12.2 全等三角形的判定（第2课时 全等三角形的判定SAS）（8大基础题型+5大巩固提升）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

12.2 全等三角形的判定 （第2课时 全等三角形的判定“SAS”） 题型一：利用“SAS”作为判断依据 1．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽；那么判定的理由是（   ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 2．（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图是雨伞在开合过程中的截面图．测得，点，分别是，的三等分点，．则的依据是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．这种方法的原理是构造两个三角形全等，请写出这两个三角形全等的依据 ． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明同学做了一只如图所示的风筝，其中将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道，他的依据是： ． 题型二：利用“SAS”判断三角形全等 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）能判定的条件是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是全等三角形的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅰ和Ⅲ 4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 题型三：添加一个条件使得三角形全等（SAS） 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，要使．若以“”为判定三角形全等的依据，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为 ． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，请添加一个条件 ，使（填一个即可）． 题型四：利用“SAS”证明三角形全等（解答题） 1．（2025·云南·模拟预测）如图， ，相交于点，，，连接，．求证：． 2．（2024八年级上·北京·期末）如图，，，，求证：． 3．（2025八年级上·北京·期末）已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结．求证：． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，相交于点M．求证：． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，，求证：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，D，E分别是的中点，且．与相等吗？请说明理由． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知，连接．试问：图中线段与有何关系？并加以证明． 题型五：利用“SAS”证明三角形全等求角度 1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，已知，，，若点，，在一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，，则（   ） A． B． C． D．无法计算 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，点为边上一点，，，则 ． 7．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，若，则 度． 8．（2024·四川眉山·一模）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 题型六：网格中求角度问题 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 6．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ．    7．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中， ． 题型七：利用“SAS”证明三角形全等求线段长度 1．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，，若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是 ． 6．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，，，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，小聪利用最近学习的全等三角形识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中，,测得，，则保温杯的壁厚为 ． 10．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，平行四边形的周长为，相交于点O，交于点 E， 则的周长为 ．    题型八：全等三角形的判定综合 1．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，求的度数； (2)当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，交于点是上一点，且． (1)试说明． (2)若，求的度数． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 6．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，． (1)和的面积相等吗？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，点D在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)当时，请直接写出的度数． 题型一：利用“SAS”证明三角形全等求取值范围 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知中，，为边上的中线，中线的最小整数值为 ． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 4．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 5．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 题型二：全等三角形中最值问题 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 2．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是 ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 4．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，，平分，点D、E分别为线段、上的动点，则的最小值是 ． 5．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）如图，中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到，连接，则长的最小值是 ． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则 ． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，直线l于点A，，点B是直线l上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为 ． 题型三：全等三角形中动点问题（SAS） 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ． 2．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 4．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    6．（24-25八年级上·全国·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)与有什么关系？请说明理由． (2)连接，当线段经过点时，的值为 　 　． 7．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图（1），．点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)如图（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由： ②判断线段和线段的关系，并证明你的结论． (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，直接写出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 8．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，后，与是否全等？请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，则点的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点以第（1）题②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？ 题型四：全等三角形中多结论问题 1．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，．下列说法：①和面积相等；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 4．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，延长交于，，分别在，上，，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，已知：，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，，与相交于点O，有以下结论：①；②；③点A在的平分线上；④是的平分线，其中结论正确的是 ．（填序号） 题型五：全等三角形中解答题压轴 1．（2025八年级上·北京·期末）如图，在中，，点是直线上的一个动点（不与重合），连接，以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)当时，的位置关系是 ； (3)设．当时，请你探究与之间的数量关系． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图（1），在和中，D 为边AC上一点，平分，，． (1)求证：； (2)如图（2），若，连接交于F，G为边上一点，满足，连接交于H． ①求的度数； ②若平分，试说明：平分． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，． (1)如图1，当是的内角平分线时，交于点P，求证：； (2)如图2，当是的外角平分线时，连结和，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）【问题情境】：如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，连接，点是延长线上一点，连接、，在上截取，连接． 【问题解决】 (1)若，求的度数； (2)若，，求线段、、之间的数量关系，并说明理由． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图①，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，∴．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，是的中线，点在的延长线上，，，，求的度数． 【问题解决】 （3）如图③，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，，点为中点，连接并延长交于点，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，，求服务区的面积． 6．（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 7．（24-25六年级下·山东济南·期末）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 8．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 9．（24-25八年级下·广东梅州·期中）综合与实践 【问题情境】如图1，在中，，是它的中线，求证：． 小康展示了他的解题过程： 【证明】如图1，∵， ∴将绕着点D旋转得到， ∴，点A，D，E在一条直线上， ∴（依据1）， ∵， ∴， 在中，（依据2）， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】（1）上述证明过程中的依据1是指__________________________________；依据2是指______________________________________． （2）如图2，在中，D为上的一点，连接是的中线．求证： ． 【问题拓展】（3）如图3，在和中，，连接，，点E 为的中点，连接，若，求的长． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在五边形中，若，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 5．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据所学的三角形全等的有关知识，得出的依据是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，小明设计了一种测零件内径的卡钳．在制作卡钳时，他先找来两根钢条，，并在两根钢条上找到各自的中点M，N，然后将两根钢条的中点M，N重合固定在一起，使，可以绕固定点自由转动．若测得．则该零件的内径 ，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是 ． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件 ． 10．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，，，则 ． 11．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 12．（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则 ． 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，交于点O，若，则的度数为 ． 14．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，，，，其中，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动它们的运动时间为秒．    (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求的值． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图①所示，已知在四边形中，，试说明． （2）若将图①中的点在所在的直线上做相向运动，得到图②，其他条件不变，还成立吗？为什么？ （3）若将图②中的点继续运动，得到图③，其他条件不变，和还相等吗？为什么？ 1 / 107 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 全等三角形的判定 （第2课时 全等三角形的判定“SAS”） 题型一：利用“SAS”作为判断依据 1．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽；那么判定的理由是（   ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形判定方法的应用．由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图是雨伞在开合过程中的截面图．测得，点，分别是，的三等分点，．则的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，由已知条件可得出，再加上，即可得出． 【详解】解：∵，点，分别是，的三等分点， ∴， 又∵，， ∴， 故选：D 3．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“”证明即可． 【详解】解：由题意，，，又， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．这种方法的原理是构造两个三角形全等，请写出这两个三角形全等的依据 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据中点的性质得出相等的线段，根据对顶角得出相等的角，然后可证明三角形全等，得出依据． 【详解】解：∵对顶角相等，中点分成的线段相等， ∴两个三角形全等的依据, 故答案为：． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明同学做了一只如图所示的风筝，其中将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道，他的依据是： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法得出，进而得出答案． 【详解】解：小明不用测量就能知道． 理由：在和中 ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二：利用“SAS”判断三角形全等 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据推出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）能判定的条件是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题可根据全等三角形的判定定理，对每个选项进行判断．本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等 选项A错误． 两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等 选项B错误． 两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等 选项C错误． 两边及其夹角对应相等，符合边角边（SAS）判定定理 选项D正确． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是全等三角形的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅰ和Ⅲ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 利用两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形进行判定即可． 【详解】根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，可得Ⅰ和Ⅲ是全等三角形． 故选：D． 4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：, , 在和中， ， ． 故选B． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 题型三：添加一个条件使得三角形全等（SAS） 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，要使．若以“”为判定三角形全等的依据，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用证明两三角形全等需要知道两个三角形中的两条边及两条边的夹角对应相等，根据可证，已知，再增加条件即可用证明． 【详解】解：， ， ， 当时， 根据可证． 故选：D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了证明三角形全等，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法，添加条件根据证明三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴添加，可利用“”判断， 故答案为：． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，请添加一个条件 ，使（填一个即可）． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据可得，由，根据等式的性质可得，再加上条件可利用定理证明． 【详解】 ， ， 即 在和中 故答案为： 题型四：利用“SAS”证明三角形全等（解答题） 1．（2025·云南·模拟预测）如图， ，相交于点，，，连接，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】要证明 ，需证明和全等，通过已知条件 ， 以及对顶角，利用判定定理证明全等，进而得出对应边相等.本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键. 【详解】证明：在和中， ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 2．（2024八年级上·北京·期末）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据得到，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 3．（2025八年级上·北京·期末）已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，主要掌握全等三角形判定条件 “”，注意利用得到． 【详解】证明： 在和中， ， ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先由等腰三角形得到 ，再由得到，最后结合即可证明． 【详解】证明：在等腰三角形中， ， ， ． 即． 又， ． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，证明，得到，根据三角形的内角和定理，推出，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点， ∵，， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用全等三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ∴． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，D，E分别是的中点，且．与相等吗？请说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明与全等即可． 【详解】解：．理由如下： ，D，E分别是的中点， ∴，， ， 在和中， ， ． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知，连接．试问：图中线段与有何关系？并加以证明． 【答案】线段与相等，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可证明结论成立． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ 题型五：利用“SAS”证明三角形全等求角度 1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，已知，，，若点，，在一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点，由，得，而，，即可根据“”证明，得，由，且，推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 点，，在一条直线上， ，且， ， ， 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，，则（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】先通过角的等量代换找到全等三角形的条件，证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质和三角形外角的性质来求解的度数．本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和外角性质是解题的关键． 【详解】解： ，即 又，， ∴ ，，， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和为180度求出，再证，即可求解． 【详解】解：中，，， ， ，，， ， ， 故选D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质； 证明，可得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．先证，根据对应角相等得出，再根据三角形内角和定理计算出，最后根据三角形外角的性质得出，即可求解 ． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，点为边上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，由可得，可得，由平角的性质和三角形内角和定理可得，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，若，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的角为，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2024·四川眉山·一模）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，由平分，则，证明，所以，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六：网格中求角度问题 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，是网格型问题，本题构建全等三角形是关键． 证明≌，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：记与的交点为点F，如图， 在和中， ， ≌， ， ， ， ∴， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得三角形全等，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图所示， 和为直角三角形，且， ∴， ， ∵， ∴， 故选：C． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先标注图形，再根据“边角边”证明 ，可得，则答案可得． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴． ∵, ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【答案】/105度 【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可知，根据平角定义即可求解． 【详解】如图：    在和中， （SAS） ， ． 故答案为： 7．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中， ． 