25.2 第1课时配方法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十五章一元二次方程 25.2降次—解一元二次方程 第1课时配方法 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.若关于x的方程(ax一1)2一16=0的一个根为2，则a的值为 () A 以昌 8号 D戒昌 2.用配方法解方程x2-一3x+1=0时，将方程化为(x一a)2=b的形式，则a,b的值分别是（) A号 &3号 c29 35 D.24 3.教材变式题填空：（所填数据为正数） (1)x2+14x+ =(x十 )2. (2)x2-7x+ =(x一 )2 8)x-c+ =(x一 )2. (④x2+ 3 =(x十)2 4.整体思想(1)若(x2+y2-3)2=16,则x2+y2的值为 (2)若(a2+b2+1)(a2+b2-1)=63,则a2+b2的值为 5.教材变式题解下列方程： (1)4x2+4x+1=17. (2)x2-x--0 (3)易错题4x2-10x一1=0. (4)x(x-5)=2x-3. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.用配方法解一元二次方程-3x2+12x一2=0时，将它化为(x十a)2=b的形式，则a十b的值为 () D.3 3 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 7.已知方程x2-5.x十q=0可以配方成(x一p)2=9的形式，那么x2+5x十q=一1可以配方成 () A.(x+p+1)2=10B.(x+p)2=8 C.(x+力-1)2=8D.(x+p)2=10 8.当x= 时，代数式一x2+10x+1有最大值，最大值为 9.先阅读材料，再解答问题. 例题：若m2+2mm+2n2-6m+9=0,求m和n的值. 解：.m2+2mm+2n2-6n+9=0,∴.m2+2mn+n2+n2-6n+9=0. .(m+n)2+(n-3)2=0.∴.m十n=0,n-3=0.∴.m=-3,n=3. (1)若x2+2xy+5y2+4y+1=0,求xy的值. (2)已知a,b,c为△ABC的三边长，且a,b满足a2+5b2-4ab一2b+1=0,若△ABC为等腰三 角形，求△ABC的周长， 微专题·配方法的应用 1.[判断符号或比较大小已知m=a2+b2一1，n=2a一4b一6，则m与n的大小关系是m . 2.[判断三角形的形状]若a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足a2十b2十c2一ab-bc一ca=0,则 △ABC的形状是 3.[求最值]已知x,y都为实数，则式子一3x2+3.xy十6x一y2的最大值是 4.[求最值]如图，四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直，AC+BD=12,当AC,BD的 长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？ (第4题) 4 >“答案与解析”见PI第二十五章 25.1一元二次方程的概念 1.A:原方程整理得x2一12x一25=0，其化为一元二 次方程的一般形式是x2一mx十n=0,∴.m=12,n=-25. 2.C由题意，把x=0代人原方程，得a2-1=0,解得a= 士1.又a+1≠0，.a≠-1...a=1. 易错警示 忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错 根据某个条件求一元二次方程中待定字母的值时， 要保证二次项的系数不为0. 3.D.m是方程x2-2x-3=0的一个根，∴.m2 2m-3=0.∴.m2-2m=3..-3m2+6m=-3(m2 2n)=-3X3=-9. 4.x=3,关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0有一 个根为x=5,.一元二次方程a(2x-1)2+b(2x一1)十 c=0必有2x一1=5.∴.x=3. 5.(D2xx-1）=282-x-56=0（2)x2=22- x)x2+2x-4=0 6.(1)一般形式为4x2一2x十7=0.方程的二次项系数、一 次项系数和常数项分别为4，一2,7.(2)一般形式为 5y2十6y一15=0.方程的二次项系数、一次项系数和常数 项分别为5,6，一15. 7.C根据题意，得x×1=(1一x)2,整理得x2-3x+1=0. 8.D:关于x的一元二次方程x2十ba十a=0有一个根 是-a,.(-a)2-ab+a=0,即a2-ab+a=0.∴.a(a b+1)=0.a≠0，a-b=一1..a一b的值恒为常数 9.A由条件可知a.x6+2x0十c=0,即ax6+2x0=一c. N=(axo+1)2=a2x+2axo+1,M=2-ac,.'.N- M=(a2x+2a.x0+1)-(2-ac)=a2x+2a.x。+ac-1 a(ax+2x)+ac-1=a(-c)+ac-1=-1<0.∴.MN. 10.C根据题意，得a十b+c=0,a一b十c=0.两式相加， 得2(a十c)=0,∴.a=-c.两式相减，得2b=0,∴.b=0. 11.m≥0且m≠1由题意，得m≥0且m一1≠0，解得 m≥0且m≠1. 12.3关于x的一元二次方程2(x一1)2+b(x一1)十c= 0可化为2x2十(b一4)x+2一b+c=0.由题意，知b一4= -3,2-b+c=-1,解得b=1,c=-2,∴.b-c=3. 13.13m是方程x2-3x-1=0的一个根，.m2 3-1=0-3=0m-是-a(如》 元二次方程 (m动)°+4=8+4=18 14音“m为-元二次方程x2十x-4=0的-个根， .m2+m-4=0,即2+m=4..4m2+4m=16..4m2+ 板+1=1识@a+=1需0-品 15.(1)△ABC是等腰三角形.理由：把x=1代人方程 (a十c)x2-2bx+(a-c)=0,得a+c-2b+a-c=0, ∴.2a=2b..a=b.∴.△ABC的形状是等腰三角形. (2).△ABC是等边三角形，∴.a=b=c.:(a十c)x2 2ba+(a-c)=0,∴.(a+a)x2-2a.x十a-a=0,即x2 x=x(x一1)=0，解得x=0或x=1..这个一元二次方 程的根是x=0或x=1. 16.23a,b是方程x2一x一3=0的两个根，.a2- a-3=0,b2-b-3=0,即a2=a+3,b2=b+3..2a3+ b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)- 11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6- 2a+17=23. 17.(1)是.当x=1时，x2-4x+3=1-4×1+3=0, .一元二次方程x2一4x十3=0是“A方程”.(2)①：该 方程是“A方程”，即关于x的方程一x2+ba+c=0的一 个根为-1，.-1-b十c=0..b=c-1.②b=c- 1,∴.b2-6c=(c-1)2-6c=c2-2c+1-6c=c2-8c+ 1=(c-4)2-15.:(c-4)2≥0，.b2-6c=(c-4)2- 15≥一15.∴.当c=4时，代数式b2-6c有最小值，最小值 为-15. 25.2降次一解一元二次方程 第1课时配方法 1.D将x=2代人原方程，得(2a-1)2=16,∴.2a-1= 士4a=昌或a=-子 2.Dx2-3x+1=0,.x2-3x=-1.∴x2-3x十 早-号(，一2)-是又：用配方法解方程-十 10时：将方程化为-a-6的能式a号6 5 4 31)4972望子3)若号台专 4.(1)7(2)8 (1)(x2+y2-3)2=16,.x2+y2-3=±4..x2+ y2=-1(不合题意，舍去)或x2+y2=7.(2)(a2+ b2+1)(a2+b2-1)=63,.(a2+b2)2=64..a2+b2= 一8（不合题意，舍去）或a2十b2=8. 5.(1)4x2+4x+1=17,.(2x+1)2=17..2x+1= 土7解得，1+亚，=1- 2 ，2)x2 -号=0r-x=2-x+(）°=号 (号)“()=x-±四解得 +四日四 3)42-10r-1=04r2-10r=1.2-号r=1 -号+（停）广=+(》(-)》=器 4 4 4 易错警示 配方时易出现的错误 1.移项时忘记变号； 2.系数化为1时漏项； 3.方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方」 (4)x(x-5)=2x-3,.x2-7x=-3..x2-7x十 (侵)=-3+()八…(-)-翠- 6.D将原方程的二次项系数化为1，得x2一4十号=0： 3 移项，得2-女=-号：配方，得-十4=-号+4， 即(x-2)2=号a=-2.6=号a+6=-2+ 10_4 33 7.Bx2-5.x十q=0,∴.x2-5x=-q..x2-5x+ 华-孕-叫-》-9-“=号车-g=9 g=具把g=代人x十5x十g=-1,得x2+ 5x-=-1.2+5x=子x2+5x+() 子+()°，即(e+)=8=号，c+p)=8 8.526-x2+10x+1=-(x-5)2+26≤26，∴.当 x=5时，一x2+10x+1有最大值，最大值为26. 9.(1):'x2+2xy+5y2+4y+1=0,.x2+2xy+y2+ 4y2+4y+1=0.∴.(x+y)2+(2y+1)2=0.∴.x+y=0, 2+1=0x-号y=-令w2×() (2)a2+5b2-4ab-2b+1=0,.a2-4ab+ 462+b2-2b+1=0..(a-2b)2+(b-1)2=0.∴.a-2b= 0,b-1=0.∴.a=2,b=1.△ABC是等腰三角形，∴.c= 2或c=1(不符合三角形三边关系，舍去)..△ABC的周 长=2+2+1=5. 一微专题·配方法的应用 1.≥m-n=a2+b2-1-(2a-4b-6)=a2+b2 1-2a+4b+6=a2-2a+1+b2+4b+4=(a-1)2+ (b+2)2..(a-1)2≥0，(b+2)2≥0，∴.m-n≥0，即 m≥n. 2.等边三角形：'a2十b2十c2一ab一bc一ac=0, .2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0.∴.a2+b2- 2ab+b2+c2-2bx+a2+c2-2ac=0.∴.(a-b)2+ (b-c)2+(c-a)2=0.∴.a-b=0,b-c=0,c-a=0. .a=b=c..△ABC为等边三角形. 312令w=-3x2+3w+6x-y2=-(0-号)‘ x-0+12.-(-2)°≤，-x-0< 0,∴W≤12..W的最大值为12. 4.设AC,BD的交点为O,则Sm边无AD=S△ACn十 Sac=7AC·0D+2AC·0B=AC·BD.设 1 AC=,则BD=12-x,.S范无ACn=2x(12-x)= 2r2+6m=-号-6+18.-26-6≤0. 1 ∴Sm边无AD≤18..当x=6时，S四边无An最大，为 18,此时AC=6,BD=6..当AC=BD=6时，四边形 ABCD的面积最大. 第2课时公式法 1.A根据题意，得a=3,b=5,c=一7，∴.x= -b±V6-4c=-5±√3二4X3X(=D.:…☐处 2a 2×3 应填-5. 2.B由题意，得a=2,b=一4，c=-1,∴.△=b2一4ac= （-4)2-4×2X(-1D)-24>0.x=4生2_2±6 2×2 2 :2+625,“其中较小的根为-2,6， 2 2 2