第25章 一元二次方程拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第二十五章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.若关于x的一元二次方程(m十3)x2一4x十m.x十|m十3=0的常数项是6，则一次项是() A.x B.-1 C.-x D.1 2.已知关于x的方程x2一(3k+1)x+3k2+2=0,则该方程根的情况为 A.方程无实数根 B.方程有一个实数根 C.方程有两个相等的实数根 D.方程有两个不相等的实数根 3.用配方法解一元二次方程2x2一5.x一1=0，配方正确的是 ( A--8 B女--号 -)-留 n.-}- 4.已知一元二次方程2x2一9x十8=0的两个根分别为a,b,且a>b,则a的值为 A.-9-17 B 9-√/17 C-9+17 D. 9+√17 4 4 4 4 5.已知a是方程x2-2025x+1=0的-个根，则代数式u2-2024a+2025的值为 a2+1 A号 1 B. C.-2025 2025 D.2024 6.若关于x的方程4x2十4m.x-3m一1=0有两个相等的实数根，则m3+4m2+4m-2的值为 () A.-3 B.-2 C.-1 D.1 7.某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台.根据市场调查发现：这种机床 每台的售价每增加0.1万元，每月就会少售出1台.若四月份该专卖店想将销售额提高25%，则 这种机床每台的售价应定为 A.3万元 B.5万元 C.8万元 D.3万元或5万元 8.若m,n是方程x2-2024x十2025=0的两个根，则代数式(m2-2023m+2025)(n2-2023m十 2025)的值是 () A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=50m,CB=40m,点P从点A开始沿AC边向点C以 2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB以3m/s的速度移动，且一点到达终点 时，两点同时停止移动.当△PCQ的面积为450m时，经过的时间是 ( A.10s或15s B.10s C.15s D.20s (第9题) 18 第二十五章一元二次方程 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=m,BC=71,以点C为圆心，CB为 半径画弧，交AC于点D,以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E,连4∠ 接BD.下列线段中，其长度一定是关于x的一元二次方程x2十x=m2的 (第10题) 一个根的是 () A.AE B.BE C.CD D.BD 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若菱形的边长是方程x2一8x+15=0的一个根，且AC 8,该菱形的面积是 12.若方程x2一2x一4=0的两个实数根为a,3,则α3+83十1的值为 13.徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每名同学赠送了一张签名卡，每名同学间也 互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则共有 名同学 14.景区内有一块8米×5米的矩形郁金香园地（如图，单位：米），现在其中 修建一条观花道（涂色部分），供游人赏花.若观花道的面积为12平方 米，则x的值为 15.关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个根分别为x1= 一1，x2=2,则关于x的方程c(x一1)2+b(x一1)十a=0的两个根分别 (第14题) 为 6若关于x的一元三次方程x2-2(2一k)x++8=0的两个实数根为a,8设10，则t的 最小值是 三、解答题（共52分） 17.(15分)按要求解下列方程： (1)(2x-1)=x(1-2x) (2)3.x2-10x+6=0 (3)2x2=2√3x-1 (因式分解法) (配方法). (公式法). 18.(10分)已知关于x的一元二次方程mx2-3(m一1)x十2m-3=0. (1)求证：该方程有两个实数根， (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由」 19 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 19.(12分)新境生活实际某夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市雄位摆放位置进行升级改 造，改造后的布局如图所示（单位：m).