25.1 一元二次方程的概念 课时作业 2026-2027学年人教版数学 九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册“一元二次方程的概念”同步练，分层设计清晰，从基础概念辨析到综合应用建模，适配新授课巩固需求，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|定义判断、一般形式、根的检验|选择填空为主，直接对应学习目标1-2，如方程类型辨析| |B组能力提升|参数讨论、根的综合应用|解答题结合推理，如整体代入求代数式值，强化目标3| |C组拓展探究|实际问题建模、跨知识点综合|情境题与探究题，如流感传播问题，体现目标4的模型意识|

25.1　一元二次方程的概念　课时作业 人教版·九年级上册·第二十五章　一元二次方程　　建议用时：45分钟　　满分：100分 一、学习目标 1．理解一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元二次方程。 2．掌握一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），能正确指出二次项系数、一次项系数和常数项。 3．理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是不是方程的根，会利用方程的根求参数或代数式的值。 4．能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 二、知识点梳理 知识点1　一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 判断一个方程是否是一元二次方程，必须同时满足以下三个条件： （1）是整式方程，即分母中不含未知数； （2）只含有一个未知数； （3）整理后未知数的最高次数是2。 易错提醒：判断时一定要先整理（去括号、移项、合并同类项）再判断。例如方程 x(x+1)=x²-3，整理后为 x+3=0，它是一元一次方程，不是一元二次方程；又如 的分母中含有未知数，它不是整式方程，所以也不是一元二次方程。 知识点2　一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0（a≠0）。其中 ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 （1）“a≠0”是一般形式中必不可少的条件，b、c 可以为 0。例如 3x²=0、x²-4=0、2x²+x=0 都是一元二次方程。 （2）确定各项系数时，要先把方程化成一般形式，并且系数要连同它前面的符号一起写。 （3）若化成一般形式后 a<0，通常在方程两边同乘 -1，使二次项系数变为正数。 例如：方程 3x²=5x-2 化为一般形式为 3x²-5x+2=0，二次项系数是 3，一次项系数是 -5，常数项是 2。 知识点3　一元二次方程的根 使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 （1）检验一个数是否为方程的根：将这个数代入方程，看左右两边的值是否相等。 （2）已知方程的根求参数：把根代入原方程，得到关于参数的方程，求出参数的值。若题目说明是一元二次方程，还要检验二次项系数不为 0。 （3）整体代入思想：若 m 是方程 x²-3x-1=0 的根，则 m²-3m-1=0，即 m²-3m=1，求相关代数式的值时可以整体代入。 知识点4　根据实际问题列一元二次方程 列方程的一般步骤：审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程（并整理成一般形式）。 常见的等量关系： （1）面积问题：长方形面积=长×宽； （2）平均增长（降低）率问题：a(1±x)²=b，其中 a 为起始量，b 为两次变化后的量； （3）比赛问题：单循环比赛（每两队之间只赛一场）总场数 ；双循环比赛总场数 =x(x-1)； （4）传播问题：一轮传播后共有 (1+x) 人，两轮传播后共有 (1+x)² 人。 三、典例精析 例1　已知关于 x 的方程 是一元二次方程，求 m 的值。 【分析】一元二次方程需满足：未知数的最高次数是 2，且二次项系数不等于 0。 【解答】由题意，得 |m|=2 且 m-2≠0。由 |m|=2 得 m=±2，又 m≠2，所以 m=-2。 【点评】利用定义求参数时，“次数为 2”和“二次项系数不为 0”两个条件缺一不可，这是本类题最容易出错的地方。 例2　把方程 (2x-1)(x+3)=x²+1 化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 【解答】去括号，得 2x²+6x-x-3=x²+1。 移项、合并同类项，得 x²+5x-4=0。 所以二次项系数是 1，一次项系数是 5，常数项是 -4。 【点评】二次项系数为 1 时不要漏写；系数必须包括前面的符号。 例3　已知 a 是方程 x²-3x-1=0 的一个根，求代数式 2a²-6a+2026 的值。 【分析】a 是方程的根，代入得 a²-3a-1=0，不必求出 a 的具体值，可以整体代入。 【解答】因为 a 是方程 x²-3x-1=0 的根，所以 a²-3a-1=0，即 a²-3a=1。 所以 2a²-6a+2026=2(a²-3a)+2026=2×1+2026=2028。 例4　如图，一块长方形铁皮长 30 cm，宽 20 cm，在它的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。若盒子的底面积为 336 cm²，设剪去的正方形边长为 x cm，请列出方程并化成一般形式。 例4图 【分析】折成盒子后，底面长为 (30-2x) cm，宽为 (20-2x) cm。 【解答】根据题意，得 (30-2x)(20-2x)=336。 整理，得 4x²-100x+264=0，两边同除以 4，得 x²-25x+66=0。 【点评】面积类问题要先用含 x 的式子表示出图形的长和宽，再根据面积公式列方程。 四、课时作业 A组　基础达标（每小题4分） 一、选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．2x+y=1 C．x²=0 D．x³-2x=1 2．将方程 3x²-1=5x 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，-1 B．3，-5，-1 C．3，-5，1 D．-3，5，1 3．若关于 x 的方程 (a-1)x²+2x-3=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（　　） A．a≠1 B．a>1 C．a≠0 D．a=1 4．下列各数中，是方程 x²-x-6=0 的根的是（　　） A．2 B．-3 C．3 D．6 5．一元二次方程 2x²-x=0 的常数项是（　　） A．2 B．-1 C．0 D．不存在 6．若 x=1 是关于 x 的一元二次方程 x²+ax+2b=0 的一个根，则 a+2b 的值为（　　） A．-1 B．1 C．2 D．-2 7．某校图书馆 2023 年底有图书 5 万册，2025 年底有图书 7.2 万册。设这两年图书册数的年平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A．5(1+x)=7.2 B．5(1+x)²=7.2 C．5(1+2x)=7.2 D．7.2(1-x)²=5 8．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛 28 场。设共有 x 个队参赛，则可列方程为（　　） A．x(x-1)=28 B．x(x+1)=28 C． D． 二、填空题 9．把方程 (x+2)(x-2)=3x 化成一般形式是______________，其中一次项系数是________。 10．一元二次方程 的二次项系数是________，常数项是________。 11．若关于 x 的方程 是一元二次方程，则 m=________。 12．已知 x=-2 是方程 x²+kx-6=0 的一个根，则 k=________。 13．若关于 x 的方程 (k+3)x²-kx+1=0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是________。 14．一个矩形的长比宽多 3 cm，面积是 40 cm²。设宽为 x cm，则所列方程化成一般形式为______________。 三、解答题 15．（8分）判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由。 （1）3x²-x=2；　　（2）；　　（3）(x-1)²=x²+2x； （4）x²+y=0；　　（5）。 16．（8分）将下列方程化成一般形式，并分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）5x²=4-2x；　　　　　　（2）(2x+1)²=3x； （3）x(3-x)=2(x+1)；　　　　（4）(x-3)(x+3)+2x=x+1。 17．（6分）下列各数中，哪些是方程 x²+x-12=0 的根？请写出检验过程。 -4，-3，-2，2，3，4。 18．（9分）根据题意列出方程，并化成一般形式（不必求解）。 （1）一个数的平方与这个数的 3 倍的和等于 10，求这个数； （2）一个直角三角形的两条直角边相差 2 cm，斜边长为 10 cm，求较短直角边的长； （3）某商品原价 200 元，连续两次降价后售价为 128 元，求平均每次降价的百分率。 B组　能力提升 19．若 a 是方程 2x²-x-3=0 的一个根，则 6a²-3a 的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．-9 20．若关于 x 的一元二次方程 ax²+bx+c=0 满足 a+b+c=0，则方程必有一个根是________；若满足 a-b+c=0，则方程必有一个根是________。 21．根据下表，估计方程 x²+x-1=0 的一个正根 x 所在的范围是________。 x 0.5 0.6 0.7 0.8 x²+x-1 -0.25 -0.04 0.19 0.44 22．已知关于 x 的方程 (m²-1)x²+(m+1)x+m-2=0。 （1）当 m 取何值时，它是一元二次方程？ （2）当 m 取何值时，它是一元一次方程？ 23．已知关于 x 的一元二次方程 (m-1)x²+x+m²-1=0 有一个根是 0，求 m 的值。 24．已知 m 是方程 x²-x-2=0 的一个根，求下列各式的值： （1）m²-m；　　（2）2m²-2m+2025；　　（3）。 25．如图，在一块长为 32 m、宽为 20 m 的矩形空地上，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分种上草坪。要使草坪的面积为 540 m²，设道路的宽为 x m，请列出方程并化成一般形式。 第25题图 26．如图，用一段长为 20 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙长 12 m）的矩形菜园，菜园的面积为 48 m²。设垂直于墙的一边长为 x m，请列出方程并化成一般形式，再判断 x=4 和 x=6 是否符合题意。 第26题图 C组　拓展探究 27．若关于 x 的方程 是一元二次方程，求 m 的值。 28．已知 a 是方程 x²-2025x+1=0 的一个根，求代数式 的值。 29．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感。设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人。 （1）列出关于 x 的方程，并化成一般形式； （2）利用下表估算 x 的值（x 为正整数）； x 8 9 10 11 (1+x)² 81 100 121 144 （3）按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 五、答案与解析 A组　基础达标 1．C 【解析】A 项分母中含有未知数，不是整式方程；B 项含有两个未知数；D 项未知数的最高次数是 3；C 项 x²=0 满足一元二次方程的三个条件。故选 C。 2．B 【解析】移项得 3x²-5x-1=0，所以二次项系数是 3，一次项系数是 -5，常数项是 -1。故选 B。 3．A 【解析】方程是一元二次方程，则二次项系数 a-1≠0，即 a≠1。故选 A。 4．C 【解析】把各数代入检验：当 x=3 时，左边=9-3-6=0=右边，所以 3 是方程的根；而 x=2 时左边=-4，x=-3 时左边=6，x=6 时左边=24，都不等于 0。故选 C。 5．C 【解析】方程 2x²-x=0 中没有常数项，即常数项为 0。故选 C。 6．A 【解析】把 x=1 代入方程，得 1+a+2b=0，所以 a+2b=-1。故选 A。 7．B 【解析】2024 年底有图书 5(1+x) 万册，2025 年底有图书 5(1+x)² 万册，所以 5(1+x)²=7.2。故选 B。 8．C 【解析】每个队都要与另外 (x-1) 个队各赛一场，共 x(x-1) 场，但每两队之间只赛一场，每场被计算了两次，所以 。故选 C。 9．x²-3x-4=0；-3 【解析】原方程左边展开得 x²-4=3x，移项得 x²-3x-4=0，一次项系数是 -3。 10．； 【解析】方程已是一般形式，二次项系数是 ，常数项是 。 11．3 【解析】由题意得 m-1=2，解得 m=3。 12．-1 【解析】把 x=-2 代入方程，得 4-2k-6=0，解得 k=-1。 13．k≠-3 【解析】二次项系数 k+3≠0，所以 k≠-3。 14．x²+3x-40=0 【解析】矩形的长为 (x+3) cm，由面积得 x(x+3)=40，整理得 x²+3x-40=0。 15．解：（1）是。它是整式方程，只含一个未知数 x，且未知数的最高次数是 2。 （2）不是。方程的分母中含有未知数 x，不是整式方程。 （3）不是。整理后得 x²-2x+1=x²+2x，即 -4x+1=0，未知数的最高次数是 1，是一元一次方程。 （4）不是。方程含有两个未知数 x 和 y。 （5）是。 的分母中不含未知数，它是整式方程，只含一个未知数，最高次数是 2。 16．解：（1）移项，得 5x²+2x-4=0。二次项系数是 5，一次项系数是 2，常数项是 -4。 （2）展开，得 4x²+4x+1=3x，移项合并，得 4x²+x+1=0。二次项系数是 4，一次项系数是 1，常数项是 1。 （3）展开，得 3x-x²=2x+2，移项合并，得 -x²+x-2=0，两边同乘 -1，得 x²-x+2=0。二次项系数是 1，一次项系数是 -1，常数项是 2。 （4）展开，得 x²-9+2x=x+1，移项合并，得 x²+x-10=0。二次项系数是 1，一次项系数是 1，常数项是 -10。 【点评】第（3）题化为一般形式时，通常使二次项系数为正数。 17．解：当 x=-4 时，左边=(-4)²+(-4)-12=16-4-12=0=右边； 当 x=-3 时，左边=9-3-12=-6≠0；当 x=-2 时，左边=4-2-12=-10≠0； 当 x=2 时，左边=4+2-12=-6≠0；当 x=3 时，左边=9+3-12=0=右边； 当 x=4 时，左边=16+4-12=8≠0。 所以 -4 和 3 是方程 x²+x-12=0 的根。 18．解：（1）设这个数为 x，则 x²+3x=10，一般形式为 x²+3x-10=0。 （2）设较短直角边长为 x cm，则较长直角边长为 (x+2) cm。由勾股定理得 x²+(x+2)²=10²，整理得 2x²+4x-96=0，即 x²+2x-48=0。 （3）设平均每次降价的百分率为 x，则第一次降价后售价为 200(1-x) 元，第二次降价后售价为 200(1-x)² 元。所以 200(1-x)²=128，整理得 200x²-400x+72=0，即 25x²-50x+9=0。 B组　能力提升 19．C 【解析】因为 a 是方程的根，所以 2a²-a-3=0，即 2a²-a=3。所以 6a²-3a=3(2a²-a)=3×3=9。故选 C。 20．1；-1 【解析】把 x=1 代入 ax²+bx+c=0，得 a+b+c=0，所以当 a+b+c=0 时方程必有一根为 1；同理把 x=-1 代入得 a-b+c=0，所以当 a-b+c=0 时方程必有一根为 -1。 21．0.6<x<0.7 【解析】当 x=0.6 时，x²+x-1=0.36+0.6-1=-0.04<0；当 x=0.7 时，x²+x-1=0.49+0.7-1=0.19>0。代数式的值由负变正，所以方程的正根在 0.6 与 0.7 之间。 22．解：（1）当 m²-1≠0，即 m≠±1 时，它是一元二次方程。 （2）当 m²-1=0 且 m+1≠0 时，它是一元一次方程。由 m²-1=0 得 m=±1，又 m≠-1，所以 m=1。 【点评】当 m=-1 时，方程变为 -3=0，不含未知数，不是方程意义上的一元一次方程，要注意排除。 23．解：把 x=0 代入方程，得 m²-1=0，解得 m=±1。 因为方程是一元二次方程，所以 m-1≠0，即 m≠1。所以 m=-1。 24．解：因为 m 是方程 x²-x-2=0 的根，所以 m²-m-2=0。 （1）m²-m=2。 （2）2m²-2m+2025=2(m²-m)+2025=2×2+2025=2029。 （3）由 m²-m-2=0 可知 m≠0（若 m=0，则 -2=0，矛盾），所以 m²-2=m，两边同除以 m，得 。 25．解：把两条道路分别平移到矩形的边上，草坪可以拼成一个长为 (32-x) m、宽为 (20-x) m 的矩形。 根据题意，得 (32-x)(20-x)=540。 整理，得 x²-52x+100=0。 【点评】“平移法”是解决道路（小路）面积问题的常用方法，平移后草坪部分形状变为一个完整的矩形，面积不变。 26．解：垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (20-2x) m。 根据题意，得 x(20-2x)=48，整理得 -2x²+20x-48=0，即 x²-10x+24=0。 当 x=4 时，4²-10×4+24=0，是方程的根，此时平行于墙的一边长为 20-8=12(m)，12=12，不超过墙长，符合题意； 当 x=6 时，6²-10×6+24=0，是方程的根，此时平行于墙的一边长为 20-12=8(m)<12 m，符合题意。 所以 x=4 和 x=6 都符合题意。 【点评】实际问题中求出的方程的根，还要检验是否符合实际意义（如边长不能超过墙长）。 C组　拓展探究 27．解：由题意，得 m²-2=2 且 m+2≠0。 由 m²-2=2 得 m²=4，所以 m=±2。又 m≠-2，所以 m=2。 28．解：因为 a 是方程 x²-2025x+1=0 的根，所以 a²-2025a+1=0。 所以 a²+1=2025a，a²=2025a-1，并且 a≠0。 所以 a²-2024a=2025a-1-2024a=a-1，。 所以原式 。 【点评】本题综合运用了整体代入与变形的思想，关键是由方程得到 a²+1=2025a。 29．解：（1）第一轮传染后共有 (1+x) 人患流感，第二轮传染中这 (1+x) 人每人又传染 x 人，所以两轮后共有 (1+x)+x(1+x)=(1+x)² 人。 列方程 (1+x)²=121，整理得 x²+2x-120=0。 （2）由表格可知，当 x=10 时，(1+x)²=121，所以 x=10，即每轮传染中平均一个人传染了 10 个人。 （3）第三轮传染后共有 121(1+x)=121×11=1331（人）。 答：经过三轮传染后共有 1331 人患流感。 【点评】传播问题中，每一轮的传染源是上一轮结束时的患病总人数，n 轮后共有 (1+x)ⁿ 人。 25.1 一元二次方程的概念 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $