26.2 第2课时二次函数y=ax2+k,y=(x-h)2的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第2课时 二次函数y=ax2+ky=a(x-h)2的图象和性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.已知抛物线y=ax2+2026(a>0)过A(?0 2026y1,B 2026 2027)两点.下列关系式中，一定正确 的是 () A.y1>0y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>0 2.数形结合思想在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx十b和二次函数y=k(x一b)2的图象可 能为 () B. D. 3.抛物线y=ax2一1上有一点P(2,2),平移该抛物线，使其顶，点落在点A(1,1)处.若点P落在点 Q处，则点Q的坐标为 4.已知二次函数y=3(x一3)2，当x分别取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取3x1十3x2 时，函数值为。 5.如图，抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA. (1)求抛物线对应的函数解析式. (2)若点C(一3，b)在该抛物线上，求S△ABc的值. (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.如图，抛物线y=ax2十c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在 B y轴上，则ac的值为 A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 7.分类讨论思想已知二次函数y=一(x一h)2(h为常数)，当自变量x的值满 (第6题) 足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为一1，则h的值为 A.2或4 B.0或4 C.2或3 D.0或3 24 第二十六章二次函数 8.已知抛物线y=a(x-h)2,点A(1,-5),B(7,-5),C(m,y1),D(n,y2)均在此抛物线上，且 m一h|<n一h|,则y1与y2的大小关系是 () A.yi<y2 B.yi>y2 C.yi=y2 D.不能确定 9.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与直线y=2交于B,C 两点，△ABC为等边三角形.若点A的坐标为（一3,0），则此抛物线与y轴的 交点坐标为 (第9题) 10如图，在平面直角坐际系中，抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1D,直线，与抛物 线交于A,B两点. (1)求抛物线对应的函数解析式. (2)直线y=一1上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由」 0 (第10题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.回存在性问题如图，二次函数y=(x十2)2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B. (1)求点A,B的坐标 (2)过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点C,连接AC,求四边形OACB的面积 (3)在(2)的条件下，是否存在点P,使以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 (第11题) “答案与解析”见P13 25(3k+b= A(3,0),B(0,3)代入，得 0解得二一1直 {b=3, {b=3. 线l对应的函数解析式为y=一x+3.设P(t,一t+3) (0<<3.:△A0P的面积为3，号×3(-+3)=3， 解得t=1.∴.点P的坐标为(1,2).把P(1,2)代入y ax2,得a=2.∴.二次函数的解析式为y=2x2. 11.点A的横坐标为3，AB垂直于x轴，.点B的横 坐标为3.将x=3代人y=x2,得y=9;将x=3代人y= 号，得y1点A的坐标为39》，点B的坐标为3， 1).:CD∥x轴，∴.点D的纵坐标为9.将y=9代入y 1 x,得9=9x,解得x=9或x=-9(舍去)点D 的坐标为(9,9).BE∥x轴，∴.点F的纵坐标为1.将 y=1代入y=x2,得1=x2,解得x=1或x=一1（舍去）， .点F的坐标为(1,1)..AB=8,BF=2,DA=6..四 边形ADBF的面积为？BF·AB+?DA·AB=?AB· (BF+DA)=号×8X2+6)=32, 12.(1)当y=0时，x=-2,∴.A(-2,0).(2)当ax十 2a=a.x2时，解得x=2或x=-1,∴.B(-1a),C(2, 4a).点B'与点B关于x轴对称，∴.B'(-1,-a). ∴.AC=16+16a2,B'C=9+25a2,AB'2=1+a2.①当 AC为斜边时，16+16a2=9+25a2+1+a2,解得a= 5 或a-(合去，@当B℃为斜边时，9叶2a-16+ 16a2+1+a,解得a=1或a=-1(舍去)：③当AB'为斜 边时，1+a2=16十16a2+9+25a2,此方程无实数根.综上 所述，a的值为5或1，(3)如图①，当直线y=ax+ 2a经过点(0,3)时，a=号，此时有5个格点：当直线y ar+2a经过点（1,5)时a=号，此时有6个格点，则号< 5 a<号，有6个格点如图@，当a=2时，有6个格点综上 所述，是<a<号或a=2 5 2 7 6 543 ① ② (第12题) 第2课时二次函数y=ax2+k、 y=a(x-h)2的图象和性质 1.D:抛物线y=a.x2+2026(a>0),.