3.2.1 单调性与最大（小）值教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 课程：高中数学 教材：高中数学人教A版必修 第一册 章节：3.2.1 单调性与最大（小）值 教材分析 本节课从初中函数图象的直观感知出发，借助 的具体例子，由形入数，用 且 时 或 的符号语言严格定义单调性，并自然引出最值概念；教学过程遵循“直观观察—具体分析—抽象定义—一般概括”的认知路径；本节与前一节函数概念及后续导数判断单调性、函数极值等内容紧密衔接；通过强化区间意识、逻辑量词运用和数形转化，提升学生数学抽象与逻辑推理能力，为利用导数研究函数性质奠定概念基础。 学情分析 初中阶段学生已通过图象直观认识了函数的增减性，掌握了二次函数 等基本函数的图象特征与变化趋势，具备用“描点法”作图及从图象中读取函数变化规律的能力；进入高中，学生抽象思维逐步发展，但对用精确的符号语言（如 ， ）刻画单调性仍显生疏，逻辑严谨性与区间意识有待强化；本节课要求学生在已有直观经验基础上，实现从“图象观察”到“代数定义”的跨越，理解单调性与单调区间的严格数学表述，初步建立函数性质研究的逻辑框架，为后续学习函数最值、导数及复杂函数性质分析奠定关键基础。 教学目标 1. 理解函数单调性的概念，能用符号语言刻画函数值随自变量增大而增大或减小的性质，达到数学抽象核心素养水平一的要求。 2. 掌握用定义判断或证明函数在指定区间上的单调性，能进行逻辑推理与代数运算，达到逻辑推理和数学运算核心素养水平一的要求。 3. 理解函数最大值、最小值的概念，能在具体情境中识别并确定函数的最值，达到数学抽象和数学运算核心素养水平一的要求。 重点难点 教学重点：函数单调性的定义及符号语言表述，判断简单函数在给定区间的单调性；函数最值的定义与存在条件。 教学难点：准确理解“任意”与“存在”在单调性与最值定义中的逻辑含义，区分单调区间与定义域整体单调性的关系。 课堂导入 课堂导入 同学们，咱们先来做个生活小观察：夏天喝冰饮时，随着时间推移，冰饮温度随时间升高而上升；而冬天的热水，温度随时间增加而下降。 其实数学里也有类似的“变化趋势”。比如咱们熟悉的一次函数 ，当 时， 越大 越大； 时， 越大 越小。这种函数值随自变量变化的增减规律，就是今天要深入探究的函数的单调性，咱们还要由此延伸学习函数的最值问题。 函数的单调性 探究新知 （一）知识精讲 在初中阶段，我们已经借助函数图象直观认识了函数值随自变量变化而增大或减小的趋势，这种趋势称为函数的单调性。进入高中，我们需要用更精确的符号语言来刻画这一性质，使描述具有逻辑严谨性和普适性。 以二次函数 为例，其图象是一条开口向上的抛物线： 观察图象可知： · 在 轴左侧（即区间 ），图象从左到右呈“下降”趋势，即当自变量 增大时，函数值 反而减小； · 在 轴右侧（即区间 ），图象从左到右呈“上升”趋势，即当自变量 增大时，函数值 也随之增大。 用符号语言严格表述如下： 任取 ，若 ，则有 ，此时称函数 在区间 上是单调递减的； 任取 ，若 ，则有 ，此时称函数 在区间 上是单调递增的。 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ： · 如果对任意 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增（如图3.2-3(1)）； · 如果对任意 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递减（如图3.2-3(2)）。 特别地： · 当函数 在其整个定义域 上单调递增时，称 为增函数； · 当函数 在其整个定义域 上单调递减时，称 为减函数。 如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，则称函数 在该区间上具有（严格的）单调性，区间 称为函数 的单调区间。 （二）师生互动 教师：我们刚才用 说明了如何从图象特征过渡到符号语言描述单调性。现在请大家思考：如果把函数换成 ，它的图象与 有什么关系？你能类比刚才的过程，说出它在哪些区间上单调递增、哪些区间上单调递减吗？ 学生：图象关于 轴对称，开口向下；在 上应是上升的，在 上应是下降的。 教师：很好！那能否像刚才一样，用“任意取 ”的方式，写出 在 上单调递增的符号表达？ 学生：任取 ，若 ，则 。 教师：非常准确。再想一想：定义中强调“任意”两个自变量，这个“任意”为什么不能省略？如果只取某一对 满足不等式，是否足以说明函数在这个区间上具有单调性？ 学生：不行，比如可能只在某些点满足，但中间有波动；必须对区间内所有可能的 都成立，才能保证整体趋势一致。 教师：对，这正是数学定义中“全称量词” 的作用——它确保了性质的普遍性与确定性。 （三）设计意图 本部分内容紧扣学生已有的函数图象直观经验，通过具体函数 的分析，自然引出单调性的符号化定义，实现从感性认识到理性抽象的过渡；知识目标聚焦于理解单调递增、单调递减的严格定义及其语言表述形式，强调“任意性”与“区间性”两个关键要素；能力培养上注重学生由图象语言向数学符号语言转化的逻辑表达能力，以及对全称命题结构的初步辨析能力；学习方式体现“观察—归纳—抽象—验证”的认知路径，符合高中生思维发展的阶段性特征；价值导向在于引导学生体会数学定义的精确性与必要性，理解“为什么需要这样定义”，从而建立对数学语言严谨性的尊重与认同。 新知应用 例1题目： 根据定义，研究函数 的单调性。 解答： 我们严格按照函数单调性的定义来分析： 设函数 的定义域为 ，区间 。若对任意 ，当 时，总有 ，则称 在 上单调递增；若总有 ，则称其在 上单调递减。 第一步：明确定义域 函数 是一次函数，定义域为全体实数： 第二步：任取两个自变量，设 ，计算差值 取任意 ，且满足 ，则： 由于 ，所以 。因此差值符号完全由系数 决定： · ① 当 时： ， ，故 ， 即 ，所以 。 满足单调递增定义，故 在 上是增函数。 · ② 当 时： ， ，故 （负×负=正）， 即 ，所以 。 满足单调递减定义，故 在 上是减函数。 结论： 一次函数 在整个定义域 上具有严格单调性： · 斜率 ，故 全局单调递增； · 斜率 ，故 全局单调递减。 总结： 1.题目考查内容 ① 函数单调性的严格定义及其符号化表达； ② 用“作差法”（即考察 的符号）判断单调性的基本逻辑； ③ 一次函数的图象特征（直线）与代数性质（斜率决定升降趋势）的统一理解。 2.题目求解要点 ① 必须明确“任意性”：取 且仅设 ，不赋予具体数值； ② 作差化简是核心步骤：消去常数项 ，凸显斜率 对函数变化方向的决定作用； ③ 分类讨论不可遗漏：因 ，必须分 和 两种情形，分别推导不等号方向； ④ 结论需对应定义：最终必须回归到“ （或 ）”这一形式，体现严谨性。 例2题目： 物理学中的玻意耳定律 （ 为正常数）告诉我们，对于一定质量的气体，当温度不变时，体积 减小，压强 将增大。试对此用函数的单调性证明。 解答： 本题本质是：证明反比例函数 在 上是减函数，从而说明 越小， 越大。 第一步：确定定义域与函数形式 由物理意义知，体积 ，故定义域为： 函数为 ，其中 （题设“正常数”）。 第二步：任取 ，且 ，作差分析 计算： 第三步：判断差值符号 · ， ，故 ； · ，故 ； · （题设）； ，故 分子 ，分母 ， 所以 整个分式 ， 即： 第四步：依据定义下结论 对任意 ，都有 ， 所以 函数 在区间 上单调递减。 即：体积 增大时，压强 减小；反之， 减小时， 增大 —— 与玻意耳定律一致。 总结： 1.题目考查内容 ① 单调性定义在实际背景函数（反比例函数）中的应用； ② 数学建模能力：将物理规律（ ）转化为数学命题（证明减函数）； ③ 分式函数的符号分析（分母正性、分子差值方向、常数正负）。 2.题目求解要点 ① 定义域必须从实际意义出发：气体体积 ，不可取 或含 0 区间； ② 通分是关键变形技巧：将两个分式差化为单一分式，便于整体判号； ③ 每一步符号依据要写清：如“ ”，体现逻辑严密性； ④ 结论需回扣题干：不仅说“是减函数”，更要说明“因此 减小时 增大”，完成数学到物理的闭环解释。 例3题目： 根据定义证明函数 在区间 上单调递增。 解答： 我们要严格依据单调递增定义：对任意 ，若 ，则需证 ，即 。 第一步：设元并作差 令 ，且 ，则： 第二步：通分合并 所以： （注：也可直接写为教材形式 ，二者等价） 第三步：逐项判断符号 已知 ， ，且 ： · ； · ，故 ； · ， ，故 ； 所以 分母 ，分子部分 （负 × 正 = 负）， 整个分式： 即： 第四步：下结论 对任意 ，当 时，恒有 ， 所以 函数 在区间 上单调递增。 总结： 1.题目考查内容 ① 复合函数（一次函数 + 反比例函数）在限定区间上的单调性证明； ② 代数恒等变形能力（通分、提取公因式、因式分解）； ③ 区间限制对符号判断的关键影响（如 ）。 2.题目求解要点 ① 作差后必须化为乘积或商形式：便于分步判断各因子符号，避免展开后符号混乱； ② 区间条件要充分使用：本题中 不仅保证分母不为 0，更关键的是推出 ，使 ； ③ 不能跳过“任意性”说明：必须强调“对任意 且 ”，体现定义的普适性； ④ 注意定义域与单调区间的一致性：该函数在 上实际单调递减，在 上也递减，但本题只研究 ，不可扩大结论。 新知巩固 题目： 第1题：函数 若对任意 且 ，都有 成立，则实数 的取值范围为（  ） A．  B．  C．  D． 解答： 条件 等价于：对任意不相等的实数 ，函数值的改变量与自变量的改变量异号，即： · 若 ，则 ； · 即： 在整个实数集 上严格单调递减。 因此，本题本质是：求使分段函数 在 上严格单调递减的实数 的取值范围。 我们分三步分析： 第一步：分析各段的单调性要求 · 当 时， 是二次函数，开口向上（二次项系数为 ），其图象为抛物线，在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。 对称轴为： 要使 在区间 上单调递减，必须保证该区间完全落在对称轴左侧，即： 解得： · 当 时， 是一次函数，斜率为 。 要使其在 上严格单调递减，需斜率 ： 第二步：保证分段点 处“不破坏递减性” 由于函数在 R 上整体严格递减，必须满足：对任意 ，都有 。特别地，取左段中无限接近 2 的 与 进行比较，需要左段在 x=2 处的代入值不小于右段函数值 f(2)（注意：因要求严格递减，分段点处只需左段代入值大于或等于右值；若两者相等，还需进一步验证整体是否仍严格递减，后面边界检验将处理该情形）。 先计算左右表达式在 处的函数值： · 左侧表达式（ ）在 处的值（代入计算，虽不定义于此，但用于比较）： · 右侧表达式（ ）在 处： 为保证整体严格递减，必须有： 即： 注意：此处必须是严格大于，因为若 ，则 ，此时对 、 ，有 但 ，需验证是否仍满足严格递减。 我们检验边界 是否可行： · 若 ，则： · 左段： ，对称轴 ，而区间是 ，显然在对称轴左侧，故 单调递减 · 右段：斜率 ，故 单调递减 · 分段点： ， ，相等。 此时是否仍满足“对任意 ， ”？ 注意：该条件等价于全局严格递减，即 。 若 ，取 ， ，由于左段严格递减， ，成立； 但关键看是否存在 使得 ？ 因左段在 严格递减，右段在 严格递减，且 ，则对任意 ，有： 所以仍满足严格递减。 因此 是可取的。 再检验 ： · 左段对称轴 ，即对称轴恰在 ，而左段定义域为 ，即整个左段位于对称轴左侧，故 仍单调递减（因开口向上，左侧递减） · 右段斜率 · 分段点： ， ，满足 · 且 满足 (1)(2)(3)： ， ， ，故 满足所有。 再验证 a=−1：左段 f(x)=−4x+3，开口向上，对称轴 x=2，区间 (−∞,2) 位于对称轴左侧，故左段严格递减；右段斜率 −a−5=1−5=−4<0，严格递减；分段点处，左段代入值 f(2)=a=−1，右段 f(2)=−2×(−1)−12=−10，满足 −1>−10，整体严格递减成立。所以 a=−1 可取。 综上，由 (1) ，(2) ，(3) ，得： 但前面已说明 可取，故应为： 验证选项：A． 总结： 1.题目考查内容 · 函数单调性的定义及其符号语言表述（差商 等价于严格单调递减）； · 分段函数在全体定义域上单调性的判定，需同时满足： （i）各段在其定义区间内单调递减； （ii）分段点处左段代入值不小于右值（严格递减要求左段代入值 > 右值，但若左段与右段各自严格递减且左段代入值 = 右值，整体仍可严格递减，需具体分析）； · 二次函数单调区间与对称轴位置的关系； · 一次函数单调性由斜率符号决定； · 不等式综合求解（含参数）。 2.题目求解要点 · 将差商条件转化为“ 在 上严格单调递减”； · 分别对 （二次函数）和 （一次函数）提出单调性约束： • 左段：开口向上，要在 递减 ，故 对称轴 ，故 ； • 右段：斜率 ，故 ； · 利用分段点连续性思想，比较左段在 的函数值与右段在 的函数值： ， ，要求 ，故 ； · 综合得 ； · 边界值需代入验证是否满足“全局严格递减”，确认闭区间成立。 3.同类型题目解题步骤 1. 转化条件：将给定不等式（如差商符号、图象升降趋势、或文字描述）准确转化为函数在某区间上的单调性类型（增或减，严格或非严格）； 2. 分段处理：对分段函数，分别写出每一段的表达式，判断其在对应区间内的单调性所需参数条件（如二次函数看开口与对称轴，一次函数看斜率）； 3. 衔接分析：在分界点处，计算左段代入值与右段起点函数值，建立不等式确保单调性不被破坏（左段最大值 ≥ 右段最小值；严格单调则通常要求左段代入值 > 右段起点函数值）； 4. 联立求解：将所有参数不等式联立，解出参数范围； 5. 边界检验：代入端点值，验证是否满足原题条件（尤其是“严格”性要求），确定区间开闭。 函数的最值 探究新知 （一）知识精讲 我们先观察本节的图3.2-2，可以发现，二次函数 的图象上有一个最低点 ，即 ，都有 。当一个函数 的图象有最低点时，我们就说函数 有最小值。 一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足： (1) ，都有 ； (2) ，使得 。 那么，我们称 是函数 的最大值（maximum value）。 类似地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足： (1) ，都有 ； (2) ，使得 。 那么，我们称 是函数 的最小值（minimum value）。 需要特别注意：函数的最大值（或最小值）一定是函数值，必须是定义域中某个自变量对应的实际函数值；同时，它必须是整个定义域上所有函数值的上界（或下界），且这个界能够取到。例如，函数 在 上的最小值是 ，因为对任意 ，都有 ，且当 时， ，满足定义中的两个条件。而函数 在区间 上没有最小值，因为虽然 恒成立，但 并不是函数值，且不存在 使得 ；同样，它也没有最大值，因为当 时， ，无上界。 （二）师生互动 教师：我们刚才明确了最大值和最小值的定义，强调了“存在性”和“不等式恒成立”两个条件缺一不可。那么，请大家思考：若函数 在定义域 上满足“ ，都有 ”，能否说明 的最大值是 ？为什么？ 学生：不能。因为 没有被函数取到，不满足定义中的第二条——“存在 ，使得 ”。 教师：很好。再换一个问题：函数 在开区间 上有没有最大值？有没有最小值？请结合定义说明理由。 学生：没有最大值，也没有最小值。因为在 中，无论取多接近 的数 ，总存在更大的 仍在区间内，使得 ；同理，总存在更小的 使 ，所以既无最大值也无最小值。 教师：非常准确。这说明——定义域的“开闭性”可能直接影响最值的存在性。那么，如果把区间改成闭区间 呢？ 学生：此时 是最小值， 是最大值，因为端点属于定义域，函数在端点处取到边界值，且满足定义的两个条件。 （三）设计意图 本环节聚焦函数最值的概念建构，以学生熟悉的二次函数图象为认知起点，通过直观观察引出“最低点”“最高点”的生活化表述，再自然过渡到严格数学定义，体现从具体到抽象、从感性到理性的认知规律；定义采用“存在性+全域不等式”的双重条件表述，强调最值必须既是上（下）界，又必须可取到，避免学生将“上界”与“最大值”混淆；师生互动围绕定义的关键要素设置阶梯式问题，引导学生辨析“能取到”与“无限接近”的本质区别，发展逻辑辨析与数学表达能力；通过开区间与闭区间的对比，渗透定义域对函数性质的决定性影响，培育严谨的数学思维习惯和实事求是的科学态度；整个过程立足课标要求，不引入导数、极值等后续内容，严格限定在函数概念与基本性质的认知范围内，确保知识的适切性与基础性。 新知应用 例4题目： “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度 （单位：m）与时间 （单位：s）之间的关系为 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到 1 m）？ 解答： 这是一个典型的实际问题中求二次函数最大值的问题。 函数 是定义在 （时间非负）上的开口向下的二次函数（因为二次项系数 ），其图象是一条抛物线，顶点为最高点，对应烟花上升过程中的最大高度。 我们利用二次函数顶点坐标公式求解： 对于一般形式 （其中 ），其图象的顶点横坐标为 本题中， ， ，代入得： 即烟花爆裂的最佳时刻为 。 再将 代入原函数，求此时高度： 先计算各部分： · ， · ， · ， · 所以 四舍五入精确到 1 m，得 。 （注：也可用顶点纵坐标公式 验证： 结果一致。） 因此，烟花冲出后 1.5 秒 是它爆裂的最佳时刻，此时距地面高度约为 29 米。 总结： 1.题目考查内容 ① 二次函数图象与性质（开口方向、顶点意义）； ② 函数最值的实际应用（物理情境中的最大高度问题）； ③ 利用顶点公式求二次函数最大值（或最小值）的运算能力。 2.题目求解要点 ① 明确函数模型： 是关于时间 的二次函数，且 ，故存在最大值，出现在顶点处； ② 正确写出顶点横坐标公式 ，代入数值不跳步、不漏符号； ③ 代入求值时注意运算顺序与小数精度，最终按题目要求“精确到 1 m”作四舍五入； ④ 理解数学结果的实际意义： 表示时间点， 表示该时刻离地高度，二者共同构成最优爆裂方案。 例5题目： 已知函数 ，定义域为 ，求该函数在区间 上的最大值和最小值。 解答： 本题要求闭区间上函数的最值，但函数不是二次函数，不能直接用顶点公式。需先分析其单调性——这是求连续函数在闭区间上最值的关键方法（依据：单调函数在闭区间端点处取得最值）。 第一步：判断函数在 上是否单调。 任取 ，且 ，计算差值： 通分整理： 由于 ，所以： · （分子为正）， · ， ，故分母 。 因此，整个分式 ，即 这说明：当 时， ，即函数在 上严格单调递减。 第二步：利用单调性确定最值位置。 · 单调递减函数在左端点 处取得最大值， · 在右端点 处取得最小值。 计算端点函数值： · ， · 。 因此，函数 在区间 上： · 最大值为 （在 处取得）， · 最小值为 （在 处取得）。 总结： 1.题目考查内容 ① 分式函数在闭区间上的最值求法； ② 利用定义法（作差法）证明函数单调性； ③ 单调函数在闭区间上最值必在端点取得的性质应用。 2.题目求解要点 ① 明确定义域限制：虽然 在 处无定义，但本题限定在 ，该区间内函数连续、无间断，可直接研究单调性； ② 作差比较 是判断单调性的基本方法，必须完整写出通分、化简、符号判断三步； ③ 单调性结论要明确表述为“在 上严格单调递减”，不可省略“严格”或区间范围； ④ 最值结果需注明“在何处取得”，体现数学表达的完整性（如“最大值为 2，在 处取得”）。 新知巩固 题目：已知函数 。（1）若 f(x) 在区间 (−∞,2] 上单调递减，求实数 a 的取值范围；（2）若 f(x) 在区间 [0,2] 上的最小值为 1，求实数 a 的值。 解：f(x)=−2ax+2 的图象是开口向上、对称轴为 x=a 的抛物线，其在 (−∞,a] 上单调递减，在 [a,+∞) 上单调递增。 （1）要使 f(x) 在 (−∞,2] 上单调递减，区间 (−∞,2] 必须完全落在对称轴左侧，即 2≤a，故实数 a 的取值范围为 [2,+∞)。 （2）按对称轴 x=a 与区间 [0,2] 的位置关系分三类讨论： ① 当 a<0 时，对称轴在区间左侧，f(x) 在 [0,2] 上单调递增，最小值为 f(0)=2≠1，不合题意； ② 当 0≤a≤2 时，对称轴在区间内，最小值为 f(a)=2−。令 2−=1，得 =1，即 a=1 或 a=−1，结合 0≤a≤2 取 a=1； ③ 当 a>2 时，对称轴在区间右侧，f(x) 在 [0,2] 上单调递减，最小值为 f(2)=6−4a。令 6−4a=1，得 a=，与 a>2 矛盾，舍去。 综上，实数 a 的值为 1。 总结：①二次函数在给定区间上的单调性与最值由开口方向与对称轴位置共同决定；②判断单调区间时，比较区间端点与对称轴的位置；③求区间最值时，若对称轴在区间内，最小值在对称轴处取得，否则在端点取得；④含参数问题按对称轴与区间的位置关系分类讨论，必须不重不漏，最后逐一检验。 板书设计 一、单调性 二、典型示例 三、函数的最值 递增：当 时， 递减：当 时， 单调区间是定义域的子集 在 (−∞,0] 上递减 在 [0,+∞) 上递增 增函数：整个定义域上递增 减函数：整个定义域上递减 最小值：存在 ，对任意 x 都有 f(x)≥f() 最大值：存在 ，使 f(x)≤f() 最值必须是能取到的界 教学反思 本节课先通过回顾初中函数单调性的直观认识，以 的图象为依托，引导学生将直观的增减性转化为符号语言描述，进而抽象出单调递增、单调递减及单调区间的定义，再结合图象引出函数最值的概念并给出定义。本节课基本完成了教学任务，多数学生能理解单调性与最值的概念。成功之处在于从直观图象过渡到符号语言，符合学生认知规律，帮助学生完成从感性到理性的认知升级；不足之处在于对定义中“ ”的强调不够深入，部分学生对单调性定义的严谨性理解不到位，且对函数最值与单调性的关联挖掘不足。 课前任务 1.知识回顾 上节课我们学习了函数的概念、定义域与值域，以及函数的图象表示法。请回顾：如何通过图象判断函数值随自变量变化的趋势？举例说明一次函数 和反比例函数 在不同区间上的升降特征。 参考答案：观察图象从左到右呈上升趋势还是下降趋势即可判断。y=2x+1 的图象是一条上升的直线，在 R 上函数值随 x 增大而增大；y= 的图象有两支，在 (−∞,0) 与 (0,+∞) 上函数值都随 x 增大而减小（但在整个定义域上不具有单调性）。 2.预习教材 阅读教材“函数的单调性”与“函数的最值”部分，重点关注：①用符号语言定义单调递增、递减；②区间 的限定意义；③最小值定义中“ ”与存在性条件。在课本图3.2-2旁标注 的单调区间及最低点坐标。 参考答案要点：①单调递增（递减）用符号语言刻画：当 时，都有 （或 ），其中两个自变量是区间内任意取的；②单调区间是定义域的子集，表示函数可能只在部分区间上具有单调性；③标注结果：f(x)= 在 (−∞,0] 上单调递减，在 [0,+∞) 上单调递增，最低点坐标为 (0,0)。 3.问题思考 为什么 在 上单调递减，却不能说在整个定义域 上单调？若函数在某区间既有最大值又有最小值，它一定具有单调性吗？请结合 在 上的图象思考。 参考答案：因为 f(x)= 在 (−∞,0] 上单调递减、在 [0,+∞) 上单调递增，两段变化趋势相反，在整个定义域 R 上既不满足递增定义也不满足递减定义，所以不能说它在整个定义域上单调；有最大值和最小值也不一定具有单调性，例如 y=sinx 在 [0,2π] 上有最大值 1、最小值 −1，但它先增后减再增，不具有单调性。 课堂练习 第1题 【题文】函数 的图象大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 第2题 【题文】已知函数 f(x)=+1，其图象关于 y 轴对称，且在 [0,+∞) 上单调递增。若 ，则实数 x 的取值范围为（　　） A．(−∞,)　　B．(−∞,4)　　C．(,4)　　D．(−∞,)∪(4,+∞) 【答案】C 【解答】由 f(x)=+1 的图象关于 y 轴对称，且在 [0,+∞) 上单调递增，可知 f(2x−3)<f(1+x) 等价于 |2x−3|<|1+x|。两边平方得 ，展开整理得 ，解得 <x<4。故选 C。 第3题 【题文】已知函数 f(x) 是定义在 [−2,+∞) 上的增函数，且 ，则实数 x 的取值范围是（　　） A．(,3)　　B．[,3)　　C．(−2,3)　　D．(−∞,3) 【答案】B 【解答】由 f(x) 在 [−2,+∞) 上单调递增，f(2x−1)<f(x+2) 等价于两个自变量都在定义域内且 2x−1<x+2，即 2x−1≥−2，x+2≥−2，且 2x−1<x+2，解得 x≥−，x≥−4，且 x<3。取交集得 −≤x<3。故选 B。注意：不能忽略定义域限制，否则易误选 D。 学科网（北京）股份有限公司 $