26.1 二次函数的概念&26.2 第1课时二次函数y=ax2的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.教材变式题二次函数y=2(x一3)2十2的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 () A.2,-12,20 B.2x2,-12,20 C.2,12,20 D.2,-12x,20 2.教材变式题某工厂七月份生产零件50万个，设该工厂第三季度平均每月生产的零件个数的增长 率为x.如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数解析式为 () A.y=50(1+x)2 B.y=50+50(1+x)+50(1+x)2 C.y=50(1+x)+50(1+x)2 D.y=50+50(1+x) 3.已知y=(m+2)xm+2是关于x的二次函数，则m的值为 4.教材变式题如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB边上一点（不与点A,B重合），F是AD的 延长线上一点，DF=2BE,四边形AEGF为矩形，矩形AEGF的面积y随BE的长x的变化而 变化且构成函数 (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. (2)若矩形AEGF的面积是10，求BE的长. (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。 5.易错题已知函数y=mxm+3m+2十m十9是关于x的二次函数，则m的值为 () A.0或-3 B.0或3 C.0 D.-3 6.如图所示为一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度足够长）和 D 总长为28米的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形，设大矩形垂直于旧 墙的一边长为x米，花圃总面积为y平方米，则y关于x的函数解析式为 B (用二次函数的一般形式表示)， (第6题》 7.如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上.设AE=x(0<x<2),正方形 EFGH的面积为y,求y关于x的函数解析式. (第7题) ●“答案与解析”见P11 21 拔尖持训· 数学（人教版）九年级上 26.2 二次函数的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2的图象和性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.若二次函数y=一ax2的图象经过点（一√3,2），则该图象必经过点 () A.(W3,-2) B.(2,w3) C.(2,-√5) D.(W3,2) 2.下列抛物线中，开口最大且开口向下的是 ( &一影 1 A.y=x2 C.y= D.y=-√5x2 3.数形结合思想当ab>0时，抛物线y=ax2与直线y=a.x十b在同一平面直角坐标系中的情形可 能是 () A 4.若点A(x1,8),B(x2,8)(x1≠x2)均在抛物线y=ax2上，则当x=x1十x2时，y的值是 5.易错题若二次函数y=(2一m)xm-3的图象开口向下，则m的值为 6.已知y=(k十2)x+-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大， (1)k的值为 ,对称轴为 (2)若点A的坐标为(1，m),则该函数图象上点A关于对称轴对称的点的坐标为 (3)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数图象.根据图象可知，当一2≤x<1时，y的 取值范围是 6 5 - -L 2 --1 6543210123456x 2 3 4 5 -6 (第6题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 7.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(2,y1),B(一1，y2)两点，则下列结论中，一定正确的是() A.y1>0>y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>0 22 第二十六章二次函数 8.如图，正方形OABC的顶点B在二次函数y=x2的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐 标之和等于6，则对角线AC的长为 () A.2 B.2√3 C.2√5 D.√26 013x -3-2-101234 (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1)，(3,1)，(3,3)，(1,3).若抛物线y=ax2与该正方形 有公共点，则实数a的取值范围是 10.如图，直线l过A(3,0)和B(0,3)两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P. 若△AOP的面积为3，则该二次函数的解析式为 11.如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1:y=x(x≥0)和抛物线C2:y=gx2(x0)交 于A,B两点，过点A作CD∥x轴，分别与y轴和抛物线C2交于点C,D,过点B作BE∥x轴， 分别与y轴和抛物线C1交于点E,F.若点A的横坐标为3，求四边形ADBF的面积 A (第11题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax十2a(a>0)与x轴交于点A,与抛物线y=ax2 (a>0)交于点B,C(点B在点C的左侧). (1)求点A的坐标 (2)作点B关于x轴的对称点B',若以点A,B',C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值， (3)我们把平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(0,2)，(1,1)等均为 格点.若直线y=a.x十2a(a>0)与抛物线y=a.x2(a>0)所围成的封闭图形内部（不包含边界） 的格点数有且只有6个，请直接写出α的取值范围. 0 (第12题) “答案与解析”见P12 231)2+b(x-1)十a=0变形，得二(x-1)2+(-10+ 1=0,∴.-2(x-1)2-(x-1)+1=0,即2(x-1)2+(x 1)-1=0.∴.[2(x-1)-1][(x-1)+1]=0.∴.x1=0, x2=2 16.-6a,3为方程x2-2(2-k)x十k2+8=0的两个 实数根∴Q十B=2(2-k.t=十里_2(2-k)-4 k k 2.又：△=[-2(2-k)刀2-4(k2+8)≥0，∴.k≤-1. ·-4≤看<0-6≤-2<-2，即-6<<-2. ∴.t的最小值为一6. 17.(1)(2x-1)=x(1-2x),.(2x-1)+x(2x ①=0.(2x-1D(x+1)=0,解得x1=2,x=-1 (2)3x2-10x+6=0,∴.3x2-10x=-6..x2- 号-2-9+（停）=-2+总(-）” 10 子号=±号得-- 3 (3)2x2=23x-1,.2x2-2√3x十1=0.△=b2 4ac=(-23)2-4×2×1=12-8=4>0,.x= 生远-2装-，即， Za 2X2 2 1 2 18.(1):△=[-3(m-1)]2-4×m×(2m-3)=m2 6m十9=(m一3)≥0，∴.该方程有两个实数根.(2)可 第二十六章 26.1二次函数的概念 1.Ay=2(x-3)2+2=2x2-12x十20，.该函数的 二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，一12,20. 2.B七月份生产零件50万个，则八月份生产零件50(1十 x)万个，九月份生产零件50(1+x)2万个，∴.y=50+ 50(1+x)+50(1+x)2. 3.2由题意，得|m=2且m十2≠0，解得m=2. 4.(1):'正方形ABCD的边长是4，BE=x,DF=2BE, ∴.AE=AB-BE=4-x,AF=AD+DF=4+2x.∴.y= (4-x)(4十2x)=-2x2+4x十16.点E不与点A,B重 合，.0<x<4.∴.y=-2x2+4x十16(0x<4). 11 以.理由：.m2一3(m一1)x十2m一3=0，'.(x一1)· (mm-2m十3)=0.，=1，，-2m-3.:2m-3=2 m 心当整数m=一1或-3或3时，也是正整数 3 ,该方程的两个实数根可以都为正整数。 19.(1)由题意可知，涂色部分可合成长为(40-2x)m、宽 为(30-2x)m的矩形，∴.(40-2x)(30-2x)=600,整理， 得x2-35x十150=0，解得x1=5,x2=30(不符合题意，舍 去).∴.x的值为5.(2)由题意，得(200+a)（60一 号×1）=12320整理，得a2-10a+1600=0,解得a 20,a2=80(不合题意，舍去)，∴.此时a的值为20. 20.(1)此方程为“特优方程”.理由：：x2一22x十85=0， ∴.(x-17)(x-5)=0,解得x1=17,x2=5.17>5>0, 3<号<4此方程为“特优方程、(2)由根与系数的 关系，得1十=+15】 =x1x2=42.:xf十29 3x(a,+,-5x=()- 5x“生5号解得6-器-3：6>06-8 .此时方程为4x2一18x+14=0,即2x2-9x+7=0,解 7 得0=2=1.·1>x,>0,且3<9<4.符合 “特优方程”的定义.∴.飞=3. 二次函数 (2)矩形AEGF的面积是10，.10=-2x2+4x+16, 解得x1=3,x2=-1(不合题意，舍去)..BE的长为3. m≠0， 5.D由题意，得{ 解得m=一3. m2+3m+2=2, 易错警示 二次函数必须满足的条件 (1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后 自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不为0，如本题 中易因不考虑自变量的系数出错，由m+3m十2=2解 得m的值中应去掉m=0的情况 6.y=-3x2+28x由题意，得AB=x米，BC=(28一 3x)米，.y=AB·BC=x(28-3x)=-3x2+28x 7.如图.四边形ABCD是边长为2的正方形，∴，∠A= ∠B=90°.∴.∠1+∠2=90°.，四边形EFGH为正方形 ∴.∠HEF=90°，EH=FE.∴.∠1+∠3=90°..∠2 ∠A=∠B, ∠3.在△AHE和△BEF中，∠2=∠3，∴.△AHE≌ EH=FE, △BEF..AE=BF=x,AH=BE=2-x.在R△AHE 中，由勾股定理，得EH=AE2+AH=x2+(2-x)2= 2x2-4x+4.∴.y=2x2-4x+4(0<x<2). H 29 F (第7题) 26.2二次函数的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2的图象和性质 1.D.点(W3,2)与（一√3,2）关于二次函数y=一a.x 的对称轴y轴对称，且该函数图象经过点（一3,2），∴该 函数图象必经过点（√3,2） 2.B,抛物线开口向下，∴.二次项系数小于0..选项 、2 A,C不符合题意.”一3<一5心抛物线y -号r的开口更大 3.D.ab>0,∴.a>0,b>0或a<0,b<0.当a>0,b> 0时，抛物线y=a,x2开口向上，顶点为原点，直线y=ax十 b经过第一、二、三象限，此时无选项符合题意.当a<0, b<0时，抛物线y=a.x2开口向下，顶点为原点，直线y= ax十b经过第二、三、四象限，此时选项D符合题意， 4.0,抛物线y=ax2的对称轴为y轴，而点A(x1,8), B(x2,8)(x1≠x2)均在抛物线上，∴.x1十x2=0.∴.当 x=0时，y=0. m-3=2, 5.5由题意，得 解得m=5. 2-m<0. 易错警示 确定二次函数y=ax2解析式时的注意点 确定二次函数y=a.x2时易忽略开口方向隐含的条 件致错. 6.(1)一3；y轴。(2)（一1，一1）.(3)图象如图所示 -4≤y≤0. 5 -3 2 -65432y01 23456元 2 3 4 5 --6 (第6题) 7.C:点B(-1,y2)在该抛物线y=ar2(a>0)上， ∴易得点(1，y2)也在该抛物线上.对于该抛物线，在y轴 的右侧，y随x的增大而增大，而0<1<2，∴.y1>y2>0. 8.C 思路导引 点B的横坐标与 纵坐标之和为6 B(a,6-a) 设点B的横坐标 点B在抛物 6-a=a2 为a 线yx上 点B在第 一象限 求出OB 点B的坐标 得出答案 AC=OB 正方形OABC 设点B的横坐标为α.点B的横坐标与纵坐标之和等于 6,∴.点B的纵坐标为6一a.:点B在二次函数y=x2的 第一象限的图象上，∴.6一a=a2,解得a,=一3（不合题 意，舍去)，a2=2.∴.6-a=4.∴.点B的坐标为(2,4).如 图，连接OB,则BO=√22+4=2√5.四边形OABC 是正方形，∴.AC=OB=25 (第8题) 9号<≤3当抛物线经过点1,3)时，a=3;当抛物线 经过点(3,1)时，a=号观察图象可知 g≤a≤3. 10.y=2x2设直线l对应的函数解析式为y=kx十b.把 (3k+b= A(3,0),B(0,3)代入，得 0解得二一1直 {b=3, {b=3. 线l对应的函数解析式为y=一x+3.设P(t,一t+3) (0<<3.:△A0P的面积为3，号×3(-+3)=3， 解得t=1.∴.点P的坐标为(1,2).把P(1,2)代入y ax2,得a=2.∴.二次函数的解析式为y=2x2. 11.点A的横坐标为3，AB垂直于x轴，.点B的横 坐标为3.将x=3代人y=x2,得y=9;将x=3代人y= 号，得y1点A的坐标为39》，点B的坐标为3， 1).:CD∥x轴，∴.点D的纵坐标为9.将y=9代入y 1 x,得9=9x,解得x=9或x=-9(舍去)点D 的坐标为(9,9).BE∥x轴，∴.点F的纵坐标为1.将 y=1代入y=x2,得1=x2,解得x=1或x=一1（舍去）， .点F的坐标为(1,1)..AB=8,BF=2,DA=6..四 边形ADBF的面积为？BF·AB+?DA·AB=?AB· (BF+DA)=号×8X2+6)=32, 12.(1)当y=0时，x=-2,∴.A(-2,0).(2)当ax十 2a=a.x2时，解得x=2或x=-1,∴.B(-1a),C(2, 4a).点B'与点B关于x轴对称，∴.B'(-1,-a). ∴.AC=16+16a2,B'C=9+25a2,AB'2=1+a2.①当 AC为斜边时，16+16a2=9+25a2+1+a2,解得a= 5 或a-(合去，@当B℃为斜边时，9叶2a-16+ 16a2+1+a,解得a=1或a=-1(舍去)：③当AB'为斜 边时，1+a2=16十16a2+9+25a2,此方程无实数根.综上 所述，a的值为5或1，(3)如图①，当直线y=ax+ 2a经过点(0,3)时，a=号，此时有5个格点：当直线y ar+2a经过点（1,5)时a=号，此时有6个格点，则号< 5 a<号，有6个格点如图@，当a=2时，有6个格点综上 所述，是<a<号或a=2 5 2 7 6 543 ① ② (第12题) 第2课时二次函数y=ax2+k、 y=a(x-h)2的图象和性质 1.D:抛物线y=a.x2+2026(a>0),.当x>0时，y 随x的增大而增大，且对应函数的最小值为2026.：0< 28-2为>y>a 2.D一次函数y=kx十b的图象经过第一、二、四象限， 故k<0,b>0,由二次函数y=k(x一b)2的图象可知k< 0,b<0,故选项A不符合题意.一次函数y=kx十b的图象 经过第一、二、三象限，故k>0,b>0,由二次函数y= k(x一b)2的图象可知k<0,b>0,故选项B不符合题意. 一次函数y=kx十b的图象经过第一、二、四象限，故k< 0,b>0,由二次函数y=k(x一b)2的图象可知k>0,b< 0,故选项C不符合题意.一次函数y=kx十b的图象经过 第一、二、三象限，故k>0,b>0,由二次函数y=k(x-b) 的图象可知k>0,b>0,故选项D符合题意. 3.(3,4)抛物线y=ax2一1的顶点坐标为(0，一1)， 点(0，一1)向右平移1个单位长度，向上平移2个单位 长度到点A(1,1)处，∴.点P(2,2)向右平移1个单位长 度，向上平移2个单位长度到点Q(3,4)处 4.675二次函数y=3(x一3)2的图象开口向上，对称轴 为直线x=3.·当x分别取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相 等，.x1十x2=6..31十3x2=18.∴.当x取3x1+ 3x2,即x=18时，函数值为3×15=675. 5.(1)由题意，得A(一1,0)，B(0,-1).将x=0,y=-1 代入y=a(x+1)2,得a=一1，则抛物线对应的函数解析 式为y=一(x十1)2=一x2-一2x-1.(2)如图，过点C 作CD⊥x轴于点D,将C(一3，b)代入y=一x2一2x一1， 得b=-4,即C(-3,一4)..S△=S0D一S△4cn一 1 1 1 S△0s=2X3X4+1)-2X4X2-2×1X1=8. 0 (第5题) 6.B如图，过点A作AH⊥x轴于点H.:四边形 ABCO是正方形，.∠AOB=45°.∴.∠AOH=45°= ∠OAH..AH=OH.设A(m,m),则易得B(0,2m),