当x>0时，y 随x的增大而增大，且对应函数的最小值为2026.：0< 28-2为>y>a 2.D一次函数y=kx十b的图象经过第一、二、四象限， 故k<0,b>0,由二次函数y=k(x一b)2的图象可知k< 0,b<0,故选项A不符合题意.一次函数y=kx十b的图象 经过第一、二、三象限，故k>0,b>0,由二次函数y= k(x一b)2的图象可知k<0,b>0,故选项B不符合题意. 一次函数y=kx十b的图象经过第一、二、四象限，故k< 0,b>0,由二次函数y=k(x一b)2的图象可知k>0,b< 0,故选项C不符合题意.一次函数y=kx十b的图象经过 第一、二、三象限，故k>0,b>0,由二次函数y=k(x-b) 的图象可知k>0,b>0,故选项D符合题意. 3.(3,4)抛物线y=ax2一1的顶点坐标为(0，一1)， 点(0，一1)向右平移1个单位长度，向上平移2个单位 长度到点A(1,1)处，∴.点P(2,2)向右平移1个单位长 度，向上平移2个单位长度到点Q(3,4)处 4.675二次函数y=3(x一3)2的图象开口向上，对称轴 为直线x=3.·当x分别取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相 等，.x1十x2=6..31十3x2=18.∴.当x取3x1+ 3x2,即x=18时，函数值为3×15=675. 5.(1)由题意，得A(一1,0)，B(0,-1).将x=0,y=-1 代入y=a(x+1)2,得a=一1，则抛物线对应的函数解析 式为y=一(x十1)2=一x2-一2x-1.(2)如图，过点C 作CD⊥x轴于点D,将C(一3，b)代入y=一x2一2x一1， 得b=-4,即C(-3,一4)..S△=S0D一S△4cn一 1 1 1 S△0s=2X3X4+1)-2X4X2-2×1X1=8. 0 (第5题) 6.B如图，过点A作AH⊥x轴于点H.:四边形 ABCO是正方形，.∠AOB=45°.∴.∠AOH=45°= ∠OAH..AH=OH.设A(m,m),则易得B(0,2m), m=am+c…a=-ac的值为-·2m= 2m=c. -2. B (第6题) 7.B函数图象的对称轴为直线x=h.①若h≥3，则当 x=3时，y取得最大值，即-(3-h)2=-1,解得h=2(舍 去)或h=4.②若h≤1，则当x=1时，y取得最大值，即 -(1-h)2=-1,解得h=0或h=2(舍去).③若1<h< 3,则当x=h时函数取得最大值0，不符合题意.综上所述， h=0或4. 8.B由点A,B的坐标，可知a<0.:m-h<n一h, ∴点C比点D离对称轴更近.画草图（图略）可知y1>y2. 9(0,7)过点A作AD⊥BC于点D,则AD=2. :△ABC为等边三角形，∴.AB=AC,∠ACD=60°. ·易得CD= 号AD-25c(-3+号5,2设抛物线 对应的函数解析式为y=a+3,则a(-3计2+3) 2,解得a=y=号(c+3.当x=0时y-号， :抛物线与y轴的交点坐标为(0，号) 10.(1):抛物线的顶点坐标为(2,0)，∴.设抛物线对应 的函数解析式为y=a(x一2)2.：该抛物线经过点(4,1)， ÷1=0X(4-2,解得a=子.抛物线对应的函数解 析式为y=子（x-2)=子-x十1.(2)存在.联立 y=4x, x1=1, 解得1 :=4:点A的坐标 y= 4x2-x十1， y=4,y2=1. 为(1，)，点B的坐标为(4,1D.作点B关于直线y=-1 的对称点B',连接AB交直线y=一1于点P,此时PA+ PB取得最小值.易知点B'的坐标为(4，一3).设直线AB 对应的函数解析式为y=kx+6(k≠0).将A(1,) 1 B(4,-3)代入y=kx+b,得 k十b=4'解得 4k+b=一3， 13 k= 121 直线AB对应的函数解析式为y=一分x十 4 1b= 3 会当)=-1时是十号一1架得器当点 P的坐标为（袋-）时，PA+PB取得最小值 11.(1):二次函数y=(x+2)2的图象与y轴交于点B, ∴.令x=0,得y=4..B(0,4).二次函数y=(x十2)2 的图象与x轴交于点A,∴.令y=0,得x1=x2=一2. ∴.A(-2,0).(2)由题意，令y=4,则4=(x+2)2, .x1=0,x2=-4..C(-4,4)..BC=4,OB=4, -2A+)XOB-X(2+ 4)×4=12.(3)①当BC为边时，有BC=AP=4,且点 P必在x轴上，设P(m,0),∴.AP=m+2.∴.m+2|= 4.∴.m1=2,m2=-6..P,(2,0),P2(-6,0).②当BC 为对角线时，对角线PA和BC互相平分，设P(x,y),易得 -2+x=-4+0,0十y=4+4,∴.x=-2,y=8,.P3(-2, 8).综上所述，满足条件的点P有三个，P,(2,0),P2(一6， 0),P3(-2,8) 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 1.C根据题意知，将抛物线y=3(x一2)2+1向下平移 2个单位长度，向右平移3个单位长度后所得抛物线对应 的函数解析式为y=3(x一5)2一1. 2C:抛物线y=一号（红+1十3，抛物线的开口 向下，对称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1,3），当x 一1时，y随x的增大而减小，函数的最大值为3，∴.当x> 1时，y随x的增大而减小.故①③④⑤共4个正确. 3.A:'二次函数y=a(x一h)2十k的图象经过(0,3)、 6.6两点0>0.0<60<h<5,即A<a只有 选项A符合题意. 4.1≤t<5:a=一1<0，∴.抛物线开口向下.，抛物 线的对称轴为直线x=1,.当x>1时，y随x的增大而 减小.：'当t<x<5时，y随x的增大而减小，∴.1≤t<5. 5.(1)将A(1,0)代入y=(x-2)2+m,得(1-2)2+m= 0,解得m=一1，.二次函数的解析式为y=(x一2)2一1. !