第3讲：集合的基本运算讲义【九大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集、全集与补集的概念及运算规则，通过九个题型构建从基础运算到综合应用、容斥原理实际问题、参数求解、Venn图分析及新定义问题的递进式学习支架。 该资料以“数学眼光”借助Venn图直观呈现集合关系，“数学思维”通过参数问题培养逻辑推理能力，“数学语言”以新定义题型发展符号表达与创新意识。例题与变式题结合助力课中分层教学，多样化练习题帮助课后查漏补缺，强化知识应用。

第3讲：集合的基本运算 题型一：交集的运算 2 题型二：并集的运算 3 题型三：补集的运算 3 题型四、交、并、补的综合运算 4 题型五：容斥原理实际应用 6 题型六、交、并、补的运算求集合或参数 7 题型七：Venn图求集合 9 题型八：集合的基本运算问题 10 题型九：集合新定义问题 12 知识点一：并集 知识点二：交集 考点三：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 题型一：交集的运算 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 题型二：并集的运算 【例2】．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三下·广东·阶段检测）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 题型三：补集的运算 【例3】．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知全集，集合，集合，则______________； 【变式1】．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知全集，集合，，或，那么阴影部分表示的集合为_____．    【变式2】．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设全集，，，则__________． 题型四、交、并、补的综合运算 【例4】．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 【变式1】．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 【变式2】．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 题型五：容斥原理实际应用 【例5】．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【变式2】．（25-26高一上·江苏南京·期中）某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A．10 B．12 C．17 D．18 题型六、交、并、补的运算求集合或参数 【例6】．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【变式1】．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【变式2】．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 题型七：Venn图求集合 【例7】．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 【变式1】．（24-25高一上·天津·阶段检测）已知全集，集合与集合的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合中元素的个数为______． 【变式2】．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合_________．    题型八：集合的基本运算问题 【例8】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式1】．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若且，求的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·云南怒江·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 题型九：集合新定义问题 【例9】．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【变式1】．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【变式2】．（24-25高一下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 一、单选题 1．（26-27高二上·山东日照·开学考试）集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知为全集，集合是的子集，若，则（　　） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（    ） A．29 B．31 C．39 D．41 6．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 9．（23-24高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 二、多选题 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（25-26高一上·广东梅州·期末）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（26-27高一上·全国·课后作业）全集，，，，，则________，________ 14．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 15．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 16．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 四、解答题 17．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 18．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 19．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 20．（25-26高一下·北京·期中）对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则称． (1)写出集合和； (2)取，，写出两个中的元素、，使得； (3)证明：对任意，存在，使得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲：集合的基本运算 题型一：交集的运算 2 题型二：并集的运算 3 题型三：补集的运算 3 题型四、交、并、补的综合运算 4 题型五：容斥原理实际应用 6 题型六、交、并、补的运算求集合或参数 7 题型七：Venn图求集合 9 题型八：集合的基本运算问题 10 题型九：集合新定义问题 12 知识点一：并集 知识点二：交集 考点三：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 题型一：交集的运算 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，，根据交集的定义求解即可． 【详解】集合，，所以． 【变式1】．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 【变式2】．（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合，再由交集的定义计算可得。 【详解】因为集合，又集合， 所以. 题型二：并集的运算 【例2】．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用集合的并集运算求解. 【详解】集合，，则 【变式1】．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义计算即可得到结果. 【详解】首先化简集合：已知，其中指正整数集，不等式两边平方得， 结合，可得的取值为1,2,3，即. 已知，根据并集的定义可得. 【变式2】．（25-26高三下·广东·阶段检测）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】由题意得，当时，无解；当时，即；当时，即；当时，即，故， 根据并集的概念可得，共6个元素. 题型三：补集的运算 【例3】．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知全集，集合，集合，则______________； 【答案】. 【分析】先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解. 【详解】全集，集合，则； 集合，则； 故答案为：. 【变式1】．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知全集，集合，，或，那么阴影部分表示的集合为_____．    【答案】 【分析】根据韦恩图知阴影部分为，再应用集合的交补运算求集合即可. 【详解】由图知，阴影部分为，而，又， 所以. 故答案为： 【变式2】．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设全集，，，则__________． 【答案】 【详解】由题可得，又， . 故答案为：. 题型四、交、并、补的综合运算 【例4】．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）易知，又， 所以； （2）易知或，； 因此或. 【变式1】．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 【答案】(1)，. (2)． 【分析】（1）利用集合并集、交集的定义求解即可； （2）利用补集、交集的定义求解即可. 【详解】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. （2）依题意：或，或， 所以． 【变式2】．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 题型五：容斥原理实际应用 【例5】．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 【变式1】．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 【变式2】．（25-26高一上·江苏南京·期中）某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A．10 B．12 C．17 D．18 【答案】D 【分析】先求出至少喜爱一项运动的人数，再计算两项运动都喜爱的人数，用喜爱篮球运动的人数减去两项都喜爱的人数即可. 【详解】总人数：38，喜爱篮球：23，喜爱乒乓球：12，两项都不喜爱：8， 所以至少喜爱一项运动的人数为， 所以两项运动都喜爱的人数为， 所以只喜爱篮球不喜爱乒乓球的人数为. 故选：D 题型六、交、并、补的运算求集合或参数 【例6】．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式1】．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】{或} 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 题型七：Venn图求集合 【例7】．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 【答案】 【详解】当时，，得，不符合； 当时，，得； 当时，，得，不符合， 故， ，， 则阴影部分表示在集合中，但不在集合中的元素构成的集合，即. 故答案为： 【变式1】．（24-25高一上·天津·阶段检测）已知全集，集合与集合的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合中元素的个数为______． 【答案】3 【分析】由图形可以看出，阴影部分所示的集合是，故先化简两个集合，即可求解. 【详解】由题意， 故，集合有3个元素， 故答案为：3 【变式2】．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合_________．    【答案】 【分析】根据集合的新定义求出，再根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】由题意可知，故， 又，是偶数， 故， 故答案为： 题型八：集合的基本运算问题 【例8】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； （2），或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 【变式1】．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用并集的概念和运算法则计算求出，先求出，再利用交集的运算法则计算； （2）利用已知条件得出，，进而列不等式求解． 【详解】（1）当时，集合， 已知集合， ， 或， ． （2）已知且，故，， ，解得， ，故，解得， ，即的取值范围为． 【变式2】（25-26高一上·云南怒江·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2). 【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或； （2）由可得，解得，所以实数的取值范围是． 题型九：集合新定义问题 【例9】．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 【变式1】．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1) 设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. (2)，或. (3) 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）略 （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 【变式2】．（24-25高一下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【答案】(1)，. (2) (3) 若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 【详解】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）略 一、单选题 1．（26-27高二上·山东日照·开学考试）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此，又，因此. 2．（26-27高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，则. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知为全集，集合是的子集，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故，如图所示， 由图可知BD错误， 又，故A错误，C正确. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知，则. 5．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（    ） A．29 B．31 C．39 D．41 【答案】A 【详解】依题意，两类改造均完成的企业数量为. 6．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 7．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 8．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 9．（23-24高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 二、多选题 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 12．（25-26高一上·广东梅州·期末）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】准确理解集合的新定义，结合元素与集合的关系、集合间的关系求解即可. 【详解】选项A：根据函数的定义，当时，. 已知集合，因为，所以，A正确； 选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误； 选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于， 所以，所以，C错误； 选项D：，， 所以，而， 所以，D正确. 故选：AD 三、填空题 13．（26-27高一上·全国·课后作业）全集，，，，，则________，________ 【答案】 【详解】法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知，． 法二：∵， ∴． 又， ∴． ∵，， ∴． 14．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 15．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 16．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【答案】8 【分析】根据给定条件，从1开始依次取值讨论求解. 【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 四、解答题 17．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，可得，， 所以，. （2）分两种情况： ①当时，可得，解得，满足； ②当时，可得，解得， 综上所述，. 18．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 19．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 20．（25-26高一下·北京·期中）对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则称． (1)写出集合和； (2)取，，写出两个中的元素、，使得； (3)证明：对任意，存在，使得． 【分析】（1）根据集合与的公式，写出集合和即可； （2）设，由题意可得，由此可得出两个满足题设条件的元素、； （3）任取，设，令，只需证明，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意得，． （2）设，由以及可得， 故满足题设条件的两个元素可以为，. (3) 对任意，设， 则、、、均为非负整数，且． 令，则， 所以，且． 2 学科网（北京）股份有限公司 $