已知在矩形ABCD中，AD=40m,AB=30m,涂色部分 为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行道，设人行道的宽为xm. (1)若摆难位的总面积为600m2,求x的值. (2)该夜市共有60个摊位，据调查可知，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个 摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个滩位.在尽可能让利于摊主的条件下，设每个摊位的 日租金上涨a元(a为5的倍数)，要使夜市的日租金收入为12320元，求此时a的值， -40 B (第19题) 20.(15分)定义：已知x1,x2是关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个实数根，若 工1>x2>0,且3<<4，则称这个方程为“特优方程”.例如：一元二次方程x2-13x十30=0 的两个根为x1=10,x2=3,满足x1>x2>0,3<1<4,因此一元二次方程x2-13x十30=0为 “特优方程” 请阅读以上材料，解答下列问题： (1)判断一元二次方程x2一22x+85=0是否为“特优方程”，并说明理由. (2)若关于x的一元二次方程4x2一(k十15)x十k2+5=0(k>0)是“特优方程”，且方程的两个 根x:演足计好一8x求长的值 20 >“答案与解析”见PI0即黄金比为5一 2 .(2)①设△ABC中BC边上的高为 1 h.:△@=Am, 2CD·h 2BD·h CD S△ABD S△AX 1 BD·h 1 ，即BD BC·h 厂C..D是线段BC的黄金分割点。②设△ACD的面 积为5，则△ABD的面积为4-S,由题意，得二S 4,整霆，得5-12S+16=0,解得5，=6-25,5， 6+25(不合题意，舍去)，.△ACD的面积为6-25. 第二十五章拔尖自主测评 1.C,关于x的一元二次方程(m十3)x2-4x十m.x十 |m+3=0的常数项是6，∴.m十3=6，m+3≠0，解得 m=3.把m=3代入原方程可得6x2一x十6=0，∴.一次项 是一x 2.A:△=b2-4ac=[-(3+1)]2-4×1×(3k2+ 2)=9k2+6k+1-12k2一8=-3k2+6k-7=-3(k一 1)2一4<0，∴.方程无实数根， 3.A2x2-5x-1=0,.2x2-5x=1.小x2-2x= 2-x+()°-+()”…(x-)-得 4D解2x-9x十8=0，得=9生厘.：原方程的两 个根分别为a,b,且a>ba=9十☑ 5.Da是方程x2-2025x+1=0的一个根，∴a2- 2025a+1=0..∴.a2-2025a=-1,a2+1=2025a.,∴.原 式=a2-2025a+a+g=-1+a+日 2025 =-1十 Q2+1--1+2025a=-1+2025=2024. 6.A由题意，得△=(4m)2一4×4×（一3m一1）= 16m2+16(3m+1)=0,即m2+3m+1=0,.m2= -3m-1,m2+3m=-1..∴.m3+4m2+4m-2= m(-3m-1)+4m2+4m-2=m2+3m-2=-1-2= -3. 7.D设这种机床每台的售价应定为x万元.由题意，得 (60-6) =2X60×(1+25%),解得x1=3,x2=5. 8.C由题意，得mm=2025,m2-2024n+2025=0, n2-2024n+2025=0,.m2-2023m+2025=(m2- 2024m+2025)+m=0+m=m,n2-2023m+2025= (n2-2024n+2025)+n=0+n=n.∴.(m2-2023m+ 2025)(n2-2023m+2025)=mm=2025. 9.B设经过的时间是x&根据题意，得号(50-2)· 3x=450,整理，得x2一25x+150=0,解得x1=15,x2= 10.一点到达终点时，两点同时停止移动，∴.3x≤40. ≤9：=10“当△PCQ的面积为450m时.经 过的时间是10s. 10.A∠ABC=90°，AB=m,BC= 1 2n,∴.AC= VAB+-√m+子.AE=AD=AC-CD 1 2.”x2+x=m2,x2+ 1 AC-BC=√m2+42- 22=0..x=n±√n十一 n2+4m 2 4 名4=±人√r+m-“一定是关于x的-元 次方程x2十x=m2的一个根的是线段AE的长， 11.24x2-8x+15=0,∴.(x-3)(x-5)=0..x1= 3,x2=5.·当菱形边长是3时，3十3=6<8，不能组成三 角形，∴.该菱形的边长是5.