【答案】/90度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据网格特点，证明，得到，进而得到即可． 【详解】解：如图，由图可知： ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型七：利用“SAS”证明三角形全等求线段长度 1．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，，若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据O是的中点，得到，，再证明，即可得出答案，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：∵O是的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时， 则， ∴， 故答案为：2． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件可证明，则得，则可求． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键．先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：为的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 与的周长差是 ， 故答案为：8． 6．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，通过证明三角形全等得出对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．证明，可得，，然后证明，根据列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据题意得出，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：如图 ∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 在上截取，连接，则，证明和全等得，，进而可证明，据此得． 【详解】在上截取，连接，如图所示： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：5． 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，小聪利用最近学习的全等三角形识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中，,测得，，则保温杯的壁厚为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握等三角形判定以及性质是解题的关键． 通过证明得到的长度，即可得到答案． 【详解】解：在和中， ∴． ∴， ∵， ∴保温杯的壁厚． 故答案为：1． 10．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，平行四边形的周长为，相交于点O，交于点 E， 则的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的周长为，可得，，，证明，则，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 题型八：全等三角形的判定综合 1．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，求的度数； (2)当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 【答案】(1) (2)时，，见解析 【分析】本题考查的是角的和差运算，内角和定理的应用，全等三角形的判定； （1）直接利用平角的定义求解即可； （2）先证明，再结合即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：当时，． 当时， 在中，． ∵， ∴． 在和中， ∴． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． （1）利用线段中点的定义得到，再证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）的结论得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，交于点是上一点，且． (1)试说明． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质． （1）先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）解：是和的外角， ，， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据角平分线的定义以及可得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，． (1)和的面积相等吗？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)和的面积相等，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，理解三角形中线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形的面积公式是解决问题的关键； （1）连接，过点作于点，根据三角形中线的定义得，再根据三角形面积公式得，，然后比较两个三角形的面积即可得出结论； （2）根据，，可依据“”判定和全等得，再根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：和的面积相等，理由如下： 连接，过点作于点，如图所示： 是的中线， ， ，， ， 即和的面积相等； （2）证明：与平行，理由如下： 在和中， ， ， ， ． 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，点D在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)α 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，证明是解本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由（1）可知，可得，由三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴． 题型一：利用“SAS”证明三角形全等求取值范围 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知中，，为边上的中线，中线的最小整数值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，倍长中线构造全等是关键．延长到E，使，证明 ，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：延长到E，使， ∵， ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴，即， ∴中线的最小整数值为， 故答案为： 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．延长到，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中线． 延长到E，使，连接，根据可证，得，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， 则有， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系得， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，延长到E，使得，连接，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中． 延长到，使，证明，得到，再利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：延长到，使， ∵是的中线 在和中， ， ， 在中，， ∴，即， 则． 故答案为：． 题型二：全等三角形中最值问题 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了长方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质等，取的中点，连接，可得四边形是长方形，即得，再根据折叠的性质可证，得到，即得到，可知当三点共线时，的值最小，最小值为18，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是长方形，是的中点， ∴四边形是长方形， ∴， 由折叠可知，，， ∵是的中点，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为18， 故答案为：18． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，由平角的定义可得，则，证明得到，则，根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，且点B、C、E在同一条直线上． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为16，即的最小值为16， 故答案为：16． 4．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，，平分，点D、E分别为线段、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可以解答本题． 【详解】解：如图所示，作于点F，在上取一点，使，连接 、， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且与重合时，最小，最小值是， ∴， 故答案为：6． 5．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）如图，中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到，连接，则长的最小值是 ． 【答案】2.5 【分析】取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在中，利用含3度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为， ， ，，， ，， 点是的中点， ， ， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， ， 当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为2.5， 长的最小值是2.5， 故答案为：2.5． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】作，使，连接、，证明，得，再根据，得出当B、N、H共线时，的值最小，再根据等边三角形与全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：作，使，连接、，如图， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当B、N、H共线时，的值最小， B、N、H共线时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，则． 寿诞为：． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，直线l于点A，，点B是直线l上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由含度角的直角三角形的性质，可得出答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点，   和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直线上的动点， 在直线上运动， 的最小值为， ， 故答案为：． 题型三：全等三角形中动点问题（SAS） 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）及性质，解题的关键是分两种情况讨论三角形全等时对应边的相等关系． 设运动速度和时间，表达出相关线段长度；​由垂直得直角，确定全等所需的角的条件；​分两种对应边相等的情况，利用判定全等；​列方程求出相关量，进而得到的长度． 【详解】解：设点D，E运动的速度分别为，，它们运动的时间为，则，，， 于点A，于点B， ， 当，时，， 即， ， ； 当，时，， 即， ， ； 综上所述，的长为或 故答案为：或 2．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为1或秒时，和全等． 故答案为：1或． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 4．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 6．（24-25八年级上·全国·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)与有什么关系？请说明理由． (2)连接，当线段经过点时，的值为 　 　． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得解； （2）由题意可得，当时，，当时，，则， 由（1）得，，从而可得，证明，得出，再分两种情况分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：，，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动， ∴，当时，，当时，，则， 由（1）得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点C时，t的值为或． 故答案为：或． 7．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图（1），．点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)如图（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由： ②判断线段和线段的关系，并证明你的结论． (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，直接写出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，理由见解析；②线段和线段长度相等，且互相垂直 (2)或 【分析】本题考查的是动态几何，全等三角形的判定与性质，二元一次方程组的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据题中条件，利用“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”判定； ②由可推出线段和线段长度相等，进一步可推出线段和线段互相垂直； （2）根据，确定若与全等，则需满足或，再列方程组求解即可． 【详解】（1）①，理由如下： ， ， 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等， 当时，， ， ， ， ． ②线段和线段长度相等，且互相垂直，理由如下： ， ，， ， ， ， 线段和线段长度相等，且互相垂直． （2）由题知，，，，， ， ， 若与全等，则需满足或， 即或， 解得或， 当时，；或当时，． 8．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，后，与是否全等？请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，则点的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点以第（1）题②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】(1)①全等，理由见解析；② (2)经过，点，点第一次在边上相遇． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，动点问题，路程、速度、时间之间的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，进而证明两个三角形全等； ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个腰长，据此列方程求出时间，进而求解即可． 【详解】（1）解：①全等，理由如下： ∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， 若与全等，， 则，， ∴点，点运动的时间：， ∴； （2）解：设经过秒后点和点第一次相遇， 由题意，得：， 解得：， ∴点共运动了， 的周长为：， 若是运动了三圈即为：， ∵， ∴点，点在边上相遇， ∴经过，点，点第一次在边上相遇． 题型四：全等三角形中多结论问题 1．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 由E、F分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：∵E、F分别是、上的任意点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点B，于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， ∴平分，故③⑤正确； 当平分时，，而， ∴， 即只有当时，平分， 但是动点，角度不固定，故④错误； 故选：C． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，．下列说法：①和面积相等；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了中线，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．根据三角形的中线，等底等高的三角形面积相等即可判断出①正确；根据三角形的中线得，即不一定和相等，则②错误；利用边角边可证明，可判断出③正确；根据全等三角形的性质得，则，可判断出④正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和面积相等， 故①正确； ∵是的中线， ∴， ∴不一定和相等，否则可以证明， 故②错误； 在和中， ， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，①③④正确， 故选：C． 4．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．先根据角平分线的定义可得，再根据定理可得，由此即可判断①正确；先根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的内角和定理可得，由此即可判断②正确；先根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可判断③正确；根据可得，再根据可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴，则结论①正确； ∴， ∵，， ∴，， 设，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∵， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，则结论④错误； 综上，正确结论的个数是3个， 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，延长交于，，分别在，上，，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 在取点，使，证明，可得，证明，进而可以判定B选项错误，再证明，可得，进而判定C选项正确． 【详解】解：如图在上取点，使， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故B选项错误； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故C选项正确； 不能证明， 故选：C ． 6．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，已知：，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先证，进而证明，据此可判断①；由全等推出，，可判断③；由，推出，进而可得，可判断②；延长交于点F，可证，可判断④． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ，，故③正确； ， ， ， ， ，故②错误； 如图，延长交于点F， ，， ，故④正确； 综上可知，正确的有， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，，与相交于点O，有以下结论：①；②；③点A在的平分线上；④是的平分线，其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． ①根据证明即可； ②根据，得出，根据三角形外角得出，变形求出结果即可； ③过点A作于点M，于点N，证明，根据角平分线的判定可得点A在的平分线上； ④根据已知条件无法证明是的平分线． 【详解】解：①∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ②∵， ∴，， ∴ ，故②正确； ③过点A作于点M，于点N，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上，故③正确； ④无法证明平分，故④错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 题型五：全等三角形中解答题压轴 1．（2025八年级上·北京·期末）如图，在中，，点是直线上的一个动点（不与重合），连接，以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)当时，的位置关系是 ； (3)设．当时，请你探究与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理推出，即可得出结果； （3）分点在线段的延长线上，点在射线上，点在线段的延长线上，三种情况进行讨论求解即可。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点D在线段上，时， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点D在线段的延长线上时， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴ ∴． ③当点D在线段的延长线上时，如图所示， 同理， ∴， ∵， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图（1），在和中，D 为边AC上一点，平分，，． (1)求证：； (2)如图（2），若，连接交于F，G为边上一点，满足，连接交于H． ①求的度数； ②若平分，试说明：平分． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、对顶角相等的性质以及三角形的外角性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由角平分线定义得出，由证明即可； （2）①由证明，得出，在和中，由三角形内角和定理得出即可； ②由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解∶在和中， ∴； ∴， 在和中，∵， ∴； ②证明∶如图（2）所示∶ 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴平分． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，． (1)如图1，当是的内角平分线时，交于点P，求证：； (2)如图2，当是的外角平分线时，连结和，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质以及三角形三边的关系，解题的关键是作出合理的辅助图． （1）如图所示，在上取点D，使，证明出，得到，，然后利用三角形三边关系求解即可； （2）延长至点E，使，连接，求证，得出，再利用三角形三条边的关系即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，在上取点D，使 ∵是的内角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：．理由如下： 如图所示，延长至点E，使，连接． 是的外角平分线， ． 在和中， ， ． ． 在，． ∴， ，， ． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）【问题情境】：如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，连接，点是延长线上一点，连接、，在上截取，连接． 【问题解决】 (1)若，求的度数； (2)若，，求线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）依据“”判定和全等得，再根据得，由此可得出的度数； （2）由和全等得，，根据，得，由此可依据“”判定和全等得，据此即可得出线段、、之间的数量关系． 【详解】（1）， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ， ； （2）线段、、之间的数量关系是：，理由如下： 由可知：， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图①，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，∴．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，是的中线，点在的延长线上，，，，求的度数． 【问题解决】 （3）如图③，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，，点为中点，连接并延长交于点，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，，求服务区的面积． 【答案】（1）3或5；（2）；（3）服务区的面积为 【分析】本题主要考查了三角形中线、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意，并结合三角形三边关系可得，即，结合边的长度为奇数，即可获得答案； （2）延长至点，使，证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，即可获得答案； （3）延长到，使得，连接，，证明，易得，，再证明，易得，，然后确定，即，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，，， ∵，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵边的长度为奇数， ∴的长为3或5． 故答案为：3或5； （2）如图②，延长至点，使， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵， 易知， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图③，延长到，使得，连接，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即服务区的面积为． 6．（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 7．（24-25六年级下·山东济南·期末）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由可得，即可证明； （2）由可得，推出，结合，即可求解； （3）由可得，证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ； （2）， ， ， ， 又， ， 即； （3）， 理由：， 即． 在与中， ， ， ， ， ， ， ． 8．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点G，使，连接，可证明，则可证明，得到，，再证明，进而证明，则，据此可得结论； （2）延长到点G，使，连接，可证明，再同（1）证明即可． 【详解】解：（1）如图所示，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ， ． （2）如图所示，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ∴， ，． ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 9．（24-25八年级下·广东梅州·期中）综合与实践 【问题情境】如图1，在中，，是它的中线，求证：． 小康展示了他的解题过程： 【证明】如图1，∵， ∴将绕着点D旋转得到， ∴，点A，D，E在一条直线上， ∴（依据1）， ∵， ∴， 在中，（依据2）， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】（1）上述证明过程中的依据1是指__________________________________；依据2是指______________________________________． （2）如图2，在中，D为上的一点，连接是的中线．求证： ． 【问题拓展】（3）如图3，在和中，，连接，，点E 为的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）全等三角形的性质；三角形任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边；（2）见解析；（3） 【分析】本题是旋转的综合，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系的应用等知识，利用旋转变换解题是关键． （1）利用全等三角形的性质及三角形三边的不等关系即可完成； （2）由，将绕着点E旋转得到，则得，从而有；再由三角形三边不等关系即可求证； （3）把绕点E旋转得到，则，，；再证明，，从而可求解． 【详解】（1）解：由的性质得；；由三角形三边不等关系得； 故答案为：全等三角形的性质；三角形任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边； （2）证明：∵， ∴将绕着点E旋转得到， ∴，点A，F，E在一条直线上， ∴， ∴； 在中，， ∴； （3）解：∵点E 为的中点， ∴； 把绕点E旋转得到， ∴，三点共线， ∴，，； ∵， ∴； ∵，， ∴， 即， ∴； ∵在中，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定定理证得，利用该全等三角形的对应边相等推知，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点， ∴，， 在与中 ， ， ∴ ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在五边形中，若，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和定理得出，证明，得出，再根据即可得出答案． 【详解】∵， ， 在和中，， ， ， ． 故选：D． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，先证明，得到，进而由得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得即可，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 故选：． 5．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据所学的三角形全等的有关知识，得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，，， 故， 故选C． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，先根据“边角边”证明，可得，再根据三角形外角的性质得，进而得出，最后根据平角定义得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴， 即, ∴， ∴， 即. 故选：A． 7．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及外角性质等知识点，解题的关键在证明．先证明．然后利用全等三角形的性质得出，再结合三角形内角和定理计算出的具体度数． 【点睛】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，小明设计了一种测零件内径的卡钳．在制作卡钳时，他先找来两根钢条，，并在两根钢条上找到各自的中点M，N，然后将两根钢条的中点M，N重合固定在一起，使，可以绕固定点自由转动．若测得．则该零件的内径 ，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，再证明，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点M，分别是，的中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 故该零件的内径，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是， 故答案为：3，． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”判定：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，据此增加条件即可． 【详解】解：∵，，现要证明， ∴根据“”判定，则需增加条件． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，，，则 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．通过证明得到，再根据角的和差关系以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 12．（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查了直角三角形锐角互余，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义，正确添加辅助线是解题的关键． 延长至点，使得，连接，先证明，再证明，，那么，再由直角进行锐角互余求解即可． 【详解】解：延长至点，使得，连接 ∵的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 故答案为：． 14．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，根据平行线的性质、线段的和差求出，由“”可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明： ． ． 在和中， ， 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得， 再根据，便可证得结论； （2）根据（1）的结论，利用全等三角形的性质得，结合与内角和，即可得． 【详解】（1）解：， ． 即． 在和中， ， ． （2）解：，理由如下： ， ． ，，， ． ． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，，，，其中，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动它们的运动时间为秒．    (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． （1）先求出点从点出发到达点时所用的时间为秒，再根据点运动的路程即可得出点的速度； （2）依题意得，，则，，再根据，则有以下两种情况：当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值；当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：， 点从点出发到达点时所用的时间为：秒， 点从点出发到达点时所用的时间为秒， ，， ， 点运动的时间为：， 故答案为：； （2）解：依题意得：，， ，， ， 当与全等时，有以下两种情况： 当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：； 当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：， 综上所述：当与全等，的值为或． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图①所示，已知在四边形中，，试说明． （2）若将图①中的点在所在的直线上做相向运动，得到图②，其他条件不变，还成立吗？为什么？ （3）若将图②中的点继续运动，得到图③，其他条件不变，和还相等吗？为什么？ 【答案】（1）证明见解析；（2）还成立，理由见解析；（3）还成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）由和得到，由得到，在结合，即可证明，得到． （2）由和得到，由得到，在结合，即可证明，得到． （3）由和得到，由得到，在结合，即可证明，得到． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）还成立，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （3）还成立，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 1 / 107 学科网（北京）股份有限公司 $$