26.2.2 第1课时　二次函数y=ax2+k及y=a(x-h)2的图象和性质 分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础夯实到创新挑战，覆盖二次函数y=ax²+k及y=a(x-h)²的图象和性质，通过概念理解、综合应用到跨情境创新，培养抽象能力、运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|单一知识点（图象判断、平移、最值、对称轴）|基础选择填空与简单解答，强化概念理解| |B层|综合知识点（与一次函数结合、几何图形应用）|性质比较与综合运算，发展推理意识| |C层|跨知识点创新应用（几何直观与运算综合）|多步骤几何与函数综合题，提升创新意识|

十二　二次函数y=ax2+k及y=a(x-h)2的图象和性质　 【A层基础夯实】 知识点1　二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.若k<0,则二次函数y=kx2-k的大致图象是(C) 2.抛物线y=8x2+5可以看作是由y=8x2按下列何种变换得到的?(A) A.向上平移5个单位长度 B.向下平移5个单位长度 C.向左平移5个单位长度 D.向右平移5个单位长度 3.函数y=-x2+1,当-1≤x≤2时,函数y的最小值是　-3　.  4.已知抛物线y=-2x2+(m-1)x+m+3的对称轴是y轴. (1)求m的值; (2)求出抛物线的解析式并说明抛物线的增减性. 【解析】(1)∵抛物线y=-2x2+(m-1)x+m+3的对称轴是y轴, ∴m-1=0,∴m=1; (2)∵m=1, ∴抛物线的解析式为y=-2x2+4, 当x>0时,y随x的增大而减小; 当x<0时,y随x的增大而增大. 知识点2　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 5.y=2(x-1)2的图象大致是(B) 6.关于二次函数y=-(x-2)2,下列说法正确的是(D) A.图象的开口向上 B.图象与y轴的交点坐标为(0,) C.图象的顶点坐标是(-2,0) D.当x>2时,y随x的增大而减小 7.(2025·天津质检)若A（-,y1）,B（-,y2）,C(7,y3)为二次函数y=a(x-2)2(a>0)图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为　y1>y3>y2　.(用“>”连接)  8.已知抛物线y=a(x+m)2(a≠0)的对称轴是直线x=3,且过点(2,-2). (1)求该抛物线对应的函数解析式; (2)指出该抛物线的开口方向和顶点坐标; (3)若把该抛物线向左平移2个单位长度,则得到的新抛物线对应的函数解析式是什么? 【解析】(1)∵抛物线y=a(x+m)2(a≠0)的对称轴是直线x=3,且过点(2,-2), ∴m=-3, 把(2,-2)代入得,-2=a(2-3)2,解得a=-2, ∴此抛物线对应的函数解析式为y=-2(x-3)2; (2)∵a=-2, ∴该抛物线的开口向下,顶点坐标为(3,0); (3)把该抛物线向左平移2个单位长度,得到的抛物线的函数解析式为y=-2(x-3+2)2,即y=-2x2+4x-2. 【B层能力进阶】 9.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法正确的是(D) A.若x1=-x2,则y1=-y2 B.若y1=y2,则x1=x2 C.若x1<x2<0,则y1<y2 D.若0<x1<x2,则y1<y2 10.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b和二次函数y=b(x+k)2的大致图象是(B) 11.(2024·赤峰中考)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),则下列结论正确的是(B) A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D.=1 12.若把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y=-3(x-h)2,且知抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,抛物线y=-3(x-h)2的顶点为M,则S△MAB=　144　.  13.已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M. (1)求直线l的函数解析式; (2)若S△AMP=3,求抛物线的解析式. 【解析】(1)设一次函数解析式为y=kx+b, 把A(4,0),B(0,4)分别代入解析式得 ,解得,所以y=-x+4; (2) (2)设M点的坐标为(m,n), ∵S△AMP=3,∴×(4-1)n=3,解得n=2, 把M(m,2)代入y=-x+4,即2=-m+4,得m=2, ∴M(2,2), ∵抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0), 可得y=a(x-1)2,把M(2,2)代入y=a(x-1)2,得2=a(2-1)2,解得a=2. ∴函数解析式为y=2(x-1)2. 【C层创新挑战(选做)】 14.(几何直观、运算能力)如图1,抛物线y=-x2+4交x轴于A,B两点,交y轴于点C. (1)直接写出A,B两点的坐标和直线BC的解析式; (2)D是直线BC上的点,过点D作x轴的平行线,交抛物线于M,N两点(点M在点N的左侧),若DM=3DN,求点D的横坐标; (3)如图2,E在第四象限的抛物线上运动,点F与点E关于y轴对称,直线x=1分别交直线BE,BF,x轴于P,Q,G三点,求PG-QG的值. 【解析】(1)对于y=-x2+4,当x=0时,y=4,则点C(0,4), 令y=-x2+4=0,则x=±4, 则点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0), 设直线CB的解析式为y=kx+4, 将点B的坐标代入上式得0=4k+4,则k=-1, 故直线BC的解析式为y=-x+4; (2) 设点M的坐标为（m,-m2+4）,则点N（-m,-m2+4）,点D（m2,-m2+4）, ∵DM=3DN,即m2-m=±3（m2+m）, 解得:m=0(舍去)或-2或-8, 故点D的横坐标为1或16; (3)设点E的坐标为（n,-n2+4）, 则点F（-n,-n2+4）, 设直线BE的解析式为y=k1x+b1, 则有, 解得, ∴直线BE的解析式为y=-(n+4)x+n+4, 当x=1时,y=-(n+4)+n+4=n+3, 则点P的坐标为（1,n+3）, 同理可得,点Q的坐标为（1,-n+3）, 则PG-QG=（n+3）-（n-3）=6. 学科网（北京）股份有限公司 $ 十二　二次函数y=ax2+k及y=a(x-h)2的图象和性质　 【A层基础夯实】 知识点1　二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.若k<0,则二次函数y=kx2-k的大致图象是( ) 2.抛物线y=8x2+5可以看作是由y=8x2按下列何种变换得到的?( ) A.向上平移5个单位长度 B.向下平移5个单位长度 C.向左平移5个单位长度 D.向右平移5个单位长度 3.函数y=-x2+1,当-1≤x≤2时,函数y的最小值是　 　.  4.已知抛物线y=-2x2+(m-1)x+m+3的对称轴是y轴. (1)求m的值; (2)求出抛物线的解析式并说明抛物线的增减性. 知识点2　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 5.y=2(x-1)2的图象大致是( ) 6.关于二次函数y=-(x-2)2,下列说法正确的是( ) A.图象的开口向上 B.图象与y轴的交点坐标为(0,) C.图象的顶点坐标是(-2,0) D.当x>2时,y随x的增大而减小 7.(2025·天津质检)若A（-,y1）,B（-,y2）,C(7,y3)为二次函数y=a(x-2)2(a>0)图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为　 　.(用“>”连接)  8.已知抛物线y=a(x+m)2(a≠0)的对称轴是直线x=3,且过点(2,-2). (1)求该抛物线对应的函数解析式; (2)指出该抛物线的开口方向和顶点坐标; (3)若把该抛物线向左平移2个单位长度,则得到的新抛物线对应的函数解析式是什么? 【B层能力进阶】 9.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法正确的是( ) A.若x1=-x2,则y1=-y2 B.若y1=y2,则x1=x2 C.若x1<x2<0,则y1<y2 D.若0<x1<x2,则y1<y2 10.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b和二次函数y=b(x+k)2的大致图象是( ) 11.(2024·赤峰中考)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),则下列结论正确的是( ) A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D.=1 12.若把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y=-3(x-h)2,且知抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,抛物线y=-3(x-h)2的顶点为M,则S△MAB=　 .  13.已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M. (1)求直线l的函数解析式; (2)若S△AMP=3,求抛物线的解析式. 【C层创新挑战(选做)】 14.(几何直观、运算能力)如图1,抛物线y=-x2+4交x轴于A,B两点,交y轴于点C. (1)直接写出A,B两点的坐标和直线BC的解析式; (2)D是直线BC上的点,过点D作x轴的平行线,交抛物线于M,N两点(点M在点N的左侧),若DM=3DN,求点D的横坐标; (3)如图2,E在第四象限的抛物线上运动,点F与点E关于y轴对称,直线x=1分别交直线BE,BF,x轴于P,Q,G三点,求PG-QG的值. 学科网（北京）股份有限公司 $