25.2 公式法 课时分层练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

25.2 降次——解一元二次方程 第2课时 公式法 课时分层练 教材版本：新人教版九年级上册 | 适配内蒙古近3年中考考情 | 建议用时：35分钟 | 【基础达标篇】 一、选择题 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是（　　） A. x = B. x = C. x = D. x = 2. 一元二次方程x2 - 5x + 6 = 0的根的判别式Δ的值为（　　） A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A. x2 + x + 1 = 0 B. x2 + x - 1 = 0 C. x2 - 3x + 2 = 0 D. x2 - x - 3 = 0 4. 用公式法解方程2x2 - 3x - 5 = 0，下列对应系数正确的是（　　） A. a=2，b=3，c=5 B. a=2，b=-3，c=5 C. a=2，b=-3，c=-5 D. a=-2，b=3，c=5 5. 解下列方程时，最适合用公式法的是（　　） A. (x+1)² = 9 B. x2 - 9 = 0 C. x2 - x - 1 = 0 D. x2 - 5x + 6 = 0 二、填空题 6. 一元二次方程x2 - 7x + 1 = 0的判别式Δ = ________。 7. 方程3x2 + x + 1 = 0的根的情况是________________。 8. 若一元二次方程x2 - 4x + k = 0有两个相等的实数根，则k的值为________。 9. 用公式法解方程x2 + 5x - 3 = 0，其中二次项系数a = ____，一次项系数b = ____，常数项c = ____。 10. 方程x2 - 3x - 1 = 0的根的情况是________________。 11. 写出一个有两个不相等实数根的一元二次方程：________________。 三、用公式法解下列方程 解题步骤：先化为一般形式 → 确定a,b,c → 计算判别式Δ → 代入求根公式求解 12. x2 - 5x - 6 = 0 13. 2x2 - 4x - 1 = 0 14. x2 + 3x -2 = 0 15. 3x2 - 6x + 2 = 0 四、解答题 16. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）x2 + 4x + 2 = 0 （2）3x2 - 6x + 3 = 0 （3）x2 - x + 2 = 0 17. 若关于x的一元二次方程x2 + 2x - m = 0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。 18. 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2 - 8x + 1 = 0的两个根，用公式法求该直角三角形的斜边长。 【能力提升篇】 一、选择题 1. 若关于x的方程(k - 1)x2 + x + 1 = 0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A. k ≤ 2 B. k ≤ 2且k ≠ 1 C. k < 2 D. k < 2且k ≠ 1 2. 已知一元二次方程x2 - x + m = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. m > 1 B. m < 1 C. m ≥ 1 D. m ≤ 1 3. 关于x的一元二次方程ax2 - 3x - 1 = 0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A. a > - B. a ≥ - C. a > - 且a ≠ 0 D. a ≥ - 且a ≠ 0 4. 设x₁，x₂是方程x2 - 4x + 3 = 0的两个根，则x₁ + x₂的值为（　　） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 二、填空题 5. 若关于x的方程(m - 2)x2 + 3x - 1 = 0有两个实数根，则m的取值范围是________。 6. 已知a是方程x2 - x - 1 = 0的一个根，则代数式a2 - 4a + 3的值为________。 7. 方程x2 - x - 3 = 0的两个根分别为直角三角形的两条直角边长，则该直角三角形的面积为________。 8. 关于x的一元二次方程x2 - mx + m - 1 = 0的两个实数根分别为x₁，x₂， 且x₁2 + x₂2 = 7，则m的值为________。 三、用适当方法解下列方程 9. x2 - 3x - 1 = 0 10. (x - 1)2 = (3x + 2 )2 11. x2 - 5x + 1 = 0 四、解答题 12. 已知关于x的一元二次方程x2 - (k + )x + k = 0。（6分） （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长为1，另两边长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。 13. 某商店购进一批单价为20元的日用品，若按每件30元销售，每月可售出400件。经市场调查发现：若每件售价每上涨1元，每月销售量就减少20件。设每件售价为x元，每月利润为4500元，求每件商品的售价。（8分） 参考答案与详细解析 【基础达标篇】 一、选择题 1. 答案：A 解析：求根公式是配方法推导的最终结果，注意分子为-b，根号内为b²-4ac，分母为2a。 2. 