25.2 第3课时因式分解法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第3课时 因式分解法 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.教材变式题方程x(x一5)=5一x的根是 () A.x=5 B.x=0 C.x1=5,x2=0 D.x1=5,x2=一1 2.分类讨论思想若Rt△ABC的两边长是方程x2一10x+24=0的两个根，则Rt△ABC的斜边长为 () A.6 B.2√5或2/13 C.6或213 D.6或2√5 3.设m是方程x2十5.x=0的较大的一个根，n是方程x2-x一6=0的较小的一个根，则m十n的 值是 () A.-4 B.-3 C.-2 D.2 4.三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程x2一16=2(x一4)2的一个实数根， 则该三角形的周长是 5.如图，A,B,C是数轴上异于原点O的三个点，且O为AB的中点，B为AC的中点.若点B表示 的数是x,点C表示的数是x2一3x,则x= A 9 B G (第5题) 6.教材变式题用因式分解法解下列方程： (1)(x-2)(x-5)=-2. (2)(2x-1)2=3(1-2x). (3)2(-2=x2- (4)(x-1)2-4(x-1)=-4. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 7.已知关于x的一元二次方程x2+(2k十1)x十k2-2=0的两根为x1和x2,且(x1一2)(x1 x2)=0,则k的值是 () A.-2 B.2.25 C.-2.25或2.25D.-2或-2.25 8 第二十五章一元二次方程 8.如图，在□ABCD中，∠B=45°，AE是BC的垂直平分线，且AE的长是一 元二次方程2x2一4x=5(2-x)的一个根，则□ABCD的周长为() A.6 B.12 (第8题) C.4+22 D.8+4√2 9.易错题如果x2一x一1=(x十1)°，那么x= 10.考向新定义题定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称 该方程是“一元二次倍根方程”.例如：方程x2一4x十3=0的两个根为x1=1,x2=3,,x2是 x1的3倍，∴.方程x2一4x十3=0是“一元二次三倍根方程”.若关于x的一元二次方程x2 (+3)x十2m十2=0是“一元二次三倍根方程”，则n的值为 11.教材变式题用适当的方法解下列方程： (1)√3(2x+√3)=x2+6.(2)(3y-1)2=y2-10y+25.(3)(5.x+1)(2x-3)=2(3-2x). 12.已知3x2+8xy-3y2=0(xy≠0)，求+y的值 T一y 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 13.换元法解方程x4一x2-2=0时，可设x2=y(换元)，∴.y2-y一2=0，解得y1=一1，y2=2.又 y≥0，∴.x2=2,解得x=士√2.此方法称为“换元法”.仿照以上方法解决问题：已知(x2 3x)2-(x2一3x)一12=0，则方程的解为 14.我们学习了因式分解之后可以解答某些高次方程和高次代数式问题，例如：一元二次方程x2十 x一2=0可以通过因式分解化为(x-1)(x十2)=0，则方程的两个解为x1=1,x2=一2；反之， 如果x=1是方程ax2+bx十c=0的一个解，那么多项式a.x2十bx十c必有一个因式为x一1. 在理解上文的基础上，试将多项式x3十x2一3x十1因式分解. “答案与解析”见P4 9∴.c=22..a+b=√2×22=4..(a+b)2=16. .a2+2ab+b=16.a2+b2=c2=(2√2)2=8， 2ab+8=16.小ab=4.S△x=2ab=2X4=2. 专题特训一根的判别式的四种考法 1.A.△=k2-4(k-1)=2-4k+4=(k-2)2≥0， ∴.方程有两个实数根 2.A,关于x的方程x2-(2k一2)x+k2-1=0有两 个实数根，∴.△=[-(2k-2]2-4×1×(k2-1)≥0，解得 k≤1..k-1≤0,2-k>0..√(k-1)-(√2-k)2= -(k-1)一(2一k)=-1. 3.C将原方程看作是关于b的方程并整理，得b一ab十 2a+2=0.4=(-a)2-4(2a+2）≥0.∴u2-2a 8≥0..∴.(a-1)2≥9.∴.a-1≥3或a一1-3，解得a -2或a≥4. 4.4关于x的一元二次方程(m2一4)x2+2(m-2)x+ 1=0有实数根，∴.△=[2(m-2)]2一4(m2一4)≥0，且 m2一4≠0，解得m<2且m≠一2.∴.m取最大整数为1， 此时原方程为一3x2一2x+1=0,即3x2+2x一1=0. ∴.3x2+2x=1...3x2+2x+3=1+3=4. 5.-号：方程2+21+a)z+3a2+4a6+462+2=0 有实数根，.△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)= 4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab- 16b+8a-4≥0.∴.-2a2-4ab-4b2+2a-1≥0. .a2-2a+1+a2+4ab+4b20..∴.(a-1)2+(a+ 2b)20.(a-1)2+(a+2b)2≥0，..(a-1)2+(a+ 26=0.u+2%=0.名=-7 1 6.(1①D由题意，得4=[-(m+1)]2-4X1×(m-) m2+2m+1-4m+1=m2-2m+2=(m-1)2+1..(m 1)≥0，.(m-1)2+1>0,即4>0.∴.方程必有两个不 相等的实数根.(2)，'当0m<5且m为整数时，该方 程存在两个有理数根，且△=(m一1)2+1，∴.m=1.∴.原 方程为2-2x十号=0，且4=1.：此时原方程的解为 一出即-=m的值为1，这两 2 个有理数根为2和2 7.(1)四边形ABCD是菱形.理由：：一元二次方程(a十 c)x2+2bx十(c一a)=0有两个相等的实数根，∴.△= (2b)2-4(a十c)(c-a)=0,化简，得a2+b2=c2.:2a,2b 分别为□ABCD的对角线AC,BD的长，c为边AB的长， .□ABCD的对角线AC,BD互相垂直.∴.四边形 ABCD是菱形.(2)：'四边形ABCD为正方形，2a,2b 分别为□ABCD的对角线AC,BD的长，c为边AB的长， a=b-号心+6=.c=6.-元二次方程 (a十c)x2+2bx+(c-a)=0,∴.△=(2b)2-4(a+c)(c- a)=4(b2+a2-c2)=0.x=2(a+c6+2 一2b 一b =1 2,即这个一元二次方程的根是x,=x2=1一√2. 第3课时因式分解法 1.Dx(x-5)=5-x,∴.x(x-5)-(5-x)=0. ∴.x(x-5)+(x-5)=0.∴.(x-5)(x十1)=0，解得 x1=5,x2=一1. 2.C,x2-10x+24=0,.(x-4)(x-6)=0,解得 x1=4,x2=6.Rt△ABC的两边长是方程x2一10.x+ 24=0的两个根，.有以下情况：①两直角边长是4,6，由 勾股定理得，斜边长=√4十6=2√3；②一直角边长 是4，斜边长是6. 3.C解方程x2+5x=0,得x,=0,x2=-5.·m是方 程x2+5x=0的较大的一个根，∴.m=0.解方程x2一x 6=0,得x1=3,x2=一2.·n是方程x2一x一6=0的较 小的一个根，∴.n=-2..m十n=0十（一2）=-2. 4.30x2-16=2(x-4)2,∴.(x+4)(x-4)=2(x- 4)2..(x-4)[(x+4)-2(x-4)]=0..(x-4)(-x+ 12)=0,解得x1=4,x2=12.当x=4时，4十7=11，不满足 三角形的三边关系，不合题意，舍去；当x=12时，三角形 的周长为7+11+12=30. 5.6O是AB的中点，∴.OA=OB.:O是原点，点B 表示的数是x,∴.点A表示的数是一x.:B是AC的中 点，.AB=BC.∴.x-(-x)=(x2-3x)-x,解得x1= 0,x2=6.点B异于原点，∴.x≠0.∴.x=6. 6.(1)(x-2)(x-5)=-2,.x2-7x十10=-2. .x2-7x+12=0..(x-3)(x-4)=0,解得x1=3, x2=4.(2)(2x-1)2=3(1-2x),.(2x-1)(2x 1+3》=0.(2x-1)(2x+2)=0,解得x=2, 1 -1.(3)“2(-2)》=2-寻…2(x-2）》° (x+2)(x-2）=0.“(x-号)[2(x-2）-(x 2)】-0.(-3)(x-名)=0，解得1=2x 2.4)(x-102-4(x-10=-4,G-12- 4(x一1)十4=0...(x一1-2)2=0..(x一3)2=0，解得 x1=x2=3. 7.D(x1-2)(x1-x2)=0,.x1-2=0或x1一x2 0.①如果x1一2=0，那么x1=2,将x=2代人x2十(2k十 1)x十k2-2=0,得4+2(2k十1)+k2-2=0,整理，得 k2十4k十4=0，解得k,=k2=一2；②如果x1一x2=0,那 么△=(2k十1)2-4(k2-2)=0,解得k=-2.25.∴.k的 值为-2或一2.25. 8.D2x2-4x=5(2-x),∴.2x(x-2)+5(x-2)= 0.4(-2(2x+5)=0,第得4=2,2=-号AE 的长是一元二次方程2x2一4.x=5(2一x)的一个根，AE> 0,∴.AE=2.∠B=45,AE⊥BE,∴.易得AE=BE= 2.:'AE垂直平分线段BC,∴.BE=CE=2.∴.在Rt△ABE 中，AB=√BE+AE=2√2，BC=BE+CE=4.四边 形ABCD是平行四边形，∴·□ABCD的周长为2(AB十 BC)=8+4√2」 9.2x2-x-1=(x+1)°，∴.x+1≠0，(+1)"=1. .x2-x-1=1..x2-x-2=0..(x+1)(x-2)=0, 解得x,=一1（不合题意，舍去），x2=2. 易错警示 忽略零次幂的底数不能为0而致错 解决含零指数幂的方程时，必须先明确零指数幂的 底数不能为0，再进行方程求解，最后要根据限制条件检 验所有的解，舍去不符合条件的解。 10.5或-3：x2-0m+3)x+2m+2=0,.(x-2)… [x-(n+1)门=0，解得x1=n+1,x2=2.方程x2- (n十3)x十2n十2=0是“一元二次三倍根方程”，∴.分两种 情况讨论：①当3(n+1)=2时，n=一3，@当n十1= 2X3时m=5.综上所述，m的值为5或-子 11.(1)原方程化为x2-23x+3=0,则△=(-23)2一 4×1X3=0,∴.x= 230=3,即x1=x2=5. 2×1 (2)原方程化为(3y-1)2=(y-5)2,.3y-1=y-5或 .3 3y-1=一y十5，解得1=一2，=分·(3》原方程化为 (5x+1)(2x-3)十2(2x-3)=0,∴.(5x+3)(2x-3)=0. 15x十3=0或2x-3=0.解得=-号x:=是 12.32+8y-3y2=0,.(3x-y)(x+3y)=0. 1 3x-y=0或x+3)y=0.x=3y或x=-3y.·当 1 x=3y时，+-3yty x-y 1 =-2：当x=-3y时，十y x一y 33-y -3y+y=1. 1 3y-y2的值为一2或2 x-y 13.x1=4,x2=-1设x2-3x=y,.y2-y-12=0,即 (y-4)(y十3)=0，解得y1=4,y2=-3.当y=4时，x2 3x=4,解得x1=4,x2=-1;当y=一3时，x2-3x=一3， 即x2-3.x+3=0,由△=b2-4ac=(-3)2-4×1×3= 一3<0，可知此方程无实数根.综上所述，方程的解为x,= 4,x2=-1. 14.x=1是方程x3十x2一3x十1=0的一个解，∴.多 项式x3+x2一3x十1的一个因式为x-1.设x3十x2 3x+1=(x-1)(x2+ax-1),∴.x3+x2-3x+1=x3+ ax2-x-x2-ax+1=x3+(a-1)x2+(-a-1)x+1. .1=a-1,-3=-a-1,解得a=2..x3+x2-3x十 1=(x-1)(x2+2x-1). 第4课时一元二次方程的根与系数的关系 1.C由题意，得a+b=1,ab=-6,∴.(a十1)(b+1)= ab+(a+b)+1=-6+1+1=-4. 2.B由题意，得a十B=2,3=-2026,a2-2a-2026= 0,∴.a2=2a+2026.∴.a2+23+a3=2a+2026+23+ (-2026)=2(a+3)=4. 3.B关于x的一元二次方程x2+2x十1-2m=0的 (△=22-4×1×(1-2m)>0, 两个实数根之积为负数，∴. 1-2m0, 解得m>号实数m的取值范园是m>分 4.x2一6x十6=0根据题意，得2×3=c,1十5=一b,解 得b=一6，c=6,∴.正确的一元二次方程为x2一6x十 6=0. 5.4a,b是一元二次方程x2+2x一1=0的两个根， ∴.a2+2a-1=0,a+b=-2.∴.a2-1=-2a,a2= -2a+1原式=-2a+1+2。-2%=-2a十+1-1