26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 练习卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

26.2.3《二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质》练习卷 2026—2027学年人教版九年级数学上册（新教材·2024课标版） 命题范围：26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质（配方法化顶点式、对称轴与顶点公式、图象与系数 a、b、c 的关系、最值）　（满分：100分　考试时间：90分钟） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　考号：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效。 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个正确选项） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．抛物线 y=x²-4x+3 的对称轴是直线（　　） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=-2 2．抛物线 y=-2x²+8x-1 的顶点坐标是（　　） A．（2，7） B．（-2，7） C．（2，-7） D．（-2，-7） 3．如图，是二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论： ① a<0；② b>0；③ c>0；④ b²-4ac>0， 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若抛物线 y=x²-2x+m 与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是（　　） A．m<1 B．m>1 C．m≤1 D．m≥1 5．把二次函数 y=x²+4x+7 化为 y=a（x-h）²+k 的形式，正确的是（　　） A．y=（x+2）²+3 B．y=（x-2）²+3 C．y=（x+2）²-3 D．y=（x-2）²-3 6．已知抛物线 y=ax²+bx+c（a≠0）经过点（0，-2），且当 x=1 时，y 有最大值 3，则下列结论正确的是（　　） A．a<0，b>0，c=-2 B．a<0，b<0，c=-2 C．a>0，b>0，c=-2 D．a>0，b<0，c=-2 7．若 A（-2，y₁）、B（1，y₂）、C（3，y₃）是抛物线 y=x²-2x-2 上的三个点，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁>y₃>y₂ B．y₃>y₁>y₂ C．y₂>y₃>y₁ D．y₁>y₂>y₃ 8．如图，抛物线 y=ax²+bx+c 的对称轴为直线 x=1，且经过点 A（-1，0），则下列结论正确的是（　　） ① 2a+b=0；② 4a-2b+c>0；③ b²-4ac>0；④ a+b+c<0 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．抛物线 y=2x²-8x+1 的顶点坐标为（＿＿＿＿，＿＿＿＿）。 10．二次函数 y=x²-6x+10 的最小值是＿＿＿＿。 11．若二次函数 y=x²-2x+c 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 c=＿＿＿＿。 12．如图，抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交于 A（-1，0）、B（3，0）两点，则一元二次方程 ax²+bx+c=0 的解为＿＿＿＿；b²-4ac＿＿0（填“>”“<”或“=”）。 13．已知二次函数 y=ax²+bx+c 的图象经过点（0，-3），且顶点为（1，-4），则 b=＿＿＿＿，c=＿＿＿＿。 14．若点（-1，m）、（5，m）都在抛物线 y=x²+bx+c 上，则 b=＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共7小题，共58分。解答应写出文字说明或演算步骤） 17．（本题满分6分）用配方法将 y=-2x²+8x-5 化为 y=a（x-h）²+k 的形式，并写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值。 18．（本题满分8分）已知二次函数 y=x²-4x+1。 （1）求图象的顶点坐标和对称轴；（3分） （2）当 0≤x≤3 时，求函数的最大值和最小值。（5分） 19．（本题满分8分）抛物线 y=ax²+bx+c 经过 A（1，4）、B（2，1）、C（0，1）三点。 （1）求该抛物线的解析式；（5分） （2）求图象的顶点坐标和最大值。（3分） 20．（本题满分8分）如图，抛物线 y=-x²+bx+c 经过 A（1，0）、B（5，0）两点。 （1）求该抛物线的解析式；（4分） （2）求图象的对称轴，并判断点 P（4，3）是否在该抛物线上。（4分） 21．（本题满分10分）如图，抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交于 A（-3，0）、B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，-3）。 （1）求该抛物线的解析式；（4分） （2）求顶点 D 的坐标，并写出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大；（3分） （3）若将该抛物线先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点坐标。（3分） 22．（本题满分8分）阅读材料，解答问题。 我们知道，二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根。例如：二次函数 y=x²-2x-3 的图象与 x 轴交于点（-1，0）、（3，0），则方程 x²-2x-3=0 的根为 x₁=-1，x₂=3。 （1）二次函数 y=x²-6x+8 的图象与 x 轴交点的横坐标为＿＿＿＿；（4分） （2）已知二次函数 y=ax²+bx+c 的图象经过点（2，0），且对称轴为直线 x=4，求该图象与 x 轴的另一个交点的坐标，并写出 ax²+bx+c=0 的根。（4分） 23．（本题满分10分）如图，抛物线 y=-x²+bx+c 经过 A（-2，0）、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C。 （1）求该抛物线的解析式；（3分） （2）求抛物线的顶点 D 的坐标和△ABC 的面积；（4分） （3）若抛物线上存在点 P，使△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求所有满足条件的点 P 的横坐标。（3分） 参考答案与解析 26.2.3《二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质》练习卷（教师用） 一、选择题 1．B　解析：对称轴为直线 x=-b/（2a）=-（-4）/2=2。 2．A　解析：x=-b/（2a）=-8/（-4）=2，y=-2×4+8×2-1=7，顶点坐标为（2，7）。 3．D　解析：由图知开口向下，故 a<0；对称轴在 y 轴右侧，即 -b/（2a）>0，所以 b>0；图象与 y 轴交于正半轴，所以 c>0；图象与 x 轴有两个交点，所以 b²-4ac>0。四个结论都正确，选 D。 4．A　解析：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则 Δ=（-2）²-4×1×m>0，解得 m<1。 5．A　解析：y=x²+4x+7=（x²+4x+4）+3=（x+2）²+3。 6．A　解析：当 x=1 时 y 有最大值 3，则 a<0，且 -b/（2a）=1，得 b=-2a>0；图象经过（0，-2），得 c=-2。 7．A　解析：抛物线 y=x²-2x-2 的对称轴为直线 x=1，开口向上。y₁=4+4-2=6，y₂=1-2-2=-3，y₃=9-6-2=1，所以 y₁>y₃>y₂。 8．A　解析：对称轴为直线 x=1，即 -b/（2a）=1，得 b=-2a，故 2a+b=0，①正确；由图象知开口向下，且与 x 轴有两个交点，故 b²-4ac>0，③正确；x=-2 时 y=4a-2b+c<0，故②错误；a+b+c 是 x=1 时的函数值，即顶点纵坐标，由图知大于 0，故④错误。所以正确的是①③，选 A。 二、填空题 9．（2，-7）　解析：y=2x²-8x+1=2（x-2）²-7，顶点坐标为（2，-7）。 10．1　解析：y=x²-6x+10=（x-3）²+1，所以最小值为 1。 11．1　解析：图象与 x 轴有且只有一个交点，则 Δ=（-2）²-4c=0，解得 c=1。 12．x₁=-1，x₂=3；>　解析：图象与 x 轴交于（-1，0）、（3，0），所以方程 ax²+bx+c=0 的根为 x₁=-1，x₂=3；图象与 x 轴有两个交点，所以 b²-4ac>0。 13．-2；-3　解析：设 y=a（x-1）²-4，把（0，-3）代入，得 a-4=-3，a=1，所以 y=x²-2x-3，故 b=-2，c=-3。 14．-4　解析：点（-1，m）、（5，m）关于对称轴对称，故对称轴为直线 x=（-1+5）/2=2，即 -b/2=2，解得 b=-4。 三、解答题 17．解：y=-2x²+8x-5=-2（x²-4x）-5=-2（x-2）²+3。……3分 　　开口向下，对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，3），最大值为 3。……3分 18．解：（1）y=x²-4x+1=（x-2）²-3，顶点坐标为（2，-3），对称轴为直线 x=2。……3分 　　（2）对称轴 x=2 在区间 0≤x≤3 内，所以当 x=2 时，函数取最小值 -3。……2分 　　当 x=0 时，y=1；当 x=3 时，y=9-12+1=-2，所以最大值为 1。……3分 19．解：（1）把 A（1，4）、B（2，1）、C（0，1）代入 y=ax²+bx+c，得 　　c=1，a+b=3，4a+2b=0，解得 a=-3，b=6。……4分 　　所以抛物线的解析式为 y=-3x²+6x+1。……1分 　　（2）y=-3x²+6x+1=-3（x-1）²+4，顶点坐标为（1，4），最大值为 4。……3分 20．解：（1）把 A（1，0）、B（5，0）代入 y=-x²+bx+c，得 　　-1+b+c=0，-25+5b+c=0，解得 b=6，c=-5。……3分 　　所以抛物线的解析式为 y=-x²+6x-5。……1分 　　（2）对称轴为直线 x=-6/（-2）=3。……2分 　　把 x=4 代入 y=-x²+6x-5，得 y=-16+24-5=3，所以点 P（4，3）在该抛物线上。……2分 21．解：（1）把 A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）代入 y=ax²+bx+c，得 　　c=-3，9a-3b-3=0，a+b-3=0，解得 a=1，b=2。……3分 　　所以抛物线的解析式为 y=x²+2x-3。……1分 　　（2）y=x²+2x-3=（x+1）²-4，顶点 D 的坐标为（-1，-4）。……2分 　　开口向上，所以当 x>-1 时，y 随 x 的增大而增大。……1分 　　（3）原顶点为（-1，-4），先向右平移 2 个单位长度得（1，-4），再向上平移 5 个单位长度得（1，1），所以平移后抛物线的顶点坐标为（1，1）。……3分 22．解：（1）2，4　解析：解 x²-6x+8=0，得（x-2）（x-4）=0，即 x=2 或 x=4，所以交点横坐标为 2、4。……4分 　　（2）图象经过（2，0），对称轴为直线 x=4，则另一交点与（2，0）关于直线 x=4 对称，坐标为（6，0）。……2分 　　所以 ax²+bx+c=0 的根为 x₁=2，x₂=6。……2分 23．解：（1）把 A（-2，0）、B（4，0）代入 y=-x²+bx+c，得 　　-4-2b+c=0，-16+4b+c=0，解得 b=2，c=8。……2分 　　所以抛物线的解析式为 y=-x²+2x+8。……1分 　　（2）y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，顶点 D 的坐标为（1，9）。……2分 　　C（0，8），AB=6，所以 S△ABC=1/2×6×8=24。……2分 　　（3）设点 P 的纵坐标为 y₀。因为 S△ABP=S△ABC，所以 1/2×6×|y₀|=24，得 |y₀|=8。……1分 　　当 y₀=8 时，-x²+2x+8=8，即 x²-2x=0，解得 x=0 或 x=2；……1分 　　当 y₀=-8 时，-x²+2x+8=-8，即 x²-2x-16=0，解得 x=1+√17 或 x=1-√17。……1分 　　所以所有满足条件的点 P 的横坐标为 0、2、1+√17、1-√17。……（评分说明：用面积相等、数形结合等方法，结果正确同样给分。） 双向细目表与命题说明 命题说明：本卷参照云南省初中学业水平考试数学卷“满分100分、三大题、分步给分”的命题风格命制。2024—2025年云南中考数学卷结构为选择题15题×2分、填空题4题×2分、解答题8题共62分；本卷为课时练习卷，按26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质考查范围调整题量为选择题8题、填空题6题、解答题7题，小题每题3分，解答题按步骤给分；涉及图象的题目均配图，图形由程序按解析式精确绘制，与题目位置对应。 题号 题型 考查内容 难度 分值 1 选择 一般式对称轴公式 基础 3 2 选择 一般式顶点坐标公式 基础 3 3 选择 图象信息：a、b、c、Δ 符号判断（配图） 中档 3 4 选择 图象与 x 轴交点个数（Δ 判定） 基础 3 5 选择 配方化顶点式 基础 3 6 选择 系数与最值条件综合 中档 3 7 选择 图象上三点函数值比较（对称性） 中档 3 8 选择 图象信息：2a+b、4a-2b+c、Δ（配图） 中档 3 9 填空 一般式顶点坐标 基础 3 10 填空 配方求最小值 基础 3 11 填空 交点个数求参数 基础 3 12 填空 图象交点与方程根、Δ（配图） 基础 3 13 填空 顶点式待定系数求 b、c 基础 3 14 填空 对称性求参数 b 中档 3 17 解答 配方法化顶点式并求开口、对称轴、最值 基础 6 18 解答 顶点与区间最值 中档 8 19 解答 三点待定系数、顶点与最值 中档 8 20 解答 图象求解析式、对称轴与判断点（配图） 中档 8 21 解答 图象求解析式、顶点增减、平移顶点（配图） 中档 10 22 解答 函数与方程（阅读材料） 中档 8 23 解答 图象综合：解析式、面积、面积相等求点（配图） 较难 10 难度配比（按分值统计）：基础题33分、中档题57分、较难题10分，基础∶中档∶较难≈16∶28∶5；整体难度适中，贴近九年级上册学情与云南中考“重基础、重应用”的命题方向。 学科网（北京）股份有限公司 $