25.1 一元二次方程的概念-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.将一元二次方程x(x-6)=6x+25化为一般形式为x2-mx十n=0,则m,n的值分别是() A.12,-25 B.1,-25 C.-19,25 D.0,25 2.易错题若关于x的一元二次方程(a十1)x2十x十a2一1=0有一个根为0，则a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 3.若m是方程x2-2x一3=0的一个根，则一3m2+6m的值为 A.9 B.0 C.6 D.-9 4,若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有一个根为x=5,则关于x的一元二次方程 a(2x一1)2+b(2x-1)十c=0必有一个根为 5.教材变式题根据下列问题列方程，并将方程化为一般形式： (1)一次同学聚会时，同学见面后每两人握一次手，共握手28次，设参加聚会的同学有x人，则 可列方程为 ,化为一般形式： (2)设计人体雕像时，艺术家会使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，如果雕像的高为2m,设雕像下部为xm,则可列方程为 化为一般形式： 6.教材变式题把下列一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)(4x-1)(.x+3)=13x-10. (2)2(y+3)(3-y)=3(y+1)2. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 7.把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一 段的长.根据此问题，设较短一段的长为x,则列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式，下列正确的是 () A.x2+x-1=0 B.x2-x+1=0 C.x2-3x+1=0 D.x2+3x-1=0 8.若关于x的一元二次方程x2十bx十a=0有一个根是一a(a≠0)，则下列代数式中，值恒为常数 的是 () A.ab B合 C.a+b D.a-b 9.若xo是方程a.x2十2x十c=0(a≠0)的一个根，设M=2-ac,N=(a.xo十1)2，则下列结论正确 的是 A.M>N B.M=N C.M<N D.2M-N :注：标“易错题”的设有“易错警示”，标“★”的题目设有“方法归纳”，详见分册“答案与解析”. 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 10.向新定义题定义：如果一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)满足a十b十c=0,那么我们称 这个方程为“凤凰方程”.已知ax2+bx十c=0(a≠0)是“凤凰方程”，且有一个根为一1，则下列 结论中，正确的是 () A.a=c,b=1 B.a=b,c=0 C.a=-c,b=0 D.a=b=c 11.如果方程(m一1)x2十√mx一2=0是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是 12.关于x的一元二次方程2(x一1)2+b(x一1)+c=0化为一般形式后为2x2一3x一1=0，则b一 c= 18若m是方程-3红一1=0的-个根.则代数式m+ 的值为 4壁体国回若m为一元二次方程文十一40的一个根，则十的值为 15.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边 的长， (1)如果1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由. (2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 16.已知a,b是方程x2一x一3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a一b+5的值为 17.定义：如果关于x的一元二次方程a.x2+bx十c=0(ac≠0)有一个根是a,那么我们称这个方程 是“A方程” (1)判断：一元二次方程x2一4x+3=0(填“是”或“不是”)“A方程”. (2)已知关于x的一元二次方程-x2十bx十c=0(c≠0). ①当该方程是“A方程”时，b,c满足什么关系？ ②若该方程是“A方程”，求代数式b2一6c的最小值 2 >“答案与解析”见PI第二十五章 25.1一元二次方程的概念 1.A:原方程整理得x2一12x一25=0，其化为一元二 次方程的一般形式是x2一mx十n=0,∴.m=12,n=-25. 2.C由题意，把x=0代人原方程，得a2-1=0,解得a= 士1.又a+1≠0，.a≠-1...a=1. 易错警示 忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错 根据某个条件求一元二次方程中待定字母的值时， 要保证二次项的系数不为0. 3.D.m是方程x2-2x-3=0的一个根，∴.m2 2m-3=0.∴.m2-2m=3..-3m2+6m=-3(m2 2n)=-3X3=-9. 4.x=3,关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0有一 个根为x=5,.一元二次方程a(2x-1)2+b(2x一1)十 c=0必有2x一1=5.∴.x=3. 5.(D2xx-1）=282-x-56=0（2)x2=22- x)x2+2x-4=0 6.(1)一般形式为4x2一2x十7=0.方程的二次项系数、一 次项系数和常数项分别为4，一2,7.(2)一般形式为 5y2十6y一15=0.方程的二次项系数、一次项系数和常数 项分别为5,6，一15. 7.C根据题意，得x×1=(1一x)2,整理得x2-3x+1=0. 8.D:关于x的一元二次方程x2十ba十a=0有一个根 是-a,.(-a)2-ab+a=0,即a2-ab+a=0.∴.a(a b+1)=0.a≠0，a-b=一1..a一b的值恒为常数 9.A由条件可知a.x6+2x0十c=0,即ax6+2x0=一c. N=(axo+1)2=a2x+2axo+1,M=2-ac,.'.N- M=(a2x+2a.x0+1)-(2-ac)=a2x+2a.x。+ac-1 a(ax+2x)+ac-1=a(-c)+ac-1=-1<0.∴.MN. 10.C根据题意，得a十b+c=0,a一b十c=0.两式相加， 得2(a十c)=0,∴.a=-c.两式相减，得2b=0,∴.b=0. 11.m≥0且m≠1由题意，得m≥0且m一1≠0，解得 m≥0且m≠1. 12.3关于x的一元二次方程2(x一1)2+b(x一1)十c= 0可化为2x2十(b一4)x+2一b+c=0.由题意，知b一4= -3,2-b+c=-1,解得b=1,c=-2,∴.b-c=3. 13.13m是方程x2-3x-1=0的一个根，.m2 3-1=0-3=0m-是-a(如》 元二次方程 (m动)°+4=8+4=18 14音“m为-元二次方程x2十x-4=0的-个根， .m2+m-4=0,即2+m=4..4m2+4m=16..4m2+ 板+1=1识@a+=1需0-品 15.(1)△ABC是等腰三角形.理由：把x=1代人方程 (a十c)x2-2bx+(a-c)=0,得a+c-2b+a-c=0, ∴.2a=2b..a=b.∴.△ABC的形状是等腰三角形. (2).△ABC是等边三角形，∴.a=b=c.:(a十c)x2 2ba+(a-c)=0,∴.(a+a)x2-2a.x十a-a=0,即x2 x=x(x一1)=0，解得x=0或x=1..这个一元二次方 程的根是x=0或x=1. 16.23a,b是方程x2一x一3=0的两个根，.a2- a-3=0,b2-b-3=0,即a2=a+3,b2=b+3..2a3+ b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)- 11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6- 2a+17=23. 17.(1)是.当x=1时，x2-4x+3=1-4×1+3=0, .一元二次方程x2一4x十3=0是“A方程”.(2)①：该 方程是“A方程”，即关于x的方程一x2+ba+c=0的一 个根为-1，.-1-b十c=0..b=c-1.②b=c- 1,∴.b2-6c=(c-1)2-6c=c2-2c+1-6c=c2-8c+ 1=(c-4)2-15.:(c-4)2≥0，.b2-6c=(c-4)2- 15≥一15.∴.当c=4时，代数式b2-6c有最小值，最小值 为-15. 25.2降次一解一元二次方程 第1课时配方法 1.D将x=2代人原方程，得(2a-1)2=16,∴.2a-1= 士4a=昌或a=-子 2.Dx2-3x+1=0,.x2-3x=-1.∴x2-3x十 早-号(，一2)-是又：用配方法解方程-十 10时：将方程化为-a-6的能式a号6 5 4 31)4972望子3)若号台专 4.(1)7(2)8 (1)(x2+y2-3)2=16,.x2+y2-3=±4..x2+