第9讲：函数的概念及其表示【十二大题型+知识归纳+高分精练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版必修第一册）

第9讲：函数的概念及其表示 题型一、函数的定义 3 题型二、求函数的定义域 4 命题角度1　具体函数的定义域 4 命题角度2　抽象函数的定义域 4 题型三、函数值域 5 命题角度1　常见函数的值域 5 命题角度2　复杂函数的值域 5 题型四、同一个函数的判定 6 题型五、求函数解析式 7 命题角度1　换元法 7 命题角度2　待定系数法 7 命题角度3　构造方程组法 8 题型六、分段函数已知函数值求参数或者自变量 8 题型七、分段函数性质应用 9 题型八、函数的综合问题 10 知识点一　函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二　同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三　区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四　函数的表示方法 知识点五　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3． 作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 知识点六　函数值值域的求法 （1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 题型一、函数的定义 【例1】．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【变式2．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 题型二、求函数的定义域 命题角度1　具体函数的定义域 【例2】．（26-27高一上·广东·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高一上·江西·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 命题角度2　抽象函数的定义域 【例3】．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【变式2】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型三、函数值域 命题角度1　常见函数的值域 【例4】．（2.2函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【变式1】．（第五单元函数及其表示方法）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【变式2】．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 命题角度2　复杂函数的值域 【例5】．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【变式2】．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 题型四、同一个函数的判定 【例6】．（26-27高一上·广西·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型五、求函数解析式 命题角度1　换元法 【例7】．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 命题角度2　待定系数法 【例8】．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 命题角度3　构造方程组法 【例9】．（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 题型六、分段函数已知函数值求参数或者自变量 【例10】．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】．（25-26高一上·山东德州·期末）设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 题型七、分段函数性质应用 【例11】．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八、函数的综合问题 【例12】．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【变式1】．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【变式2】．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 一、单选题 1．（26-27高一上·广西·期中）函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C． D．且 2．（26-27高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·河南开封·阶段检测）函数的定义域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 4．（26-27高一上·全国·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．和y＝ B．和y＝ C．和 D． 和 6．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 7．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高一上·全国·课后作业）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 9．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 10．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 11．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 三、填空题 12．（26-27高一上·海南·期中）已知函数则____. 13．（26-27高一上·北京·期中）在函数中，若，则的值是______________________ 14．（26-27高一上·全国·课堂例题）设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，表示不大于的最大整数，例如，，则使得成立的的取值范围是________． 四、解答题 16．（26-27高一上·广东·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 17．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 18．（26-27高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 19．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，，其中. (1)证明：； (2)若函数的最大值为，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲：函数的概念及其表示 题型一、函数的定义 3 题型二、求函数的定义域 5 命题角度1　具体函数的定义域 5 命题角度2　抽象函数的定义域 5 题型三、函数值域 6 命题角度1　常见函数的值域 6 命题角度2　复杂函数的值域 8 题型四、同一个函数的判定 11 题型五、求函数解析式 12 命题角度1　换元法 12 命题角度2　待定系数法 13 命题角度3　构造方程组法 15 题型六、分段函数已知函数值求参数或者自变量 16 题型七、分段函数性质应用 17 题型八、函数的综合问题 19 知识点一　函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二　同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三　区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四　函数的表示方法 知识点五　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3． 作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 知识点六　函数值值域的求法 （1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 题型一、函数的定义 【例1】．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 【变式2．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可． 【详解】对于①，，当时，，故①不满足题意； 对于②，，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故③满足题意； 对于④，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故④满足题意． 故选：C 题型二、求函数的定义域 命题角度1　具体函数的定义域 【例2】．（26-27高一上·广东·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得且.所以函数的定义域为． 【变式1】．（26-27高一上·江西·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知 ，解得且， 故的定义域为. 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，解得且，即的定义域是. 命题角度2　抽象函数的定义域 【例3】．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 【变式1】．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 【变式2】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，当时，， 则函数的定义域为，在函数中，， 解得且，所以函数的定义域为. 故选：A 题型三、函数值域 命题角度1　常见函数的值域 【例4】．（2.2函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3)(4) 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 【变式1】．（第五单元函数及其表示方法）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3），则，所以函数的值域为． 【变式2】．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 命题角度2　复杂函数的值域 【例5】．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 【变式1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 【变式2】．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 题型四、同一个函数的判定 【例6】．（26-27高一上·广西·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于C，与的定义域均为，对应关系相同，故与是同一个函数，正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误. 【变式1】．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 【变式2】．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 题型五、求函数解析式 命题角度1　换元法 【例7】．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，，则，.. 【变式1】．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 【变式2】．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D 命题角度2　待定系数法 【例8】．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式2】．（22-23高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 命题角度3　构造方程组法 【例9】．（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得： ， 两式联立可得：，所以，，因为， 所以，所以的值域为，故选：A 【变式1】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 【变式2】．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，（1），在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 题型六、分段函数值求参数或者自变量 【例10】．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 【变式1】．（25-26高一上·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】当时，由，解得（舍去）， 当时，由，可得，解得（舍去）或， 当时，由，可得（舍去）， 综上所述，. 故选：A. 【变式2】．（25-26高一上·山东德州·期末）设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数， . 题型七、分段函数性质应用 【例11】．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 【变式1】．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 【变式2】．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，由，得． 当时，恒成立，此时， 所以或解得； 当时，，则，解得，不满足题意舍去， 所以的取值范围为． 故选：A． 题型八、函数的综合问题 【例12】．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)   (2) 【详解】（1）画出的图像，如图所示.   （2），，. 因为在上的值域为， 所以结合图象可得，即的取值范围为. 【变式1】．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，②由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以.即，解得，或. 所以或 ． 【变式2】．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 【答案】(1) ， ． (2) (3)． 【详解】（1）已知函数， ， ． （2）由，得， ． （3）由知 ，， ． 一、单选题 1．（26-27高一上·广西·期中）函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】由题意得 ，解得且，故D正确. 2．（26-27高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案. 【详解】对于A,由于,所以,所以的值域为,不合题意; 对于B,的值域为,不合题意; 对于C,由于,所以的值域为,符合题意; 对于D,由于,所以 ,此函数的值域为,不符合题意. 3．（26-27高一上·河南开封·阶段检测）函数的定义域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由题设有对一切实数恒成立， 若，恒成立， 若，则，故， 综上，. 4．（26-27高一上·全国·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，列出相应的不等式，结合集合交集的运算，即可求得函数的定义域. 【详解】由函数的定义域为，可得，解得， 所以的定义域为， 又因为，解得，所以函数的定义域为. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．和y＝ B．和y＝ C．和 D． 和 【答案】D 【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同判断. 【详解】A. 的定义域为R，的定义域为，二者定义域不同， 二者不表示同一个函数，故错误； B. 和对应关系不同，二者不表示同一个函数，故错误； C. 和对应关系不同，二者不表示同一个函数，故错误； D.，定义域为，则， ，定义域为，则，定义域以及对应关系均相同，二者表示同一函数，故正确； 6．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 7．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令求出，由题中所给等式通过取特殊值可分别求出、，相加即可. 【详解】令，得，解得， 令，得，所以， 由题意知，所以， 所以. 二、多选题 8．（26-27高一上·全国·课后作业）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 【答案】AD 【详解】选项A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系； 选项B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； 选项C，中元素的倒数没有意义，在集合中没有元素与之对应，因此不是函数关系； 选项D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【详解】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 10．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 【答案】ACD 【分析】根据表格中的数据得到函数和，然后依次判断即可. 【详解】对于A，由表格可知，，，故A正确； 对于B，函数的定义域是． 则当时，； 当时，； 当时，． 所以函数的值域为，故B错误； 对于C，当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 综上，方程的解集为，故C正确； 对于D，，，，，，， ∴满足的值为，故D正确． 11．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】AC 【详解】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，. 对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确； 对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误； 对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，， 所以，故 C正确； 对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个， 不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D， ，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 三、填空题 12．（26-27高一上·海南·期中）已知函数则____. 【答案】2 【详解】因为，所以， 又，所以， 13．（26-27高一上·北京·期中）在函数中，若，则的值是______________________ 【答案】 【分析】通过分段讨论，分别解一次方程、二次方程即可. 【详解】由题意可得或或. 解得或. 所以若，则的值是. 14．（26-27高一上·全国·课堂例题）设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 【答案】 【详解】法一：由已知条件得， 又， 令，则， 所以. 法二：令，得， 即， 将用代换得. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，表示不大于的最大整数，例如，，则使得成立的的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意，根据所给的定义可将转化为，解此绝对值不等式即可求出的取值范围 【详解】由题意，则 或 解得或 所以使成立的的取值范围是. 四、解答题 16．（26-27高一上·广东·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【答案】(1) ； (2)2或0 (3)图象： 【详解】（1）由，知. （2）由于， 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍） 综上可得或0 （3）根据分段函数解析式，分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数在区间内的图象如下所示： 17．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 18．（26-27高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 19．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，，其中. (1)证明：； (2)若函数的最大值为，求的值. 【答案】(1)证明：易知的定义域为，要证明，只需证，只需证， 只需证，只需证，该式显然成立， 当且仅当时等号成立，故. （2）易知， 令， 由题意可知的最大值为， 则，所以， 而，故，即， 从而， 因为，当且仅当时等号成立， 由（1）知，当且仅当时等号成立， 故的值域为，故的值域为， 令，则， 令，则， 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 故的值为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $