专题特训2 一元二次方程与动点问题&综合与实践1 黄金分割-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

微专题·围墙问题 1.6设BC的长为产m,则AB=12+)-工m.根据题 2 意，得x.12+)-2=21,整理，得x-13x十42=0，解 2 得x1=6,x2=7.墙长6.5m,.x≤6.5，则x2=7不 合题意，舍去.∴.BC的长为6m 2.7设花圃垂直于墙的边AB的长为xm,则BC= 34-3x+2=(36-3x)m.由题意，得(36-3x)x=105, 整理，得x2-12x十35=0，解得x1=5,x2=7.当x=5 时，BC=36-3×5=21(m),21>20,不符合题意，故舍 去；当x=7时，BC=36-3×7=15(m),15<20,符合题 意，∴.当AB的长为7m时，所围成的花圃面积为105m2. 第2课时传播、平均变化率与握手等问题 1.C由题意，得1+m十m(1十m)=625,解得m1=24, m2=-26(不合题意，舍去). 2.10%设线上销售量占比的月平均增长率为x.由题 意，得25%(1十x)2=30.25%,解得x1=0.1=10%,x2= 一2.1（不合题意，舍去），∴.线上销售量占比的月平均增长 率为10%. 方法归纳 增长率（或降低率）问题的规律 设某数为a,平均增长率（或降低率）为x,则一次增 长或降低后的值为a(1士x),两次增长或降低后的值为 a(1士x)2,以此类推，n次增长或降低后的值为a(1土x)”. 3.12设这种植物的主根长出x个支根.由题意，得1十 x+号x·x+(1-号)x…2=109,解得x,=12, 号（不合题意，合去.这种植物的主根长出12个 支根 4(1)淇淇的说法正确，理由：根据题意，得2x(x一1)= 40,整理，得x2-7-80=0,解得x=1±32，均不为正 整数，∴.方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是 40场.∴.淇淇的说法正确.(2)由题意，得 (x-1)(x一2+4=40，解得，=10，x2=-7(不合题意， 2 舍去)，∴.x的值为10. 5.D当n=4时，三角点阵中的点数之和是1+2十3十 4=10,故①正确。当1+2+…十m=300时，即(n+1) 2 300,解得n=24(负值舍去)，故②正确.当1十2+…十n= 600时，即(m,+1)-600,解得m=-1±y4801,均不为 2 2 正整数，故③正确.综上所述，正确的个数是3. 6.C一月份第一周的营业额为60万元，且第二、第三 周的平均增长率均为m,∴.第二周的营业额为60(1十m)万 元，第三周的营业额为60(1十m)2万元.根据题意，得60十 60(1十m)+60(1+m)2=218.4,整理，得25m2+75m一 16=0,解得m1=0.2=20%,m2=一3.2（不合题意，舍 去)，.m的值为20%. 7.144设最小数为x,则另外八个数分别为x十1，x十2， x十7，x十8，x十9，x十14，x+15,x十16.由题意，得x(x+ 16)=192,整理，得x2+16x一192=0，解得x1=8,x2 一24（不合题意，舍去），∴.这9个数的和为x十(x十1)十 (x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)+(x+14)+(x+ 15)+(x+16)=9x+72=144. 8.9设每件商品降价x元.根据题意，得(200一x一155)· (20+2x)=1500,整理，得x2一35.x+300=0,解得x1= 15,x2=20.:要尽快减少库存，∴.每件商品降价20元. 200一20=0.9，.应将商品打9折出售。 200 9.(1)设该市这两年参加健身运动人数的年平均增长率 为x.由题意，得20(1十x)2=33.8,解得x1=0.3=30%, x2=一2.3（不合题意，舍去），∴.该市这两年参加健身运动 人数的年平均增长率为30%.(2)设该哑铃组每组应降 价m元.由题意，得(50-m一30)(150+10m)=3060,整 理，得m2-5m十6=0，解得m1=2,m2=3.:要尽可能多 地让利于顾客，∴.该哑铃组每组应降价3元. 10.(1)设每天增长的百分率为x.由题意，得5(1十x)2 7.2,解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）. ∴.每天增长的百分率为20%.(2)①设应该增加m条 生产线，则每条生产线的最大产能为(15一0.5m)万个/天. 由题意，得(1+m)(15-0.5m)=65,解得m1=4,m2=25. 在增加产能的同时又要节省投入，∴.m=4.∴.应该增 加4条生产线.②不能.理由：设增加a条生产线，则每 条生产线的最大产能为(15-0.5a)万个/天.由题意，得 (1+a)(15-0.5a)=150,整理，得a2-29a+270=0..△= (一29)2-4×1×270=-239<0，∴.该方程无实数根. ∴.不能增加生产线，使得每天生产口罩150万个。 专题特训二一元二次方程与动点问题 1.A设点P,Q分别从点A,B同时出发，xs后P,Q两 点之间的距离等于4√2cm.由题意，得AP=xcm,BQ= 2xcm,..BP=AB一AP=(6一x)cm..·在Rt△PBQ 中，BP2+BQ=PQ,∴.(6-x)2+(2x)2=(4V2)2,解得 x=行x?=2.”当一点到达终点后，两点同时停止运 2 动2x≤3，即4≤号-导要使P.Q两点之同 的距离等于4反cm,则需要经过号s 2.6∠BAC=90°，AB=AC=16cm,AD为BC边上 的高，∴.易得∠DAC=45°，AD=BD=CD=8√2cm.由 题意，得AP=D1cmS,=合AP·BD=合XE1X 8√2=8t(cm),PD=(8√2-√2t)cm.:'四边形PDFE 是矩形，∴.∠EPD=90°.∴.∠APE=90..∠PAE= ∠PEA=45°..PE=AP=√2tcm.∴.S2=PD·PE= (82-2t)·√2t.S1=2S2,∴8t=2(82-√2t)· √2t,解得t,=6,t2=0(不合题意，舍去).∴.当t=6时， S1=2S2. 3.1或4设出发后xs时，S△MDN=2S装形AcD: ”SAn=2AC·BD=2X8X6=24(cm) 1 ·Saov=2S无n=2cm.:四边形ABCD是菱形， ·A0=C0=号AC=4cm,B0=D0=号BD=3cm AC⊥BD.①当x<2时，点M在线段AO上，点N在线段 B0上，由题意，得2(4-2x)(3-x)=2,解得=1， x2=4.:x<2,∴x=1.②当2<x<3时，点M在线段 0C上，点N在线段B0上，由题意，得(2-4)(3- x)=2,整理，得x2一5x十8=0..△=（一5)2一4×1×8= 一7<0，∴.该方程无实数根.③当x>3时，点M在线段 0C上，点N在线段0D上，由题意，得2(2x-4)(x 3)=2,解得x1=1,x2=4.:x>3,∴.x=4.综上所述，出 发后1：或4：时Sw=立Sm 4.(1)设经过xs,PQ的长是10cm.过点Q作QE LAB 于点E.由题意，知AP=3xcm,CQ=2xcm.∴易知 PE=116-2x-3x=|16-5.x|cm,EQ=6cm.∴.|16- 5a5+6=1心，即G16-5=64.解得1=合=得 经过：或号P0的长是10em2)设经过y, △PpQ的面积为12em.①当0≤<9时，PB=(16- 3y)cm.PB·8c=12.即号×16-3)X6=12,解 得y=4@当9<y<号时，BD=(3y-16)cm,C0 2cm则号BP.CQ=号(3y-160)×2y=12,解得， 号（不合题意，含去.国当号<<8时，QP 6,y2=- CQ-CP=2y-(3-22)=(22-y)cm,则2QP·CB= 合(2-)X6=12,解得y=18(不合题意，合去，综上所 述，经过4s或6s,△PBQ的面积为12cm2. 综合与实践1黄金分割 1.(15-5√5)设AC的长为xcm.根据题意，得BC2= AC·AB,即(10一x)2=10x,解得x1=15一5W5,x2=15+ 55(不合题意，舍去)，∴.AC的长为(15-55)cm 2.(1)由题意，将m=1代入x2+x-1=0,得x2十x- 1=0=二1生=X1X五-二15黄金 2 分割数大于0…黄金分割数为-1十5 2 (2)b2-2mb= 4-26-4=0.(-合)广+m·(←）-1=0 又：6千一2a,02十a-1=0,a,-合是-元二次方程 x2+mx一1=0的两个根.(3)记p2+np一1=q①， q2+g-1=p②，由①十②，得(p2+g)+n(p十q)-2= p十g,.(p+q)2-2pq+n(p+q)-2=p+q.由①-②， 得(p2-g2)+n(p-q)=-（p-q),∴（p+q)(p-q)+ n(p-q)=-（p一q)..p≠g,即p一q≠0，.(p十q)十 n=-1..p+q=-n-1.又.(p+q)2-2g+n(p+ q)-2=p+q,∴.(（-n-1)2-2g+n(-n-1)-2= -n-1..n2+21+1-2pg-n2-n-2=-n-1. .pg=n..pg一n=0. 3(I)设AP=,则BP=1-x.根据题意，得-Z= x 1 -1+√5 -1-5 整理，得x2十x一1=0，解得x,= ,x2= 2 2 (不台短，含去AP=15霜=， 2 即黄金比为5一 2 .(2)①设△ABC中BC边上的高为 1 h.:△@=Am, 2CD·h 2BD·h CD S△ABD S△AX 1 BD·h 1 ，即BD BC·h 厂C..D是线段BC的黄金分割点。②设△ACD的面 积为5，则△ABD的面积为4-S,由题意，得二S 4,整霆，得5-12S+16=0,解得5，=6-25,5， 6+25(不合题意，舍去)，.△ACD的面积为6-25. 第二十五章拔尖自主测评 1.C,关于x的一元二次方程(m十3)x2-4x十m.x十 |m+3=0的常数项是6，∴.m十3=6，m+3≠0，解得 m=3.把m=3代入原方程可得6x2一x十6=0，∴.一次项 是一x 2.A:△=b2-4ac=[-(3+1)]2-4×1×(3k2+ 2)=9k2+6k+1-12k2一8=-3k2+6k-7=-3(k一 1)2一4<0，∴.方程无实数根， 3.A2x2-5x-1=0,.2x2-5x=1.小x2-2x= 2-x+()°-+()”…(x-)-得 4D解2x-9x十8=0，得=9生厘.：原方程的两 个根分别为a,b,且a>ba=9十☑ 5.Da是方程x2-2025x+1=0的一个根，∴a2- 2025a+1=0..∴.a2-2025a=-1,a2+1=2025a.,∴.原 式=a2-2025a+a+g=-1+a+日 2025 =-1十 Q2+1--1+2025a=-1+2025=2024. 6.A由题意，得△=(4m)2一4×4×（一3m一1）= 16m2+16(3m+1)=0,即m2+3m+1=0,.m2= -3m-1,m2+3m=-1..∴.m3+4m2+4m-2= m(-3m-1)+4m2+4m-2=m2+3m-2=-1-2= -3. 7.D设这种机床每台的售价应定为x万元.由题意，得 (60-6) =2X60×(1+25%),解得x1=3,x2=5. 8.C由题意，得mm=2025,m2-2024n+2025=0, n2-2024n+2025=0,.m2-2023m+2025=(m2- 2024m+2025)+m=0+m=m,n2-2023m+2025= (n2-2024n+2025)+n=0+n=n.∴.(m2-2023m+ 2025)(n2-2023m+2025)=mm=2025. 9.B设经过的时间是x&根据题意，得号(50-2)· 3x=450,整理，得x2一25x+150=0,解得x1=15,x2= 10.一点到达终点时，两点同时停止移动，∴.3x≤40. ≤9：=10“当△PCQ的面积为450m时.经 过的时间是10s. 10.A∠ABC=90°，AB=m,BC= 1 2n,∴.AC= VAB+-√m+子.AE=AD=AC-CD 1 2.”x2+x=m2,x2+ 1 AC-BC=√m2+42- 22=0..x=n±√n十一 n2+4m 2 4 名4=±人√r+m-“一定是关于x的-元 次方程x2十x=m2的一个根的是线段AE的长， 11.24x2-8x+15=0,∴.(x-3)(x-5)=0..x1= 3,x2=5.·当菱形边长是3时，3十3=6<8，不能组成三 角形，∴.该菱形的边长是5.四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,BD=2OB,OA=号AC=4OB= √AB2-OA7=√5-4平=3..BD=6..S装形AxD= 2AC·BD=7×8X6=2L 12.25根据题意，得a十B=2,a2=2a+4,.a3十83+ 1=a(2a+4)+83+1=2a2+4a+83+1=2(2a+4)+ 4a+83+1=8a+83+9=8(a+B)+9=8×2+9=25. 13.41设共有x名同学.根据题意，得x(x一1)十x= 1681,解得x1=41,x2=一41（不合题意，舍去），.共有 41名同学 141根据题意，得8×5-2×2(8-x)(5-x)=12,解 得x1=1,x2=12(不合题意，舍去)，∴.x的值为1. 15.x1=0,x2= 号“关于x的一元二次方程ar+ bx十c=0(a≠0)的两个根分别为x1=一1，x2=2, 、-b=-1+2=1,6=-1X2=-2.将方程c(x一拔尖特训·数学（人教版）九年级上 专题特训二 一元二次方程与动点问题 类型一三角形背景下的动点问题 1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=3cm,点P以1cm/s的速度从点A开始沿边 AB向点B运动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C运动，且点P,Q分别从点 A,B同时出发，当一点到达终点后，两点同时停止运动.要使P,Q两点之间的距离等于 4√2cm,则需要经过 () B.2s C 6 2 D.5s或2s 0 D (第1题)》 (第2题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm,AD为BC边上的高，动点P从点A出 发，沿A→D以W2c/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2, 运动时间为ts,则当t一 时，S1=2S2. 类型二特殊四边形背景下的动点问题 3.在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=8cm,BD=6cm,动点M从点A出发，沿 AC方向以2cm/s的速度运动到点C,动点N从点B出发，沿BD方向以1cm/s的速度运动到 点D.若点M,N同时出发，则出发后 时，△MN的面积为菱形ACD面积的号 4.如图，A,B,C,D为矩形的四个顶，点，AB=16cm,AD=6cm,动，点P,Q分别以3cm/s,2cm/s的 速度从点A,C同时出发，点Q从点C向点D移动 (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止，连接PQ,则经过多长时间，PQ 的长是10cm? (2)若点P沿着AB,BC,CD的方向移动，点Q从点C移动到点D停止，点P随着点Q的停止 而停止，则经过多长时间，△PBQ的面积为12cm? D B (第4题) 16 >“答案与解析”见P8 第二十五章一元二次方程 综合与实践1黄金分割 类型一黄金分割点 1.黄金分割是汉字结构最基本的规律.如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观.横竖 笔画交接处点C恰好是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若AB=10cm, 则AC的长为 cm. 类型二黄金分割数 B 2.已知关于x的一元二次方程x2十mx一1=0，当m=1时，该方程的正根称为 (第1题) 黄金分割数， (1)求黄金分割数. (2)已知实数a,b满足a2+m=1,6-2b=4,且b≠-2a,求证：a,-名是一元二次方程 x2+mx一1=0的两个根， (3)已知两个不相等的实数p,q满足p2十np一1=q,q2十nq一1=p,求q一n的值. 类型三黄金分割线 3,如图①，点P将线段AB分成两部分(AP>BP,若邻-A,则称P为线段AB的黄金分割 点，这个比值称为黄金比 (1)若AB=1,求黄金比. (2)某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图②，在△ABC 一点，AD将△ABC分割成两个三角形(S4D>S△ACD),主 SD,则称AD为△ABC的黄金分割线. S△ABC ①求证：D是线段BC的黄金分割点， ②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积. P RB D ① ③ (第3题) 》“答案与解析”见P9 17