2027年高考数学一模考“百分大战”夯实基础卷（浙江专用01）

2027年高考数学一模考“百分大战”夯实基础卷 （浙江专用01） 高三数学 （考试时间：80分钟，分值：108分） 注意事项： 1．本卷共计100分左右，基本均是各个模块的基础和中档，可供限定时间基础查漏补缺，夯实透彻！ 第一部分（选择题 共42分） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式和指数不等式得集合，然后由交集定义计算． 【详解】由题意知，，所以． 故选：C． 2．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】利用复数的除法可得，从而得到该复数对应的点在复平面中的位置. 【详解】因为，故复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第三象限， 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法以及复数的几何意义，前者需要分子分母同乘以分母的共轭复数，后者需要考虑该复数的实部和虚部构成的有序实数对在复平面中的位置，本题属于基础题. 3．已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【分析】按分类，结合第百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3个数4，A可能； 对于B，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3、4个数的平均数4，B可能； 对于C，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第4个数4，C可能； 对于D，，无论取何值，该组数据由小到大排列的第5个数不可能为4，因此不可能为，D不可能. 4．已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 5．已知是定义在上且周期为3的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的周期和奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为是定义在上且周期为3的奇函数， 所以， 所以 令，得， 因为该函数是奇函数，所以， 所以， 故选：A 6．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得， 由是定义在上的偶函数，得， 则，则， 所以， 而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为8. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．将一颗质地均匀的骰子（点数为）连续拋掷3次，记录向上的点数，则（   ） A．三个点数之积大于的概率为 B．三个点数之和大于的概率为 C．若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为 D．若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为 【答案】ABD 【分析】利用列举法结合古典概型逐项分析即可． 【详解】连续拋掷3次，总基本事件数为． 对于A，由，所以要三个点数之积大于的组合只有和， 若三个点数分别为时，即在这三个点数中选一个为，另外两个为，共有种； 若三个点数分别为时，共有种， 所以三个点数之积大于150的概率为，故A正确； 对于B，设三个点数为，其和的范围为， 由对称性，与的概率相等（因为，，对应的和为）， 所以和的概率相等，所以，故B正确； 对于C，不考虑点数的先后顺序，三个点数能构成等比数列的情况有： 若三个点数全相等，即有，，，，，，共有种， 若三个点数全不相等，仅有，即这三个点数全排列，共有种， 所以能构成等比数列的概率为，故C错误； 对于D，考虑点数的先后顺序，三个点数为等差数列等价于， 又三个点数之和是奇数的总基本事件数为，则在此条件下，为偶数，为奇数， 若时，，即三个点数为，共有种； 若时，，即三个点数为，，，，，共有种； 若时，，即三个点数为，，，共有种， 所以能构成等差数列的概率为，故D正确． 8．在三棱锥中，，顶点在底面上的投影为（在内部，不含边界），点在上，则下列说法正确的有（    ） A．为的垂心 B．若，则是等边三角形 C．可能是直角三角形 D．直线与直线的夹角可能为 【答案】AB 【分析】对于A，连接并延长交于，连接并延长交于，然后根据已知条件分析判断，对于B，结合勾股定理和三角形的外心分析判断，对于C，结合选项A分析判断，对于D，利用线面垂直的判定和性质分析判断. 【详解】对于A：连接并延长交于，连接并延长交于，因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 所以为的垂心，所以A正确； 对于B：因为平面，平面，所以， 所以， 因为，所以，所以为的外心， 由选项A知为的垂心，所以是等边三角形，所以B正确； 对于C：由选项A知为的垂心，若是直角三角形，则垂心为直角顶点，与在内部矛盾，所以C错误； 对于D：连接并延长交于，由选项A知为的垂心，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以直线与直线夹角为，所以D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共66分） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9．已知二项式，若，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【分析】先通过二项式定理求出展开式各项系数，再根据系数的大小关系列不等式求解正整数的最小值. 【详解】根据二项式展开定理，将 展开得， 因此对应各项系数为，，，， 因为， 所以， 因为是正整数， 解得，所以， 所以正整数的最小值是4. 10．抛物线上的A，B两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足．且．若的面积为9，则点坐标为____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出并设出点的坐标，借助复数乘法与旋转关系确定坐标关系，再利用点在抛物线上列出方程组求解. 【详解】在中，，由的面积为9，得， 则，设，不妨令， ，所对复数分别为， 可视为绕点逆时针旋转而得，则， 因此，即，由点都在抛物线上， 得，两式相减得，整理得， 于是，整理得， 则，，， 所以，点坐标为. 四、解答题：本题共4小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 11．（13分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)若，求的面积；(2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将条件化简得到，由，求出及，即可根据三角形的面积公式求出的面积； （2）由可得或，在的条件下求出和的取值范围，将化为二次函数形式，再求出其值域即可. 【详解】（1）因为， 则， 即， 化简可得． 若，则，因为，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形，所以， 所以； （2）由（1）知，所以或． ①若，由可得，与矛盾，故舍去； ②若，则， 若，则，解得，则． 则此时， 设，则， 可知当时，取到最小值；当时，； 当时，， 因为，所以， 即的取值范围为． 12．（13分）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可求出的通项公式，再由与的关系求出的通项公式，代入得，利用裂项相消即可求解. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， ，， ， 则. 13．（15分）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值；（ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)（i）； （ii）不相互独立，理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. (2) X 0 1 2 3 P 【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算. （ii）法1：比较和判断；法2：验证与是否相等判断. （2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求. 【详解】（1）（i），， . （ii）事件M与N不相互独立，理由略 （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 14．（15分）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)是， 【分析】（1）根据题意列方程求出即可； （2）直线，联立双曲线方程，结合韦达定理表示出化简即可得解. 【详解】（1）由渐近线方程为得， 左顶点坐标为，则点到渐近线的距离， 解得，则， 双曲线的标准方程为 （2）设点， 依题意知直线的斜率不为0，设直线，与双曲线联立， 化简得， 则，， 根据韦达定理，可得 点坐标为 直线与直线的交点坐标为， 同理可得点. 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一模考“百分大战”夯实基础卷 （浙江专用01） 高三数学 （考试时间：80分钟，分值：108分） 注意事项： 1．本卷共计100分左右，基本均是各个模块的基础和中档，可供限定时间基础查漏补缺，夯实透彻！ 第一部分（选择题 共42分） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 4．已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上且周期为3的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．将一颗质地均匀的骰子（点数为）连续拋掷3次，记录向上的点数，则（   ） A．三个点数之积大于的概率为 B．三个点数之和大于的概率为 C．若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为 D．若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为 8．在三棱锥中，，顶点在底面上的投影为（在内部，不含边界），点在上，则下列说法正确的有（    ） A．为的垂心 B．若，则是等边三角形 C．可能是直角三角形 D．直线与直线的夹角可能为 第二部分（非选择题 共66分） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9．已知二项式，若，则正整数的最小值为____________． 10．抛物线上的A，B两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足．且．若的面积为9，则点坐标为____________． 四、解答题：本题共4小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 11．（13分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)若，求的面积；(2)若，求的取值范围． 12．（13分）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前项和． 13．（15分）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值；（ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 14．（15分）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $