25.2.4根与系数关系同步分层课时练 2026-2027学年人教版九年级上册数学

2026年人教版九年级上数学25.2.4根与系数关系同步分层课时练 一．选择题（共4小题） ⁎1．已知x1、x2为方程x2+2x﹣2＝0的两根，则x1•x2的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 ⁎2．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣20 ⁂3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的个数是（　　） ①若方程的两个根为﹣2和1，则2b+c＝0． ②若a+b+c＝0，则方程一定有解． ③若am2+bm+c＝an2+bn+c＝0，则m＝n． ④若ab﹣bc＝0，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ⁑4．设a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 二．填空题（共3小题） ⁎5．已知x＝﹣2是方程的一个根，则方程x2+mx﹣6＝0的另一个根是________ ． ⁑6．已知α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则代数式的值为_____ ． ⁂7．若α、β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则（α﹣3）（β﹣3）的值是_______ ． 三．解答题（共2小题） 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+1＝0（k为常数）有两个不相等的实数根． ⁎（1）求实数k的取值范围； ⁑（2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝k2﹣3，求k的值． 9．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． ⁎（1）直接写出方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为___________ ； ⁑（2）若关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0有衍生点； ①求实数q的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求q的值； ⁂（3）已知不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点G始终在直线y＝kx+3（2﹣k）上，求b，c的值． 2026年人教版九年级上数学25.2.4根与系数关系同步分层课时练 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 1．【解答】解：∵x1、x2为方程x2+2x﹣2＝0的两根， ∴x1•x2＝﹣2． 故选：D． 2．【解答】解：由题知， 因为x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根， 则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣9， 所以x1+x2﹣2x1x2＝﹣2﹣2×（﹣9）＝﹣2+18＝16． 故选：A． 3．【解答】解：①若方程的两个根为﹣2和1，由根与系数的关系得，， ∴b＝a，c＝﹣2a， ∴2b+c＝2a﹣2a＝0，故①正确，符合题意； ②∵a+b+c＝0， ∴将x＝1代入方程得a•12+b•1+c＝a+b+c＝0， ∴x＝1是方程的根，即方程一定有解，故②正确，符合题意； ③若am2+bm+c＝an2+bn+c＝0，则m，n都是方程ax2+bx+c＝0的实数根， ∵一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴m不一定等于n，故③错误，不符合题意； ④若ab﹣bc＝0，则b（a﹣c）＝0， ∵， ∴ac＜0，a与c异号， ∴a≠c，即a﹣c≠0， ∴b＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝﹣4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 两根之和为， ∴方程的两实数解一定互为相反数，故④正确，符合题意； 故正确的有①②④，共3个． 故选：C． 4．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2017＝0的实数根， ∴a2+a﹣2017＝0， ∴a2+a＝2017， ∵a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2017+（﹣1）＝2016． 故选：D． 二．填空题（共3小题） 5．【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得﹣2t＝﹣6， 解得t＝3， 即方程的另一个根为x＝3． 故答案为：x＝3． 6．【解答】解：由根与系数的关系，得α+β＝﹣2，αβ＝﹣1， 则， 代入数值，， 故答案为：2． 7．【解答】解：由条件可知α+β＝2，αβ＝﹣5， ∴（α﹣3）（β﹣3）＝αβ﹣3α﹣3β+9＝αβ﹣3（α+β）+9＝﹣5﹣3×2+9＝﹣2， 故答案为：﹣2． 三．解答题（共2小题） 8．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+1＝0（k为常数）有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+1）＞0， ∴16+8k﹣4＞0， ∴k． ∴实数k的取值范围为k． （2）∵x1、x2是该方程的两个根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣2k+1， ∵x1x2+x1+x2＝k2﹣3， ∴﹣2k+1+4＝k2﹣3， 即k2+2k﹣8＝0， ∴k＝﹣4或k＝2． ∵k， ∴k＝2． 9．【解答】解：（1）方程左边分解因式，得x（x+2）＝0， ∴x+2＝0或x＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）； （2）①根据题意可得： ， 即， 解得且q≠0； ②设关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0的两个实数根分别为m，m+， 则， ∴2m+＝m2+m， 解得或， 当时，， 当时，， 综合，q的值为或； （3）∵y＝kx+3（2﹣k）＝k（x﹣3）+6， ∴直线过定点M（3，6）， ∴方程x2+bx+c＝0的两个实数根为x1＝3，x2＝6， ∴， ， ∴b＝﹣9，c＝18． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $