12.2.2 边角边（第3课时：全等的性质和SAS综合） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

12.2.2 边角边（第3课时：全等的性质和SAS综合） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，则可利用证明，由全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵和的长度相等，是它们的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 在和中， ， ， ． 3．如图，在和中，，欲证，必须补充的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的证明；已知两边相等，可以添加第三边相等或两边的夹角相等进行证明． 【详解】解：A、添加，不能根据证明； B、添加，不能根据证明； C、添加，则， ∴， ∴根据能证明； D、添加，不能证明； 故选：C． 4．如图，在四边形中，，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据题意证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到，计算四边形的面积，由此判断即可． 【详解】解：在和中， 四边形的面积为， 综上所述，选项B正确，选项D错误，无法判断A，C选项， 故选：B． 5．如图，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形的内角和定理和外角的性质相结合是本题的关键． 由题意可证，则，再根据三角形内角和定理和外角的性质进行求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 6．如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 根据和都是等腰直角三角形，得，，从而通过推导证明，得；再结合三角形内角和的性质，通过计算即可得到答案． 【详解】和都是等腰直角三角形， ，， ∵ ， 故选：C． 二、填空题 7．如图，是等边三角形，若，则________ °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 8．如图，是外两点，连接，，连接、交于点，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，设交于点G，得，证明，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：设交于点G， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 9．小茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，可得，即可知与的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度为的周长的2倍减去长度即可． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为， 故答案为：． 10．如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查用判定三角形全等，从而将与转移到同一个三角形中求得． 【详解】解：如图，在和中： ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 12．解决以下问题 (1)如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． (2)将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 【答案】(1)①证明∶ ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②证明∶， ． ， ， ． (2)①成立；②不一定成立， 【分析】（1）①证明，即可证明，推出； ②根据全等三角形的性质和角度的转换即可解答； （2）①根据（1）中证明方法即可解答； ②利用全等三角形的性质和角度的转换即可解答． 【详解】（1）略 （2）成立，理由如下： ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②不一定成立， 同（1）可得， ． ， ． 13．【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 (2)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 (3)如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点 ∴ 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 【答案】(1)B (2) (3)证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由三角形中线的定义得到，再根据，可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，根据三角形三边的关系求出的取值范围，则可求出的取值范围； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，据此可证明；再证明，得到，据此可证明． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）略 14．如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯的长度，工作人员说滑梯的长度没有测量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，，，，，滑梯的长度为． (1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯的长度； (2)两个滑梯和互相垂直吗，为什么？ 【答案】(1) (2)解：． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）∵，则 ∴ 在和中， ， ∴， ∴， （2）略 15．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），设点的运动时间为秒： (1) ； ．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用路程速度时间得到，再用等量关系求出； （2）长方形中、，依据全等条件令列式求出t； （3）因为，分和两种全等对应情况分别列方程算出t，再由求出x． 【详解】（1）解：由题意得运动秒，点运动， ，； （2）解：四边形是长方形， ，， 要使，则有，即，解得， 在和中， ， 当时，； （3）解：分以下两种情况： ①当时，，解得， ，， 要使与全等，则有， ， 在和中， ， 当时，； ②当时，，解得， ， 要使与全等，则有， ， 在和中， ， 当时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2.2 边角边（第3课时：全等的性质和SAS综合） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，，欲证，必须补充的条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，是等边三角形，若，则________ °． 8．如图，是外两点，连接，，连接、交于点，则的度数为___________． 9．小茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为________． 10．如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 三、解答题 11．如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 12．解决以下问题 (1)如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． (2)将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 13．【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 (2)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 (3)如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点 ∴ 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 14．如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯的长度，工作人员说滑梯的长度没有测量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，，，，，滑梯的长度为． (1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯的长度； (2)两个滑梯和互相垂直吗，为什么？ 15．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），设点的运动时间为秒： (1) ； ．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $