP∥AB交抛物 线于点P,则P即为所求点.'CP∥AB,∴易得直线CP 对应的函数解析式为y=x十3.联立 y=(x-2)2-1, 得 y=x+3, (x-2)2-1=x十3，.x=0(舍去)或x=5.∴.点P的坐 标为(5,8). (第5题) 6.A一次函数y=cx十a的图象经过第一、二、四象 限，∴.a>0,c<0.二次函数y=a(x一3)2十c的图象 开口向上，顶点为(3，c)在第四象限，a>0,c<0.故A 正确.一次函数y=cx十a的图象与y轴交于负半轴， .a<0..二次函数y=a(x-3)十c的图象开口向上， ∴.a>0.故B错误.二次函数y=a(x一3)2+c的对称轴 为直线x=3,在y轴右侧，故C错误.一次函数y cx十a的图象经过第一、二、三象限，∴.c>0.:二次函数 y=a(x一3)2十c的图象的顶点(3，c)在第四象限，∴.c< 0.故D错误 7.B抛物线的对称轴为直线x=1.·a=3>0,∴.抛物 线开口向上.∴点到对称轴的距离越远，函数值越大 :点(-2，y,)到直线x=1的距离为|一2-1|=3，点(0， y2)到直线x=1的距离为|0一1|=1，点(3，y3)到直线 x=1的距离为3一1=2，∴.到对称轴的距离从远到近依 次为(-2y1),(3,y3),(0,y2).∴.y1>y3>y2 8.6:二次函数y=(x一2)2+1，∴该函数图象开口向 上，对称轴为直线x=2,当x=2时，y取得最小值1.，x 一1时，y=(一1一2)2十1=10，当一1xm时，函数y (x一2)2+1的最大值为17，∴.当x=m时取得最大值，即 (m-2)2+1=17,解得m=6或m=-2(舍去). 9.5点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(6,2)， ∴.AB=6.抛物线y=一3(x一h)2+k(h,k为常数)与 线段AB交于C,D两点，且CD=专ABD=2设 点C的坐标为(c,2),则点D的坐标为(c十2,2)..h= 2十2=c十1..把C(c,2)代人y=-3(x-h)2+k,得 2 2=-3[c-(c+1)]+k,解得k=5. 10.1)当m=5时，y=-2（x-5)2+4,当x=1时，n= -合×+4=-4(2当0=2时将C1,2代人 -号（红-m)+4,得2=-号1-m)+4,解得m=3或 m=一1（舍去），∴.此时抛物线的对称轴为直线x=3.根据 抛物线的对称性可知，当y=2时，x=1或x=5,故结合图 象可知，当y≥2时，x的取值范围为1≤x≤5.(3)：点 A与点C不重合，.m≠1.，抛物线的顶点A的坐标是 (m,4),∴.抛物线的顶点在直线y=4上.当x=0时，y= 一2m+4心点B的坐标为(0，-弓m2+4小，如图，抛 1 物线从图①的位置向左平移到图②的位置前，m逐渐减 小，点B沿y轴向上移动.当点B与点O重合时，如图①， -2m2+4-0,解得m=22或m=一2/5（不合题意，舍 去)，当点B与点D重合时，如图②，顶点A也与点B,D 重合，点B到达最高点点B(0,4).一2m2十4=4 ∴.m=0.当抛物线从图②的位置继续向左平移时（如图 ③)，点B不在线段OD上，∴当点B在线段OD上时，m 的取值范围是0≤m<1或1<m<2√2. B(A D) O(B) ② D ③ (第10题) 11.(1)当x=0时，y=一3，当y=0时，x=3,∴.A(0, -3),B(3,0).将A(0,-3),B(3,0)代人y=a(x-2)2+ ,4a+k=-3, k,得 a+k=0, 县a=一1：抛物线对应的函数解 解得 {k=1, 析式为y=一（x一2)2+1=一x2十4x一3.(2)由抛物线 的顶点式，得C(2,1).设直线AC对应的函数解析式为 y=bx一3，则2b一3=1，解得b=2,∴.直线AC对应的函 数解析式为y=2x一3.当y=0时，2x一3=0，解得x= 号△ABC的面积为号×(3-2)×(1+3)=3 (3)由题意，设点P(x,-x2+4x-3)(0x<3),则 D(x,x-3),.PD=-x2+4x-3-(x-3)=-x2+ 3x=-(x-)'+号当x=号时，PD的长有最大 值，为，此时点P的坐标为（侵，是） 第4课时二次函数y=ar2+bx+c的图象和性质 1.B:原抛物线y=2x2+4x+3=2(x十1)2+1，∴.其 顶点坐标为（一1,1）..经过平移后的新抛物线的顶点坐 标为(2,3) 2.A:'y=3x2+bz+1,.当x=0时，y=1..抛物线 过点(0,1).抛物线的开口向上，对称轴为直线x= 2X3-6 b 抛物线上的点离对称轴越远，对应函数 值大84-号<-合<-：出 ->-名，二=-1<-合点A(-2)到对 -2 62 称轴的距离大于点(0,1)到对称轴的距离，小于点B(1,y2) 到对称轴的距离..1<y1<y2. 3.(1)(2,-10)(2)9 (1)抛物线y=2x2十4mx+m的对称轴为直线x=2, 4n. ·x=一2x2-2,解得m=-2.·y=2x2+4x+m= 2x2一8x一2=2(x一2)2-10..抛物线的顶点坐标为(2， 一10).(2)：二次函数y=ax2+6x十a的函数值最小 是8，a>0,y=136=8.整理，得a2-8a-9=0, Aa ∴.a=9或a=-1.:a>0,∴.a=9. 4.(1)把(2,1)代人y=-x2+ax+1,得1=-4+2a十1， 解得a=2..y=一x2+2x+1=-(x-1)2+2..图象 的顶点坐标为(1,2).(2)①把x=3代人y=一x2十 2x+1,得y=-9十6十1=-2.∴.n=-2.②m为点 Q的横坐标，点Q到y轴的距离小于2，∴.|m<2.抛 物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2)，.y的最 大值为2.2-1<1-（一2），当x=一2时，y=一4-4十 1=一7，.-7<n2. 5.A①当k>0时，函数y=x十k的图象经过第一、 二、三象限，函数y=一kx2十4红十4的图象开口向下，∴.B 不正确，不符合题意.②当k<0时，函数y=kx十k的图 象经过第二、三、四象限，函数y=一kx2十4x十4的图象开 口向上，∴.C不正确，不符合题意.函数y=一kx2十 女十4的对称箱为直线=一=是<0，A正碗，符 合题意，D不正确，不符合题意 6.A:二次函数y=mx2-4mx-3,∴.该函数图象的 对称轴为直线x=2m,与y轴的交点为(0，一3).P(xp, yp)是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤一3，分两 种情况：①当m>0时，对称轴x=2m>0,此时，当x=4 时，y≤-3，即m·4-4m2·4-3≤-3，∴.m≥1.②当 m<0时，对称轴x=2m<0,当0≤x≤4时，y随x的增大 而减小，则当0≤xp≤4时，yp≤-3恒成立.综上所述，m 的取值范围是m≥1或m<0. 7子如图，连接0C,OD,分别过点D和C作x轴的垂 线，垂足分别为M和N.:'四边形ABCD是正方形，原点 O是正方形的对角线交点，∴.OC=OD,∠COD=90°. ∴.∠CON+∠DOM=∠CON+∠OCN=90. ∴.∠DOM=∠OCN.在△DOM和△OCN中， ∠DOM=∠OCN, ∠DMO=∠ONC=90°，∴.△DOM≌△OCN.又点D OD=CO. 的坐标为(1,3)，∴.OM=CN=1,DM=ON=3.∴.点C 的坐标为3，-1D.将C3,-1D代人y=-号2+ba,得 弓×3+动=-1解得6=号 (第7题) 8.(1)当m=2时，二次函数y=a.x2+ba十3的图象过点 (一2,0)和(6,0)，把（一2,0）和(6,0)代人解析式，得 4a-2b+3=0, 1 解得 a=一4' (2):二次函数y= 36a+6b+3=0, b=1. a.x2+bx十3的图象过点（一m,0)和(3m,0),∴.抛物线的