第25章《一元二次方程》【填空题专项】 2026-2027学年人教版九年级上册数学

第25章《一元二次方程》【填空题专项】2026-2027学年人教版九年级上册数学 （满分 50 分 建议用时 40 分钟 共 25 小题） 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 【本章知识点汇总】 25.1 一元二次方程 ①定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程； ②一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）．其中 ax² 是二次项、a 是二次项系数，bx 是一次项、b 是一次项系数，c 是常数项； ③判定的四个条件必须同时满足：是整式方程；只含有一个未知数；化简后未知数的最高次数是 2；二次项系数 a≠0； ④使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根（解）．把根代入原方程，左右两边相等． 25.2 解一元二次方程 ①基本思路：降次——把一元二次方程转化为两个一元一次方程； ②四种解法：直接开平方法〔形如 x²=p 或 (x+n)²=p（p≥0）的方程，两边直接开平方〕；配方法〔移项→二次项系数化为 1→两边同加一次项系数一半的平方→化成 (x+n)²=p→开平方〕；公式法〔先化为一般形式，当 Δ=b²−4ac≥0 时，〕；因式分解法〔一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的积，令每个因式为 0〕； ③根的判别式 Δ=b²−4ac：Δ>0 时方程有两个不相等的实数根；Δ=0 时方程有两个相等的实数根；Δ<0 时方程没有实数根； ④根与系数的关系（韦达定理）：若 x1、x2 是方程 ax²+bx+c=0（a≠0，Δ≥0）的两个根，则 ，； ⑤常用变形：x1²+x2²=(x1+x2)²−2x1x2；(x1−x2)²=(x1+x2)²−4x1x2；；(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1； ⑥两个必备前提：二次项系数 a≠0；使用韦达定理前必须确认方程有实数根（Δ≥0），由根与系数的关系求出的字母值要代回判别式检验． 25.3 实际问题与一元二次方程 ①列方程解应用题的一般步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验→作答； ②常见模型：增长率（降低率）问题 a(1±x)²=b；传播（分裂）问题〔每轮每个个体感染 x 个，(1+x)² 型〕；面积问题〔道路、边框常用平移法把道路“挤”到边上〕；销售利润问题〔总利润=每件利润×销售量〕；计数问题〔单循环赛共 场，互赠礼物共 x(x−1) 件〕；表格（图表）问题与几何问题； ③求出方程的根后，必须检验是否符合实际意义（如长度、人数、降低率不能为负数），不合题意的根要舍去． 填空题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分．请把答案填在题中的横线上） 1．下列方程：①3x²+2=0；②2x²−5xy+1=0；③x²+=2；④(x−1)(x+2)=x²．其中一定是一元二次方程的是 ＿＿＿＿（填序号）． 2．已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 (2m+2)x²+x−m²=0 的一个根，则 m 的值是 ＿＿＿＿． 3．将方程 2x(x−3)=5(x+1) 化为一般形式 ax²+bx+c=0 后，a+b+c 的值是 ＿＿＿＿． 4．若关于 x 的方程 (x+a)²=b（b≥0）的两个根分别是 3 和 −5，则 a=＿＿＿＿，b=＿＿＿＿． 5．将一元二次方程 2x²−4x−3=0 配方成 (x+a)²=b 的形式，则 a+b 的值是 ＿＿＿＿． 6．一元二次方程 2x²+3x−1=0 的解是 ＿＿＿＿． 7．方程 (2x−3)²=(x−2)² 的解是 ＿＿＿＿． 8．关于 x 的方程 kx²−3x+1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ＿＿＿＿． 9．关于 x 的一元二次方程 x²−(2m+3)x+m²+3m+2=0 的根的情况是 ＿＿＿＿． 10．已知方程 x²−(k+3)x+2k+2=0 的两根 x1、x2 均大于 0，则 k 的取值范围是 ＿＿＿＿． 11．若 α、β 是方程 x²−5x−3=0 的两个根，则 α²−6α−β 的值是 ＿＿＿＿． 12．若 x1、x2 是方程 x²+6x+7=0 的两个根，则 (x1−x2)² 的值是 ＿＿＿＿． 13．已知一元二次方程 2x²−4x−1=0 的两根为 x1、x2，则 的值为 ＿＿＿＿． 14．若关于 x 的一元二次方程 x²−(2k−1)x+k²−2=0 的两个实数根 x1、x2 满足 x1²+x2²=11，则 k 的值是 ＿＿＿＿． 15．已知方程 x²−4x+m−1=0 的两个根互为倒数，则 m=＿＿＿＿． 16．若关于 x 的方程 x²+px+q=0 的两根之和为 4，两根之积为 −3，则关于 y 的方程 (y−2)²+p(y−2)+q=0 的两根之积是 ＿＿＿＿． 17．已知 m、n 是方程 x²+x−3=0 的两个实数根，则 m³−3m+n+2024 的值是 ＿＿＿＿． 18．已知 m 为正整数．若方程 x²+4x+m=0 的两个根是互不相等的整数，则 m=＿＿＿＿． 19．已知方程 x²+2x+m=0 的两根为 x1、x2，且 =2，则 m=＿＿＿＿． 20．有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 144 人患了流感，则每轮传染中平均 1 人传染了 ＿＿＿＿ 人． 21．某商品经过连续两次降价后，售价由原来的 200 元降为 128 元．若每次降价的百分率相同，则这个百分率是 ＿＿＿＿． 22．如图，某农场要建一个矩形养鸡场，一边利用长为 18 m 的墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为 40 m．若养鸡场的面积为 168 m²，则与墙垂直的一边的长是 ＿＿＿＿ m． 23．某商场销售一种进价为 20 元/件的商品，为了解售价与日销量的关系，统计了部分数据如下表： 售价 x（元/件） 24 26 28 30 日销量 y（件） 52 48 44 40 若日销量 y 与售价 x 之间满足一次函数关系，且该商品每天的销售利润为 400 元，则售价为 ＿＿＿＿ 元/件（写出一个符合题意的值即可）． 24．已知实数 a、b 满足 a²+3a−2=0，b²+3b−2=0，且 a≠b，则 (1+a²)(1+b²) 的值是 ＿＿＿＿． 25．对于任意实数 a、b，定义新运算：a※b=a²−2b．若关于 x 的方程 (x※m)+x=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ＿＿＿＿． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章《一元二次方程》【填空题专项】2026-2027学年人教版九年级上册数学 （满分 50 分 建议用时 40 分钟 共 25 小题） 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 【本章知识点汇总】 25.1 一元二次方程 ①定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程； ②一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）．其中 ax² 是二次项、a 是二次项系数，bx 是一次项、b 是一次项系数，c 是常数项； ③判定的四个条件必须同时满足：是整式方程；只含有一个未知数；化简后未知数的最高次数是 2；二次项系数 a≠0； ④使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根（解）．把根代入原方程，左右两边相等． 25.2 解一元二次方程 ①基本思路：降次——把一元二次方程转化为两个一元一次方程； ②四种解法：直接开平方法〔形如 x²=p 或 (x+n)²=p（p≥0）的方程，两边直接开平方〕；配方法〔移项→二次项系数化为 1→两边同加一次项系数一半的平方→化成 (x+n)²=p→开平方〕；公式法〔先化为一般形式，当 Δ=b²−4ac≥0 时，〕；因式分解法〔一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的积，令每个因式为 0〕； ③根的判别式 Δ=b²−4ac：Δ>0 时方程有两个不相等的实数根；Δ=0 时方程有两个相等的实数根；Δ<0 时方程没有实数根； ④根与系数的关系（韦达定理）：若 x1、x2 是方程 ax²+bx+c=0（a≠0，Δ≥0）的两个根，则 ，； ⑤常用变形：x1²+x2²=(x1+x2)²−2x1x2；(x1−x2)²=(x1+x2)²−4x1x2；；(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1； ⑥两个必备前提：二次项系数 a≠0；使用韦达定理前必须确认方程有实数根（Δ≥0），由根与系数的关系求出的字母值要代回判别式检验． 25.3 实际问题与一元二次方程 ①列方程解应用题的一般步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验→作答； ②常见模型：增长率（降低率）问题 a(1±x)²=b；传播（分裂）问题〔每轮每个个体感染 x 个，(1+x)² 型〕；面积问题〔道路、边框常用平移法把道路“挤”到边上〕；销售利润问题〔总利润=每件利润×销售量〕；计数问题〔单循环赛共 场，互赠礼物共 x(x−1) 件〕；表格（图表）问题与几何问题； ③求出方程的根后，必须检验是否符合实际意义（如长度、人数、降低率不能为负数），不合题意的根要舍去． 填空题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分．请把答案填在题中的横线上） 1．下列方程：①3x²+2=0；②2x²−5xy+1=0；③x²+=2；④(x−1)(x+2)=x²．其中一定是一元二次方程的是 ＿＿＿＿（填序号）． 【答案】① 【解析】 ①符合一元二次方程的定义； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③中的未知数出现在分母上，是分式方程，不是整式方程； ④整理后得 x−2=0，未知数的最高次数是 1，是一元一次方程． 所以填 ①． ———————————————————————————————— 2．已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 (2m+2)x²+x−m²=0 的一个根，则 m 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】3 【解析】 把 x=1 代入方程，得 2m+2+1−m²=0，即 m²−2m−3=0，解得 m=3 或 m=−1． 又因为方程是一元二次方程，所以 2m+2≠0，即 m≠−1， 所以 m=3． 提醒：由“根”求出的字母值，一定要代回二次项系数不为 0 的条件检验． ———————————————————————————————— 3．将方程 2x(x−3)=5(x+1) 化为一般形式 ax²+bx+c=0 后，a+b+c 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】−14 【解析】 去括号，得 2x²−6x=5x+5； 移项、合并同类项，得 2x²−11x−5=0，所以 a=2，b=−11，c=−5． 所以 a+b+c=2+(−11)+(−5)=−14． ———————————————————————————————— 4．若关于 x 的方程 (x+a)²=b（b≥0）的两个根分别是 3 和 −5，则 a=＿＿＿＿，b=＿＿＿＿． 【答案】a=1，b=16 【解析】 由 (x+a)²=b 得 x=−a±，即方程的两个根为 −a+ 与 −a−． 两根之和为 −2a=3+(−5)=−2，所以 a=1； 两根之积为 a²−b=3×(−5)=−15，即 1−b=−15，所以 b=16． 检验：(x+1)²=16 的两根为 x=3 与 x=−5，符合题意． ———————————————————————————————— 5．将一元二次方程 2x²−4x−3=0 配方成 (x+a)²=b 的形式，则 a+b 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 二次项系数化为 1，得 x²−2x=； 配方，两边同加一次项系数一半的平方，得 x²−2x+1=+1，即 (x−1)²=； 所以 a=−1，b=，a+b=−1+=． ———————————————————————————————— 6．一元二次方程 2x²+3x−1=0 的解是 ＿＿＿＿． 【答案】x1=，x2= 【解析】 a=2，b=3，c=−1，Δ=b²−4ac=3²−4×2×(−1)=9+8=17>0， 所以 x==， 即 x1=，x2=． ———————————————————————————————— 7．方程 (2x−3)²=(x−2)² 的解是 ＿＿＿＿． 【答案】x1=，x2=1 【解析】 移项，得 (2x−3)²−(x−2)²=0； 因式分解，得 [(2x−3)+(x−2)][(2x−3)−(x−2)]=0，即 (3x−5)(x−1)=0； 所以 3x−5=0 或 x−1=0，即 x1=，x2=1． 提醒：两边都是完全平方且直接开平方时，注意“±”要取到两种情况． ———————————————————————————————— 8．关于 x 的方程 kx²−3x+1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ＿＿＿＿． 【答案】k< 且 k≠0 【解析】 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数 k≠0； 又因为有两个不相等的实数根，所以 Δ=(−3)²−4×k×1=9−4k>0，解得 k<． 综上，k< 且 k≠0． 提醒：含字母系数的方程先看“是不是一元二次方程”，再算判别式． ———————————————————————————————— 9．关于 x 的一元二次方程 x²−(2m+3)x+m²+3m+2=0 的根的情况是 ＿＿＿＿． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 Δ=(2m+3)²−4×1×(m²+3m+2) =4m²+12m+9−4m²−12m−8=1>0， 所以该方程总有两个不相等的实数根，与 m 的取值无关． ———————————————————————————————— 10．已知方程 x²−(k+3)x+2k+2=0 的两根 x1、x2 均大于 0，则 k 的取值范围是 ＿＿＿＿． 【答案】k>−1 【解析】 Δ=(k+3)²−4×1×(2k+2)=k²+6k+9−8k−8=(k−1)²≥0，所以方程总有实数根； 由根与系数的关系，得 x1+x2=k+3，x1x2=2k+2． 两根都是正数，则 x1+x2>0 且 x1x2>0， 即 k+3>0 且 2k+2>0，解得 k>−3 且 k>−1，所以 k>−1． 提醒：判断两根的正负，要联用“两根和”与“两根积”的符号． ———————————————————————————————— 11．若 α、β 是方程 x²−5x−3=0 的两个根，则 α²−6α−β 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】−2 【解析】 因为 α 是方程的根，所以 α²−5α−3=0，即 α²−5α=3； 由根与系数的关系，得 α+β=5． 所以 α²−6α−β=(α²−5α)−(α+β)=3−5=−2． 提醒：把所求式拆成“含根的等式”与“两根和”两部分是通法． ———————————————————————————————— 12．若 x1、x2 是方程 x²+6x+7=0 的两个根，则 (x1−x2)² 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】8 【解析】 由根与系数的关系，得 x1+x2=−6，x1x2=7； 所以 (x1−x2)²=(x1+x2)²−4x1x2=(−6)²−4×7=36−28=8． ———————————————————————————————— 13．已知一元二次方程 2x²−4x−1=0 的两根为 x1、x2，则 的值为 ＿＿＿＿． 【答案】−10 【解析】 由根与系数的关系，得 x1+x2=2，x1x2=−； 所以 == =（4+1）÷（−）=−10． ———————————————————————————————— 14．若关于 x 的一元二次方程 x²−(2k−1)x+k²−2=0 的两个实数根 x1、x2 满足 x1²+x2²=11，则 k 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】−1 【解析】 由根与系数的关系，得 x1+x2=2k−1，x1x2=k²−2； 所以 x1²+x2²=(x1+x2)²−2x1x2=(2k−1)²−2(k²−2)=2k²−4k+5． 由 2k²−4k+5=11 得 k²−2k−3=0，解得 k=3 或 k=−1． 又 Δ=(2k−1)²−4(k²−2)=9−4k≥0，得 k≤，所以 k=3 不符合题意，k=−1． 提醒：求出的字母值必须代回判别式检验． ———————————————————————————————— 15．已知方程 x²−4x+m−1=0 的两个根互为倒数，则 m=＿＿＿＿． 【答案】2 【解析】 设方程的两个根为 x1、x2，由根与系数的关系，得 x1x2=m−1． 因为两根互为倒数，所以 x1x2=1，即 m−1=1，解得 m=2． 检验：当 m=2 时，方程为 x²−4x+1=0，Δ=(−4)²−4×1×1=12>0，方程有两个实数根，符合题意． ———————————————————————————————— 16．若关于 x 的方程 x²+px+q=0 的两根之和为 4，两根之积为 −3，则关于 y 的方程 (y−2)²+p(y−2)+q=0 的两根之积是 ＿＿＿＿． 【答案】9 【解析】 设方程 x²+px+q=0 的两根为 x1、x2，则 x1+x2=4，x1x2=−3； 把 (y−2)²+p(y−2)+q=0 看作关于 (y−2) 的一元二次方程， 则它的两根为 y1=x1+2，y2=x2+2， 所以 y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=−3+8+4=9． ———————————————————————————————— 17．已知 m、n 是方程 x²+x−3=0 的两个实数根，则 m³−3m+n+2024 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】2020 【解析】 因为 m 是方程的根，所以 m²+m−3=0，即 m²=−m+3； 于是 m³=m·m²=m(−m+3)=−m²+3m=−(−m+3)+3m=4m−3； 由根与系数的关系，得 m+n=−1； 所以 m³−3m+n+2024=(4m−3)−3m+n+2024=m+n+2021=−1+2021=2020． 提醒：把高次项用低次项“降次”表示，再整体代入． ———————————————————————————————— 18．已知 m 为正整数．若方程 x²+4x+m=0 的两个根是互不相等的整数，则 m=＿＿＿＿． 【答案】3 【解析】 Δ=4²−4×1×m=16−4m>0，得 m<4；又 m 是正整数，所以 m 可取 1，2，3． 逐个检验：m=1 时 Δ=12，m=2 时 Δ=8，均不是完全平方数，方程的根不是整数； m=3 时，方程为 x²+4x+3=0，即 (x+1)(x+3)=0，两根为 −1 和 −3，是不相等的整数，符合题意． 所以 m=3． ———————————————————————————————— 19．已知方程 x²+2x+m=0 的两根为 x1、x2，且 =2，则 m=＿＿＿＿． 【答案】−1 【解析】 由根与系数的关系，得 x1+x2=−2，x1x2=m； 因为 ===2，所以 m=−1． 检验：当 m=−1 时，方程为 x²+2x−1=0，Δ=2²−4×1×(−1)=8>0，方程有两个实数根，符合题意． ———————————————————————————————— 20．有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 144 人患了流感，则每轮传染中平均 1 人传染了 ＿＿＿＿ 人． 【答案】11 【解析】 设每轮传染中平均 1 人传染 x 人． 第一轮后共有 (1+x) 人患流感，第二轮后共有 (1+x)+x(1+x)=(1+x)² 人患流感． 由题意得 (1+x)²=144，所以 1+x=12 或 1+x=−12， 解得 x=11 或 x=−13（不合题意，舍去）． 所以每轮传染中平均 1 人传染了 11 人． ———————————————————————————————— 21．某商品经过连续两次降价后，售价由原来的 200 元降为 128 元．若每次降价的百分率相同，则这个百分率是 ＿＿＿＿． 【答案】20% 【解析】 设每次降价的百分率为 x． 由题意得 200(1−x)²=128，即 (1−x)²=0.64， 所以 1−x=0.8 或 1−x=−0.8，解得 x=0.2 或 x=1.8． 因为降价的百分率不能大于 1，所以 x=1.8 不合题意，舍去，x=0.2=20%． 提醒：解出方程的根后，一定要检验是否符合实际意义． ———————————————————————————————— 22．如图，某农场要建一个矩形养鸡场，一边利用长为 18 m 的墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为 40 m．若养鸡场的面积为 168 m²，则与墙垂直的一边的长是 ＿＿＿＿ m． 【答案】14 【解析】 设与墙垂直的一边的长为 x m，则与墙平行的一边的长为 (40−2x) m． 由题意得 x(40−2x)=168，整理得 x²−20x+84=0，解得 x=6 或 x=14． 当 x=6 时，与墙平行的一边长为 40−2×6=28(m)，28>18，超过了墙的长度，不符合题意； 当 x=14 时，与墙平行的一边长为 40−2×14=12(m)，12<18，符合题意． 所以与墙垂直的一边的长是 14 m． 提醒：利用“墙”作一边时，必须检验另一边的长是否超过墙长． ———————————————————————————————— 23．某商场销售一种进价为 20 元/件的商品，为了解售价与日销量的关系，统计了部分数据如下表： 售价 x（元/件） 24 26 28 30 日销量 y（件） 52 48 44 40 若日销量 y 与售价 x 之间满足一次函数关系，且该商品每天的销售利润为 400 元，则售价为 ＿＿＿＿ 元/件（写出一个符合题意的值即可）． 【答案】30 或 40（写出一个符合题意的值即可） 【解析】 设日销量 y 与售价 x 之间的函数关系式为 y=kx+b． 把 (24，52)、(26，48) 代入，得 24k+b=52，26k+b=48，解得 k=−2，b=100， 所以 y=−2x+100（经检验，其余两组数据也满足该关系式）． 由题意得 (x−20)(−2x+100)=400，整理得 x²−70x+1200=0， 解得 x=30 或 x=40，两个值都满足 20<x<50，均符合题意． 所以售价为 30 元/件或 40 元/件，写出其中一个即可． ———————————————————————————————— 24．已知实数 a、b 满足 a²+3a−2=0，b²+3b−2=0，且 a≠b，则 (1+a²)(1+b²) 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】18 【解析】 因为 a≠b，且两个等式的形式完全相同，所以 a、b 是方程 x²+3x−2=0 的两个不相等的实数根； 由根与系数的关系，得 a+b=−3，ab=−2． 所以 (1+a²)(1+b²)=1+a²+b²+a²b²=1+[(a+b)²−2ab]+(ab)² =1+[9−2×(−2)]+4=1+13+4=18． 提醒：“两式同构”时，要把两个字母看成同一个一元二次方程的两个根． ———————————————————————————————— 25．对于任意实数 a、b，定义新运算：a※b=a²−2b．若关于 x 的方程 (x※m)+x=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】− 【解析】 由新运算，得 x※m=x²−2m， 所以原方程可化为 x²−2m+x=0，即 x²+x−2m=0． 因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ=1²−4×1×(−2m)=1+8m=0， 解得 m=−． ———————————————————————————————— 学科网（北京）股份有限公司 $