25.4因式分解法同步分层课时练 2026-2027学年人教版九年级上册数学

2026年人教版九年级上数学25.4因式分解法同步分层课时练 一．选择题（共3小题） ⁎1．方程x2＝4x的解是（　　） A．x1＝x2＝4 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2 ⁎2．下列方程中，不能用因式分解法求解的是（　　） A．x2＝3x B．4x2＝9 C．2x2+5x＝6 D．9x2+6x+1＝0 ⁑3．已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 二．填空题（共3小题） ⁎4．对于一元二次方程（1﹣x）2+2x（x﹣1）＝0，将方程的左边因式分解，得方程__________________ ，由此可得两个一元一次方程__________ 与___________ ，解这两个方程即可得原一元二次方程的根为____________________ ． ⁑5．方程（x﹣1）（x+2）＝3（x+2）的根为 _______________ ． ⁎6．用因式分解法解方程9＝x2﹣2x+1． （1）移项得9﹣（x2﹣2x+1）＝0； （2）方程左边化为两个平方差，右边为零，得 ________________ ； （3）将方程左边分解成两个一次因式之积，得 ____________________ ； （4）解方程得x1＝_____ ，x2＝_______ ． 三．解答题（共4小题） ⁎7．用因式分解法解下列方程： （1）2x2﹣8x＝0； （2）x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0； （3）（x+1）2﹣（2x﹣3）2＝0； （4）x（2x﹣3）＝4x﹣6； ⁑8．对于解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2），…步骤① 等号两边同时除以（x﹣2），得3（x﹣2）＝（x+2），…步骤② 去括号，得3x﹣6＝x+2，…步骤③ 移项、合并同类项，得2x＝8，…步骤④ 系数化为1．得x＝4．…步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____ （填序号）． （2）请给出正确的解答过程． ⁂9．【阅读与理解】将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5． 【解决问题】 （1）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②x2+5x+4＝0； ③x2﹣6x﹣7＝0． ⁂10．请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4，c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 2026年人教版九年级上数学25.4因式分解法同步分层课时练 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．【解答】解：x2＝4x， x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， x＝0或x﹣4＝0， x1＝0，x2＝4． 故选：C． 2．【解答】解：x2＝3x整理得x2﹣3x＝0，可以利用提公因式法因式分解，则A不符合题意， 4x2＝9整理得4x2﹣9＝0，可以利用平方差公式因式分解，则B不符合题意， 2x2+5x＝6整理得2x2+5x﹣6＝0，不能利用因式分解法解方程，则C符合题意， 9x2+6x+1＝0可以利用完全平方公式因式分解，则D不符合题意， 故选：C． 3．【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4， 当第三边为4时，6﹣3＜4＜6+3，能构成三角形， ∴周长为3+6+4＝13； 当第三边为2时，2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为13， 故选：C． 二．填空题（共3小题） 4．【解答】解：（1﹣x）2+2x（x﹣1）＝0， 整理得：（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0， 因式分解得：（x﹣1）（x﹣1+2x）＝0， 即（x﹣1）（3x﹣1）＝0， 则x﹣1＝0或3x﹣1＝0， 解得：x1＝1，x2， 故答案为：（x﹣1）（3x﹣1）＝0；x﹣1＝0；3x﹣1＝0；x1＝1，x2． 5．【解答】解：移项得：（x﹣1）（x+2）﹣3（x+2）＝0， 分解因式得：（x+2）（x﹣1﹣3）＝0，即（x+2）（x﹣4）＝0， 可得x+2＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝4． 6．【解答】解：用因式分解法解方程9＝x2﹣2x+1． （1）移项得9﹣（x2﹣2x+1）＝0； （2）方程左边化为两个平方差，右边为零，得32﹣（x﹣1）2＝0； （3）将方程左边分解成两个一次因式之积，得（3﹣x+1）（3+x﹣1）＝0； （4）分别解两个一次方程（3﹣x+1）＝0和（3+x﹣1）＝0，得x1＝4，x2＝﹣2． 故答案为：（2）32﹣（x﹣1）2＝0；（3）（3﹣x+1）（3+x﹣1）＝0；（4）4，﹣2 三．解答题（共4小题） 7．【解答】解：（1）2x2﹣8x＝0， 2x（x﹣4）＝0， x＝0或x﹣4＝0， x1＝0，x2＝4； （2）x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x+2）＝0， x﹣1＝0或x+2＝0， x1＝1，x2＝﹣2； （3）（x+1）2﹣（2x﹣3）2＝0， [（x+1）+（2x﹣3）][（x+1）﹣（2x﹣3）]＝0， （x+1+2x﹣3）（x+1﹣2x+3）＝0， （3x﹣2）（4﹣x）＝0， 3x﹣2＝0或4﹣x＝0， x1，x2＝4； （4）x（2x﹣3）＝4x﹣6， x（2x﹣3）﹣2（2x﹣3）＝0， （2x﹣3）（x﹣2）＝0， 2x﹣3＝0或x﹣2＝0， x1，x2＝2； 8．【解答】解：（1）根据题意，可知步骤②两边同时除以（x﹣2）， 未考虑（x﹣2）可能为0的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②， 故答案为：②； （2）3（x﹣2）2＝x2﹣4， 3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2）， 3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣（x+2）]＝0， （x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0， （x﹣2）（2x﹣8）＝0， x﹣2＝0或2x﹣8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 9．【解答】解：（1）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0， ∴（x﹣7）（x﹣3）＝0， ∴原方程的解为x1＝7，x2＝3． ②x2+5x+4＝0， ∴（x+1）（x+4）＝0， ∴原方程的解为x1＝﹣1，x2＝﹣4． ③x2﹣6x﹣7＝0， ∴（x﹣7）（x+1）＝0， ∴原方程的解为x1＝7，x2＝﹣1． 10．【解答】解：（1）由条件可知， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即x2﹣4x+1＝0， 两边同时乘以2得2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）由条件可知， ∴（2x+1）2＝5， ∴4x2+4x+1＝5， 即x2+x＝1， ∴原式＝3x（x2+x）+3x2+2025 ＝3x×1+3x2+2025 ＝3x2+3x+2025 ＝3（x2+x）+2025 ＝3×1+2025 ＝2028． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $