9.4离散型随机变量的分布列与数字特征 （2大考点+6大题型）（讲义+精练）-2027届新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦离散型随机变量的分布列与数字特征，按概念认知、性质应用、均值方差计算到实际决策的逻辑架构整合考点，通过主干知识梳理、核心题型分层探究、课时精练三个环节，帮助学生构建知识网络并突破解题难点。 讲义以数学思维和数学语言为导向，设计从基础认知到综合应用的题型梯度，如在“概率实际决策”中通过市场需求分析情境引导学生建立分布列模型，配合典例精讲与变式训练，培养学生的模型观念和推理能力，分层练习确保复习效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

9.4离散型随机变量的分布列与数字特征 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一．离散型随机变量的分布列 3 知识点二．离散型随机变量的均值与方差 4 03 探究核心题型 6 题型一：离散型随机变量认知 6 题型二：离散型随机变量分布列求解 6 题型三：离散型随机变量分布列性质 8 题型四：离散型随机变量均值计算 9 题型五：离散型随机变量方差运算 11 题型六：概率实际决策应用 13 04 课时精练 16 1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2、理解并会求离散型随机变量的数字特征. 知识点一．离散型随机变量的分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 注意： （1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上． （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 注意： ①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 知识点二．离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． 题型一：离散型随机变量认知 【典例1-1】一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（    ） A．所取球的个数 B．其中含红球的个数 C．所取白球与红球的总数 D．袋中球的总数 【典例1-2】一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 【变式1-1】在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分的所有可能取值的和是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式1-3】下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 题型二：离散型随机变量分布列求解 【典例2-1】已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（    ） A． B． C． D． 正、次、正：概率为； 次、正、正：概率为； ． 【典例2-2】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【方法技巧与总结】 求解离散型随机变量分布列的步骤： （1）审题 （2）计算 计算随机变量取每一个值的概率 （3）列表 列出分布列，并检验概率之和是否为. （4）求解 根据均值、方差公式求解其值. 【变式2-1】甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【变式2-2】一袋中装5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，从袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最大号码，则随机变量的分布为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 题型三：离散型随机变量分布列性质 【典例3-1】已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 【典例3-2】已知，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 离散型随机变量的分布列性质的应用 （1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率； （3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确． 【变式3-1】离散型随机变量的分布列如下表格，则（     ） 0 1 2 A． B． C． D． 【变式3-2】若离散型随机变量的分布列如下所示，则的值为（   ） 1 2 A． B． C． D． 【变式3-3】已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 题型四：离散型随机变量均值计算 【典例4-1】“村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【典例4-2】某地举行马拉松比赛，赛道全长42.195千米，沿途设置了多个补给点、固定医疗点、计时点和赛道引导指示牌，确保选手在比赛中的安全和舒适.已知组委会在赛道25千米和35千米处均设有补给站，根据历史数据，选手在比赛中的表现受补给情况影响，具体如下：①补给情况分布：有60％的选手会在25千米处补给站停留；在25千米处补给站停留的选手中，有80％也会在35千米处补给站停留；在25千米处补给站未停留的选手中，只有40％会在35千米处补给站停留.②组委会计划为完赛选手设置完赛奖金，完赛概率及奖金（单位：元）如表： 补给情况 完赛概率 完赛奖金 两站都停留 95％ 500 仅25千米处补给站停留 70％ 300 仅35千米处补给站停留 75％ 300 两站均未停留 50％ 200 (1)求选手甲在35千米处补给站停留的概率； (2)现组委会需要为每名选手准备奖金预算，求每位选手的完赛奖金金额X（单位：元）的分布列，并求其期望值. 【变式4-1】欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 【变式4-2】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列及均值. 【变式4-3】数据显示，中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，分组，得到如下的频率分布直方图.    (1)估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数. (2)为了进一步了解用户在工作中使用AI大模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为X，求X的分布列和期望. 题型五：离散型随机变量方差运算 【典例5-1】袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求只抽到白球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球不得分.求得分的分布列，以及的期望和方差. 【典例5-2】一个盒子里装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，，现进行两次摸球试验： 第一次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．第一次试验完成后，将球放回盒子，再进行第二次试验； 第二次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列及期望； (2)若，且，求； (3)求的方差（，且，结果用，表示），并探究，具有怎样的关系时，最大？ 