四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,BD=2OB,OA=号AC=4OB= √AB2-OA7=√5-4平=3..BD=6..S装形AxD= 2AC·BD=7×8X6=2L 12.25根据题意，得a十B=2,a2=2a+4,.a3十83+ 1=a(2a+4)+83+1=2a2+4a+83+1=2(2a+4)+ 4a+83+1=8a+83+9=8(a+B)+9=8×2+9=25. 13.41设共有x名同学.根据题意，得x(x一1)十x= 1681,解得x1=41,x2=一41（不合题意，舍去），.共有 41名同学 141根据题意，得8×5-2×2(8-x)(5-x)=12,解 得x1=1,x2=12(不合题意，舍去)，∴.x的值为1. 15.x1=0,x2= 号“关于x的一元二次方程ar+ bx十c=0(a≠0)的两个根分别为x1=一1，x2=2, 、-b=-1+2=1,6=-1X2=-2.将方程c(x一 1)2+b(x-1)十a=0变形，得二(x-1)2+(-10+ 1=0,∴.-2(x-1)2-(x-1)+1=0,即2(x-1)2+(x 1)-1=0.∴.[2(x-1)-1][(x-1)+1]=0.∴.x1=0, x2=2 16.-6a,3为方程x2-2(2-k)x十k2+8=0的两个 实数根∴Q十B=2(2-k.t=十里_2(2-k)-4 k k 2.又：△=[-2(2-k)刀2-4(k2+8)≥0，∴.k≤-1. ·-4≤看<0-6≤-2<-2，即-6<<-2. ∴.t的最小值为一6. 17.(1)(2x-1)=x(1-2x),.(2x-1)+x(2x ①=0.(2x-1D(x+1)=0,解得x1=2,x=-1 (2)3x2-10x+6=0,∴.3x2-10x=-6..x2- 号-2-9+（停）=-2+总(-）” 10 子号=±号得-- 3 (3)2x2=23x-1,.2x2-2√3x十1=0.△=b2 4ac=(-23)2-4×2×1=12-8=4>0,.x= 生远-2装-，即， Za 2X2 2 1 2 18.(1):△=[-3(m-1)]2-4×m×(2m-3)=m2 6m十9=(m一3)≥0，∴.该方程有两个实数根.(2)可 第二十六章 26.1二次函数的概念 1.Ay=2(x-3)2+2=2x2-12x十20，.该函数的 二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，一12,20. 2.B七月份生产零件50万个，则八月份生产零件50(1十 x)万个，九月份生产零件50(1+x)2万个，∴.y=50+ 50(1+x)+50(1+x)2. 3.2由题意，得|m=2且m十2≠0，解得m=2. 4.(1):'正方形ABCD的边长是4，BE=x,DF=2BE, ∴.AE=AB-BE=4-x,AF=AD+DF=4+2x.∴.y= (4-x)(4十2x)=-2x2+4x十16.点E不与点A,B重 合，.0<x<4.∴.y=-2x2+4x十16(0x<4). 11 以.理由：.m2一3(m一1)x十2m一3=0，'.(x一1)· (mm-2m十3)=0.，=1，，-2m-3.:2m-3=2 m 心当整数m=一1或-3或3时，也是正整数 3 ,该方程的两个实数根可以都为正整数。 19.(1)由题意可知，涂色部分可合成长为(40-2x)m、宽 为(30-2x)m的矩形，∴.(40-2x)(30-2x)=600,整理， 得x2-35x十150=0，解得x1=5,x2=30(不符合题意，舍 去).∴.x的值为5.(2)由题意，得(200+a)（60一 号×1）=12320整理，得a2-10a+1600=0,解得a 20,a2=80(不合题意，舍去)，∴.此时a的值为20. 20.(1)此方程为“特优方程”.理由：：x2一22x十85=0， ∴.(x-17)(x-5)=0,解得x1=17,x2=5.17>5>0, 3<号<4此方程为“特优方程、(2)由根与系数的 关系，得1十=+15】 =x1x2=42.:xf十29 3x(a,+,-5x=()- 5x“生5号解得6-器-3：6>06-8 .此时方程为4x2一18x+14=0,即2x2-9x+7=0,解 7 得0=2=1.·1>x,>0,且3<9<4.符合 “特优方程”的定义.∴.飞=3. 二次函数 (2)矩形AEGF的面积是10，.10=-2x2+4x+16, 解得x1=3,x2=-1(不合题意，舍去)..BE的长为3. m≠0， 5.D由题意，得{ 解得m=一3. m2+3m+2=2, 易错警示 二次函数必须满足的条件 (1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后 自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不为0，如本题 中易因不考虑自变量的系数出错，由m+3m十2=2解 得m的值中应去掉m=0的情况 6.y=-3x2+28x由题意，得AB=x米，BC=(28一