26.2.2　第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 同步练 2026-2027学年数学人教版九年级上册

26.2.2　第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 随堂小练 新知梳理 1. 二次函数y＝ax2＋k的图象是一条抛物线，它的对称轴是　　　　，顶点坐标是　　　　.当a＞0时，抛物线的开口　　　　；当a＜0时，抛物线的开口　　　　. 2. 随着k的变化，二次函数y＝ax2＋k的图象在向上或向下平移，即把抛物线y＝ax2　　　　（k＞0）或　　　　（k＜0）平移｜k｜个单位长度，就得到抛物线y＝ax2＋k. 反馈训练 1. 二次函数y＝－x2－1的图象大致是（　　　　） 2. 二次函数y＝2x2＋3的图象是由y＝2x2的图象（　　　　） A. 向上平移3个单位长度得到的 B. 向下平移3个单位长度得到的 C. 向左平移3个单位长度得到的 D. 向右平移3个单位长度得到的 3. 若二次函数y＝ax2＋2的图象与y＝3x2的图象形状相同，开口方向相反，则a＝　　　　，该函数图象的对称轴为　　　　. 4. 将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的抛物线对应的函数解析式为　　　　. 5. 画出二次函数y＝－x2＋2的图象，并结合图象回答问题. （1） 该函数图象的顶点坐标、对称轴分别是什么？ （2） 该函数图象是由y＝－x2的图象怎样平移得到的？ 6. 已知抛物线y＝ax2＋c与x轴交于点（2，0），（－2，0），与y轴交于点（0，2），求抛物线对应的函数解析式. 同步练习 基础过关 1. 二次函数y＝－x2－4的图象经过的象限为（　　　　） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、三象限 2. 函数y＝－2x2＋5与y＝－2x2－3的图象的不同之处是（　　　　） A. 对称轴 B. 开口方向 C. 顶点 D. 形状 3. 已知抛物线y＝2x2＋m2－4m的最低点为（0，－4），则m的值为　　　　. 4. 已知二次函数的图象以A（0，1）为顶点，且过点B（2，3）. （1） 求该二次函数的解析式； （2） 画出该二次函数的图象. 5. 下列函数中，当x＞1时，y随x的增大而减小的是（　　　　） A. y＝x2＋1 B. y＝－x2＋1 C. y＝x－1 D. y＝x＋1 6. （易错题）对于二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（　　　　） A. －1≤y≤5 B. －5≤y≤5 C. －3≤y≤5 D. －2≤y≤5 7. 已知二次函数y＝－x2＋1，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是　　　　. 8. 如果点（－4，y1），（－3，y2）在函数y＝x2＋1的图象上，那么y1　　　　y2（填"＞""＜"或"＝"）. 9. 顶点坐标为（0，－5），且与抛物线y＝－x2的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为　　　　，将该抛物线向上平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为　　　　. 10. 已知二次函数y＝ax2与y＝－2x2＋c. （1） 随着a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2） 若这两个函数图象的形状相同，求a的值； （3） 若将抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位长度就能与抛物线y＝－2x2＋c完全重合，求c的值. 能力进阶 11. 已知a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在函数y＝x2＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　　　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 12. 将抛物线y＝x2－1向下平移8个单位长度后，与x轴的两个交点之间的距离为　　　　. 13. （1） 若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且当x＝1时，y＝－3，则a＝　　　　，k＝　　　　； （2） 如果将（1）中的抛物线关于x轴作对称变换，那么得到的抛物线对应的函数解析式为　　　　. 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，则BC的长为　　　　. 15. 已知抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是（0，－2），且过点（1，1）. （1） 求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴； （2） 若M（x1，y1），N（x2，y2）是该抛物线上的两点，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系如何？ 思维拓展 16. 如图，正比例函数y＝2x的图象与抛物线y＝ax2＋3相交于点A（1，b）. （1） 求a与b的值； （2） 若点B（m，4）在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2＋3的顶点是C，求△ABC的面积； （3） 在（2）的条件下，若P是x轴上的一个动点，求当PA＋PC最小时点P的坐标. 参考答案 随堂小练 新知梳理 1. y轴；（0，k）；向上；向下；向上；向下 反馈训练 1. C 2. A 3. －3；y轴 4. y＝－3x2＋1 5. 解：（1） 顶点坐标为（0，2），对称轴为y轴（直线x＝0）（2） 是由y＝－x2的图象向上平移2个单位长度得到的（画图略） 6. 解：将（2，0），（0，2）代入y＝ax2＋c，得4a＋c＝0，c＝2，解得a＝－，c＝2.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2 同步练习 基础过关 1. C 2. C 3. 2 4. 解：（1） 由题意，可设该二次函数的解析式为y＝ax2＋c（a≠0）.将A（0，1），B（2，3）代入，得c＝1，4a＋c＝3，解得a＝，c＝1.∴ 该二次函数的解析式为y＝x2＋1（2） 图象略 5. B 6. C 7. x＜0 8. ＞ 9. y＝x2－5；y＝x2－2 10. 解：（1） 二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝－2x2＋c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是顶点坐标会发生改变（合理即可）（2） ∵ 函数y＝ax2与函数y＝－2x2＋c图象的形状相同，∴ a＝±2（3） ∵ 抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2－2，与抛物线y＝－2x2＋c完全重合，∴ c＝－2 能力进阶 11. C 12. 6 13. （1） －1；－2（2） y＝x2＋2 14. 8 15. 解：（1） 由题意，得k＝－2，a＋k＝1，解得a＝3，k＝－2.∴ 此抛物线对应的函数解析式为y＝3x2－2，抛物线开口向上，对称轴为y轴（2） 当x＜0时，y随x的增大而减小.∵ x1＜x2＜0，∴ y1＞y2 思维拓展 16. 解：（1） 把A（1，b）代入y＝2x，得b＝2.∴ A（1，2）.把A（1，2）代入y＝ax2＋3，得a＝－1（2） 把B（m，4）代入y＝2x，得m＝2.∴ B（2，4）.∵ 易得抛物线y＝－x2＋3的顶点C的坐标是（0，3），∴ OC＝3.∴ S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝×3×2－×3×1＝（3） 设点C关于x轴的对称点为C'，则点C'的坐标为（0，－3），连接AC'交x轴于点P，此时PA＋PC最小.设直线AC'对应的函数解析式为y＝kx＋n.把C'（0，－3），A（1，2）代入，得n＝－3，k＋n＝2，解得k＝5，n＝－3.∴ y＝5x－3.当y＝0时，5x－3＝0，∴ x＝.∴ 点P的坐标是（，0） 学科网（北京）股份有限公司 $