答案：A 解析：Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1。 3. 答案：A 解析：A选项Δ = 4 - 4 = 0，有两个相等的实数根；B、C、D选项Δ > 0，有两个不相等的实数根。 4. 答案：C 解析：确定系数时要连同符号一起看，常数项为-5。 5. 答案：C 解析：公式法适用于所有一元二次方程，尤其适合无法直接开平方、不易因式分解的方程。 二、填空题 6. 答案：1 解析：Δ = (-7)² - 4×1×12 = 49 - 48 = 1。 7. 答案：没有实数根 解析：Δ = 4 - 12 = -8 < 0，故方程没有实数根。 8. 答案：4 解析：方程有两个相等实数根，则Δ = 16 - 4k = 0，解得k=4。 9. 答案：2；5；-3 解析：一元二次方程一般形式中，各项系数需连同符号一同确定。 10. 答案：有两个不相等的实数根 解析：Δ = 9 + 8 = 17 > 0，故有两个不相等的实数根。 11. 答案：x² + 2x - 3 = 0（答案不唯一，满足Δ > 0即可） 三、用公式法解下列方程 12. 解：a=1，b=-5，c=-6 Δ = (-5)² - 4×1×(-6) = 25 + 24 = 49 > 0 x = = ∴ x₁ = 6，x₂ = -1 13. 解：a=2，b=-4，c=-1 Δ = (-4)² - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 > 0 x = = = ∴ x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 14. 解：a=1，b=3，c=-2 Δ = 3² - 4×1×(-2) = 9 + 8 = 17 > 0 x = ∴ x₁ = ，x₂ = 15. 解：a=3，b=-6，c=2 Δ = (-6)² - 4×3×2 = 36 - 24 = 12 > 0 x = = = ∴ x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 四、解答题 16. 解： （1）Δ = 16 - 8 = 8 > 0，方程有两个不相等的实数根； （2）Δ = 36 - 36 = 0，方程有两个相等的实数根； （3）Δ = 1 - 8 = -7 < 0，方程没有实数根。 17. 解： ∵ 方程有两个不相等的实数根 ∴ Δ = 4 + 4m > 0 解得m > -1 18. 解： 解方程x² - 8x + 12 = 0，a=1，b=-8，c=12 Δ = 64 - 48 = 16 x = ，得x₁ = 6，x₂ = 2 即两直角边长分别为6和2。 由勾股定理，斜边长 = = = 2 【能力提升篇】 一、选择题 1. 答案：B 解析：方程有两个实数根，说明是一元二次方程，需同时满足Δ ≥ 0且二次项系数不为0， 即4 - 4(k-1) ≥ 0且k-1 ≠ 0，解得k ≤ 2且k ≠ 1。 2. 答案：B 解析：Δ = 4 - 4m > 0，解得m < 1。 3. 答案：C 解析：由题意得Δ = 9 + 4a > 0且a ≠ 0，解得a > -且a ≠ 0。 4. 答案：A 解析：一元二次方程根与系数的关系：若ax²+bx+c=0的两根为x₁,x₂，则x₁+x₂ = -。 二、填空题 5. 答案：m ≥ -且m ≠ 2 解析：Δ = 9 + 4(m-2) ≥ 0且m-2 ≠ 0，解得m ≥ -且m ≠ 2。 6. 答案：5 解析：由题意得a² - 2a = 1，则2a² - 4a + 3 = 2(a² - 2a) + 3 = 2×1 + 3 = 5。 7. 答案： 解析：解方程得两根为3和-1，边长取正值3和1，面积 = × 3 × 1 = 。 8. 答案：-1 解析：由根与系数关系得x₁+x₂ = m，x₁x₂ = 2m-1； x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = m² - 2(2m-1) = 7，解得m=5或m=-1； 当m=5时Δ < 0，舍去，故m=-1。 三、用适当方法解下列方程 9. 解：（公式法） a=1，b=-3，c=-1 Δ = 9 + 4 = 13 > 0 x = ∴ x₁ = ，x₂ = 10. 解：（平方差因式分解法） 移项得(2x - 1)² - (3x + 2)² = 0 分解得(2x-1+3x+2)(2x-1-3x-2) = 0 (5x+1)(-x-3) = 0 ∴ x₁ = -，x₂ = -3 11. 解：（公式法） a=2，b=-5，c=1 Δ = 25 - 8 = 17 > 0 x = ∴ x₁ = ，x₂ = 四、解答题 12. 解答： （1）证明： Δ = [-(k+2)]² - 4×1×2k = k² + 4k + 4 - 8k = (k-2)² ≥ 0 ∴ 无论k取何值，方程总有实数根。 （2）解： ① 当边长为1的边为腰时，x=1是方程的根，代入得1 - (k+2) + 2k = 0，解得k=1 方程为x² - 3x + 2 = 0，另一根为2 三边长为1，1，2，不满足三角形三边关系，舍去； ② 当边长为1的边为底时，方程有两个相等的实数根，Δ = (k-2)² = 0，k=2 方程为x² - 4x + 4 = 0，两根均为2 三边长为2，2，1，满足三边关系，周长为2+2+1=5 综上，△ABC的周长为5。 13. 解答： 每件利润为(x - 20)元， 每月销售量为400 - 20(x - 30) = (1000 - 20x)件。 列方程：(x - 20)(1000 - 20x) = 4500 整理得：x² - 70x + 1225 = 0 即(x - 35)² = 0 解得x₁ = x₂ = 35 答：每件商品的售价为35元。 学科网（北京）股份有限公司 $