【方法技巧与总结】 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算． 【变式5-1】为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛. (1)设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； (2)设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差. 【变式5-2】甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7． (1)求甲同学到第三天才预约成功的概率； (2)记为甲同学预约门票的天数，求的分布列、期望和方差． 【变式5-3】在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 题型六：概率实际决策应用 【典例6-1】某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【典例6-2】某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值； (3)记净成本为，以净成本期望值为决策依据，求净成本期望值最低时的备件数． 【方法技巧与总结】 均值与方差在决策中的应用 （1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． （2）两种应用策略 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断． ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策. 【变式6-1】为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下： 第二轮答对 第二轮答错 合计 第一轮答对 60 20 80 第一轮答错 10 10 20 合计 70 30 100 (1)从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率； (2)正式竞赛则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮（不可查看第二轮题目后再决策）．②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结束．已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计．小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程． 【变式6-2】人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【变式6-3】某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖． (1)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差； (2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由． 1．某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此次游戏中得分的可能取值有（    ）种 A．10 B．11 C．13 D．14 2．（2026·福建厦门·模拟预测）随机变量X的分布列为，.若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·二模）设随机变量的分布列为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 4．已知随机变量的分布如下：若，则（    ） 0 1 2 A． B．7 C．21 D．22 5．某同学每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为（   ） A．4 B． C．3 D． 6．随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（   ） X 0 1 P a b A．1 B． C． D． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 8．（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·河南·模拟预测）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·河北·模拟预测）若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A． B． C． D． 12．（多选题）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 13．（2026·贵州贵阳·二模）在一个袋子中装有4个大小相同的小球，小球上的编号依次为1，2，3，4，现在有放回的抽取n次，每次只取一个小球，记这n次取到的小球的最大编号为X，则______，______． 14．（2026·江苏盐城·模拟预测）甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 15．（2026·天津和平·三模）盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 16．2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为； (1)若，求4次后停在初始点的概率； (2)求机器人移动3次后停在初始点前方的概率； (3)设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分的期望，若存在极大值点，求的取值范围. 17．（2026·宁夏银川·三模）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 18．（2026·福建漳州·三模）某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． (1)当时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； (2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； (3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 19．（2026·甘肃兰州·模拟预测）一个箱子中有一批外观完全相同的纸盒，每个纸盒中有除颜色外完全相同的4个小球，其中有2个红球2个白球的纸盒占，有3个红球1个白球的纸盒占． (1)从箱子中随机抽取一个纸盒，再从纸盒中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率； (2)从箱子中随机抽取一个纸盒，再从纸盒中随机一次性抽取2个或3个小球，抽取2个小球的概率为，抽取3个小球的概率为，在抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记分，用表示抽到的小球的分数之和，求的分布列及数学期望． 20．（2026·广东深圳·三模）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； (2)学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；判断10000元的预算是否足够. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.4离散型随机变量的分布列与数字特征 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一．离散型随机变量的分布列 3 知识点二．离散型随机变量的均值与方差 4 03 探究核心题型 6 题型一：离散型随机变量认知 6 题型二：离散型随机变量分布列求解 7 题型三：离散型随机变量分布列性质 9 题型四：离散型随机变量均值计算 11 题型五：离散型随机变量方差运算 17 题型六：概率实际决策应用 22 04 课时精练 30 1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2、理解并会求离散型随机变量的数字特征. 知识点一．离散型随机变量的分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 注意： （1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上． （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 注意： ①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 知识点二．离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． 题型一：离散型随机变量认知 【典例1-1】一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（    ） A．所取球的个数 B．其中含红球的个数 C．所取白球与红球的总数 D．袋中球的总数 【答案】B 【解析】对于A：所取球的个数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项A不正确； 对于B：从中任取2个其中含红球的个数为是随机变量，故选项B正确； 对于C：所取白球与红球的总数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项C不正确； 对于D：袋中球的总数为7个，是定值，故不是随机变量，故选项D不正确； 故选：B. 【典例1-2】一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 【答案】D 【解析】由试验次数的含义可知，至少试验一次才可能刚好打开， 如果第五次依然没有打开，此时不管开锁是否成功，都能确定能开锁的钥匙. 所以的所有可能取值为：. 故选：D. 【变式1-1】在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】依题意每题回答正确得分，回答不正确得分， 则选手甲回答这三个问题的总得分的可能取值为，，，共种情况. 故选：D 【变式1-2】在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分的所有可能取值的和是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解析】选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分， 中两次，得4分，中三次，得6分， 故总得分的所有可能取值为， 所以总得分的所有可能取值的和为. 故选：C 【变式1-3】下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】B 【解析】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量； 等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量； 测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量． 故选：B． 题型二：离散型随机变量分布列求解 【典例2-1】已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示第3次正好取出第2个正品，前两次为1正品1次品，可能情况为： 正、次、正：概率为； 次、正、正：概率为； ． 【典例2-2】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】解析  甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D． 【方法技巧与总结】 求解离散型随机变量分布列的步骤： （1）审题 （2）计算 计算随机变量取每一个值的概率 （3）列表 列出分布列，并检验概率之和是否为. （4）求解 根据均值、方差公式求解其值. 【变式2-1】甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D 【变式2-2】一袋中装5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，从袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最大号码，则随机变量的分布为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知随机变量表示摸出的3个球中的最大号码数，可取的值为3、4、5， 当时，3个小球编号为1、2、3，； 当时，3个小球一个编号为4，另外两个为1、2、3中的两个，； 当时，3个小球一个编号为5，另外两个为1、2、3、4中的两个，. 故选：C. 【变式2-3】如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 故选：A 题型三：离散型随机变量分布列性质 【典例3-1】已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 【答案】C 【解析】因为概率和为1，所以， 化简得，解得或， 又因为，概率不能为负数，故. 【典例3-2】已知，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知. 【方法技巧与总结】 离散型随机变量的分布列性质的应用 （1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率； （3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确． 【变式3-1】离散型随机变量的分布列如下表格，则（     ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得， 所以. 【变式3-2】若离散型随机变量的分布列如下所示，则的值为（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知离散型随机变量分布列满足所有概率之和为且每个概率都大于等于. 根据题意列方程： ，解得. 又 ，， 符合概率非负的要求，故. 【变式3-3】已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为X服从两点分布，所以， 又，所以． 题型四：离散型随机变量均值计算 【典例4-1】“村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【解析】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，； 所以 （2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 8 15 所以. 【典例4-2】某地举行马拉松比赛，赛道全长42.195千米，沿途设置了多个补给点、固定医疗点、计时点和赛道引导指示牌，确保选手在比赛中的安全和舒适.已知组委会在赛道25千米和35千米处均设有补给站，根据历史数据，选手在比赛中的表现受补给情况影响，具体如下：①补给情况分布：有60％的选手会在25千米处补给站停留；在25千米处补给站停留的选手中，有80％也会在35千米处补给站停留；在25千米处补给站未停留的选手中，只有40％会在35千米处补给站停留.②组委会计划为完赛选手设置完赛奖金，完赛概率及奖金（单位：元）如表： 补给情况 完赛概率 完赛奖金 两站都停留 95％ 500 仅25千米处补给站停留 70％ 300 仅35千米处补给站停留 75％ 300 两站均未停留 50％ 200 (1)求选手甲在35千米处补给站停留的概率； (2)现组委会需要为每名选手准备奖金预算，求每位选手的完赛奖金金额X（单位：元）的分布列，并求其期望值. 【解析】（1）设“选手在25千米处补给站停留”，“选手在35千米处补给站停留”， 由题意，，，，， 由全概率公式，得， 所以，选手甲在35千米处补给站停留的概率为0.64. （2）由题意，的取值为， 选手在两站都停留的概率为， 选手在25千米处补给站停留，未在35千米处补给站停留的概率为， 选手在35千米处补给站停留，未在25千米处补给站停留的概率为， 选手在两站均未停留的概率为， 所以， ， ， . 所以的分布列为： 0 200 300 500 0.22 0.12 0.204 0.456 所以每位选手的完赛奖金金额的数学期望为：. 【变式4-1】欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 【解析】（1）设“任选一个频道播放，该频道是A频道”为事件，“任选一个频道播放，该频道是B频道”为事件， “任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件， 所以，， 在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为. （2）（i）播放1次A频道成为优选频道的概率为， 播放3次A频道成为优选频道的概率为， 所以按照约定2，两个频道共播放不超过4次时，A频道成为优选频道的概率为. （ii）的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 【变式4-2】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列及均值. 【解析】（1）甲公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，至少答对2道题目包括答对2道题目和答对3道题目， 甲公司答对2道题目的概率， 甲公司答对3道题目的概率， 故甲公司至少答对2道题目的概率. （2）设甲公司的答对题数为，的可能取值为1，2，3， ， ， ， 则甲公司答对题数的分布列为： 1 2 3 甲公司答对题数的均值为：； 设乙公司的答对题数为，的可能取值为0，1，2，3， 依题意，乙公司的答对题数服从二项分布， ， ， ， ， 则乙公司答对题数的分布列为： 0 1 2 3 乙公司答对题数的均值为：. 【变式4-3】数据显示，中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，分组，得到如下的频率分布直方图.    (1)估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数. (2)为了进一步了解用户在工作中使用AI大模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为X，求X的分布列和期望. 【解析】（1）计算各组累计频率：， ， ，， 所以两组频率之和是， 两组频率之和是， 所以该组数据的第60百分位数一定在之间， 所以该组数据的第60百分位数为， 所以中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40. （2）计算用户年龄在每组数据的人数： （人），（人）， （人），（人）， （人），所以年龄在内的用户共（人）， 即抽层比例，所以选取的7名用户中，年龄在内的人数为（人）， 年龄在内的人数为（人）， 公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. 所以年龄在内的用户没有获得幸运大礼的概率为, 所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为, ②根据题意可知X的所有可能取的值为，，，，则， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 题型五：离散型随机变量方差运算 【典例5-1】袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求只抽到白球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球不得分.求得分的分布列，以及的期望和方差. 【解析】（1）不放回抽取3个小球，总的基本事件数为 ，只抽到白球的基本事件为从4个白球中抽取3个，事件数为 . 根据古典概型概率公式，所求概率为： （2）有放回抽取时，单次抽到红球的概率为，设3次抽取中抽到红球的次数为， 则 ，其中的取值为，且 . 由题意得 ，故的可能取值为，且 ，计算得： 的分布列为： 0 2 4 6 根据二项分布的期望、方差公式， ，， 因此： 【典例5-2】一个盒子里装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，，现进行两次摸球试验： 第一次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．第一次试验完成后，将球放回盒子，再进行第二次试验； 第二次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列及期望； (2)若，且，求； (3)求的方差（，且，结果用，表示），并探究，具有怎样的关系时，最大？ 【解析】（1）由题意表示的元素个数，可能取值为1，2，3，总取法为， 表示两次摸出的球恰有1个公共元素，取法为，则， 表示两次取的球有2个公共元素，取法为，则， 表示两次摸出的球有3个公共元素，取法为，则， 所以的分布列为： 1 2 3 （2）由已知，表示第二次从个球中取出2个球，其中恰有个球的编号属于， ，代入，则， 化简得，解得或，又，，所以； （3）由题，， 则随机变量服从超几何分布， ， 固定时，的大小由决定， 是开口向下的二次函数，对称轴为且： 当为偶数时，时最大； 当为奇数时，时最大. 【方法技巧与总结】 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算． 【变式5-1】为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛. (1)设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； (2)设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差. 【解析】（1）依题意，这10名导游中随机选择4人，有种不同选法， 当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 所以事件发生的概率. （2）依题意，随机变量的所有可能取值为， ，，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为， 方差. 【变式5-2】甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7． (1)求甲同学到第三天才预约成功的概率； (2)记为甲同学预约门票的天数，求的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列： 1 2 3 0.7 0.21 0.09 ，. 【分析】 （1）根据独立事件同时发生的概率计算公式求解即可. （2）根据独立事件同时发生的概率公式求分布列，再利用期望和方差的概念求期望和方差. 【详解】 （1）设表示事件“甲同学在第天预约成功” 表示事件“甲同学到第3天才预约成功” 则 可得. （2）依题意，的所有可能取值为1，2，3． 且， ， ， 则的分布列为 1 2 3 0.7 0.21 0.09 . . 【变式5-3】在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【解析】（1）因为第部播放的短片共有种情况，且每部短片随机展播一次， 所以播放的短片是文明出行宣传短片的概率为. （2）最后一部反诈宣传短片可能在第部或第部播放完成， 所以可取值为. 则；. 可得的分布列为： 所以. （3）文明出行宣传短片可能在第部、第部、第部播放完成， 所以可取值为. 则；；. 所以， 则. 而，所以. 题型六：概率实际决策应用 【典例6-1】某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【解析】（1）设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得 ， ， 设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得所有可能的取值为 且， 所以的分布列如下表： 16 17 18 19 20 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （2）由题意得，当时，， 当时，． 所以 设“销售利润不少于8900元”，则 当时，， 当时，，解得． 由（1）中的分布列可知，． （3）由（1）知，． 当时，的分布列为： 0.06 0.94 所以； 当时，的分布列为： 0.06 0.23 0.71 所以， 因为，所以应选． 【典例6-2】某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值； (3)记净成本为，以净成本期望值为决策依据，求净成本期望值最低时的备件数． 【解析】（1）可取，由题设中的数据可得： ，， ， ，， 故的分布列为： （2）因为，而， 故的最小值为. （3）若，则， 若，则， 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 综上，净成本期望值最低时的备件数. 【方法技巧与总结】 均值与方差在决策中的应用 （1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． （2）两种应用策略 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断． ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策. 【变式6-1】为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下： 第二轮答对 第二轮答错 合计 第一轮答对 60 20 80 第一轮答错 10 10 20 合计 70 30 100 (1)从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率； (2)正式竞赛则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮（不可查看第二轮题目后再决策）．②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结束．已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计．小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程． 【解析】（1）设事件：第一轮答对，事件：第二轮答对． 由表中数据，， 所以． （2）由模拟测试频率，小张第一轮答对的概率， 第二轮答对的概率，且两轮相互独立． 若选择第一轮答对后放弃第二轮，则最终得分的分布为： 第一轮答错（概率0.2），得0分； 第一轮答对（概率0.8），得9分． 期望． 若选择第一轮答对后作答第二轮，则最终得分的分布为： 第一轮答错（概率0.2），得0分； 第一轮答对且第二轮答对（概率），得10分； 第一轮答对且第二轮答错（概率），得5分． 分布列如下： 0 5 10 0.2 0.24 0.56 期望． 因为，所以小张应选择放弃第二轮的策略． 【变式6-2】人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【解析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件. ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为：. 方案②中取到红球的概率为：. 因为，所以方案②中取到红球的概率更大. 【变式6-3】某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖． (1)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差； (2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由． 【解析】（1）由题意知，每位嘉宾中奖的概率为，不中奖的概率为， 则服从二项分布， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望为， 方差为； （2）不换箱子时中奖概率： 嘉宾第一次选择箱子时，中奖概率为； 换箱子时中奖概率： 设4个箱子分别为，有奖品的箱子为， 当嘉宾先选箱，主持人会在箱中打开一个空箱子， 此时嘉宾换箱子后，就选不中奖品，其概率为0； 当嘉宾先选或或箱子，概率为， 此时主持人打开另一个空箱子，嘉宾换箱子后一定能选中有奖品的箱， 其概率为，所以换箱子的中奖概率为. 所以，故嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品. 1．某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此次游戏中得分的可能取值有（    ）种 A．10 B．11 C．13 D．14 【答案】C 【解析】由题意得，我们知道所产生的不同得分的情况种数如下， 首先，我们把中记为，不中记为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 情况数为，此时得分为， 其它情况未产生其它得分情况，故省略， 故产生的不同得分的情况种数如下，共种. 故选：C 2．（2026·福建厦门·模拟预测）随机变量X的分布列为，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为随机变量X的分布列为，， 所以，即，又因为， 所以，解得. 3．（2026·山东青岛·二模）设随机变量的分布列为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 【答案】D 【解析】因为，， 则当时，， 代入得，化简得; 由递推式：，即; 由分布列概率总和为1可得：，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 4．已知随机变量的分布如下：若，则（    ） 0 1 2 A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【解析】由题意可得，，解得，因为，所以， 解得，所以，，所以，所以. 5．某同学每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】设投篮总次数的数学期望为，对投中情况分类讨论， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 该情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，且第二次没有投中，该情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2， 所以，解得． 6．随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（   ） X 0 1 P a b A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故，故， 故，故. 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】记1个“正确分类”为，1个“错误分类”为，2个“不确定样本”为， 已知测试到就停止，为测试到的的个数，则的可能取值为：， 时有两种情况：①第一个是；②第一个是，第二个是，即 ； 时有三种情况：①第一个是或，第二个是； ②第一个是或，第二个是，第三个是； ③第一个是，第二个是或，第三个是； ； 时有三种情况：①前两个是和，第三个是； ②前两个是或和，第三个是或，第四个是； ③第一个是，第二个和第三个是和，第四个是； ； ． 8．（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 9．（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工， 由已知的可能取值为，，. ，，， 所以. 10．（多选题）（2026·河南·模拟预测）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，由，解得，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 11．（多选题）（2026·河北·模拟预测）若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意得，解得，A正确； 由，B选项正确； ，故D选项正确； 因为，故C选项错误； 12．（多选题）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 13．（2026·贵州贵阳·二模）在一个袋子中装有4个大小相同的小球，小球上的编号依次为1，2，3，4，现在有放回的抽取n次，每次只取一个小球，记这n次取到的小球的最大编号为X，则______，______． 【答案】 【解析】由题意，有放回的抽取n次，每次只取一个小球，取得每个编号的概率都是， 易得； 因，，2，3，4， 故. 14．（2026·江苏盐城·模拟预测）甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 【答案】 【解析】由题意可得， 且， ，， ， 所以， 所以. 15．（2026·天津和平·三模）盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 【答案】 /0.5 【解析】①设事件为“第二次取出的球为黄球”，设事件为“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的球为黄球”与“第一次取出的球不是黄球”，两种情况，故， 事件为“第二次取出的是黄球且第三次取出的是红球”，可分为“第一次取出的是黄球”或“第一次取出的是白球”或“第一次取出的是红球”， 所以，所以， 所以第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为. ②的可能取值为，，， ， , ， 所以的分布列为： 所以. 16．2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为； (1)若，求4次后停在初始点的概率； (2)求机器人移动3次后停在初始点前方的概率； (3)设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分的期望，若存在极大值点，求的取值范围. 【解析】（1）设事件：机器人移动4次后停在初始点，那么 机器人移动4次后停在初始点，那么4次中有两次移动向前，有两次移动向后， . （2）设事件：机器人移动3次后停在初始点前方，那么若机器人移动3次后停在初始点前方，则向前移动2次、向后移动1次或向前移动3次、向后移动0次， 所以，. （3）第一轮测试结束进入第二轮游戏的情况有2种，分别是3次向前；2次向前、1次向后； 则其概率为； 所以，的所有可能取值为0，1，3 ， ，， 所以， 因为，所以， 所以当时，；当时； ，， 由于，所以的符号由决定， 令，那么当时，， 因为，，， 根据零点存在性定理可得，存在使得，存在使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在处取极大值即存在极大值点； 当时，， 因为，，， 根据零点存在性定理可得，存在使得，存在使得， 要使在上存在极大值点， 则， 解得或， 因为，所以； 综上所述. 17．（2026·宁夏银川·三模）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 【解析】（1）每组小矩形的面积之和为1，， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． （2）由分层抽样可知， 成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， ， 0 1 2 18．（2026·福建漳州·三模）某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． (1)当时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； (2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； (3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 【解析】（1）由题意，机器人第一轮巡检成功检测到2台或3台设备， 所以机器人无需进行第二轮巡检的概率为 （2）由题意得，， ， 所以， 所以． （3）应选方案一，理由如下： 记为机器人巡检的检测总费用，为人工巡检的检测总费用， 由题意得，， 令， 则， 因为，所以，即在上单调递减， 所以， 所以， 故选用智能机器人巡检的检测平均总费用更低，应选方案一． 19．（2026·甘肃兰州·模拟预测）一个箱子中有一批外观完全相同的纸盒，每个纸盒中有除颜色外完全相同的4个小球，其中有2个红球2个白球的纸盒占，有3个红球1个白球的纸盒占． (1)从箱子中随机抽取一个纸盒，再从纸盒中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率； (2)从箱子中随机抽取一个纸盒，再从纸盒中随机一次性抽取2个或3个小球，抽取2个小球的概率为，抽取3个小球的概率为，在抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记分，用表示抽到的小球的分数之和，求的分布列及数学期望． 【解析】（1）记事件表示“抽取的一个小球为红球”． 事件表示“抽取的纸盒中有2个红球2个白球”， 事件表示“抽取的纸盒中有3个红球1个白球”， 则． （2）由题意得的可能取值为，，，，，， 则， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 故的数学期望为． 20．（2026·广东深圳·三模）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； (2)学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；判断10000元的预算是否足够. 【解析】（1）由频率分布直方图易知，50名教职工日行步数的样本平均数为： . （2）由频率分布直方图易知，50名教职工中“不健康生活方式者”有人， “超健康生活方式者”有人. 则的所有可能的值为、、、， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 . （3）用样本估计总体，步数在内的概率为，有人， 步数在内的概率为，有人， 因为，所以元的预算足够. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $