第11讲 单调性与最大（小）值（3大知识点+9大题型）讲义-2026年新高一数学暑期衔接进阶讲义（人教A版）

第11讲 单调性与最大（小）值 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、函数的单调性 3 知识点二、基本初等函数的单调性 6 知识点三、函数的最大（小）值 6 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：单调性的基本概念 7 题型 2：函数单调性的证明 9 题型 3：求函数的单调区间 12 题型 4：由单调性求参数取值范围 14 题型 5：利用单调性解不等式 17 题型 6：利用单调性比较函数值大小 20 题型 7：求函数的最值 22 题型 8：抽象函数单调性的证明 25 题型 9：二次函数闭区间上的最值 30 04 过关测试 35 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型 1：单调性的基本概念 例1．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 【答案】B 【解析】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 例2．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得在上单调递增，故 例3．（2026·高一·黑龙江大庆·期中）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 变式1．（2026·高三·江苏扬州·期中）“，当时，都有”是“，都有”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】，当时，都有，则在单调递增，所以； 反之，都有，不能得到在单调递增， 例如，该函数在上单调递减，在上单调递增，， 显然满足，但在上不单调递增； 所以“，当时，都有”是 “，都有”的充分且不必要条件. 故选：A 变式2．（2026·高三·江苏南通·开学考试）设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】首先，若，则函数必定不是减函数，所以“不是减函数”，所以“”是“不是减函数”的充分条件； 其次，若不是减函数，则至少存在一组，使得，但并不一定是，这一组. 比如，在上单调递减，在上单调递增，所以函数不是减函数，但是,所以“不是减函数”不能推出“”，即“”不是“不是减函数”的必要条件. 故“”是“不是减函数”的充分不必要条件. 故选：A 变式3．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 题型 2：函数单调性的证明 例4．（2026·高一·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【解析】设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 例5．（2026·高三·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【解析】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. 例6．（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 变式4．（2026·高一·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 【解析】（1）当时，函数， 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此的最小值为4. （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明如下： ，，且， 有. 由，，得，，所以， 又由，得，所以. 若，则，所以， 即，所以在上单调递增； 若，当，时，，所以， 即，所以在上单调递减； 当，时，，即， 即，所以在上单调递增. 故当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 变式5．（2026·高一·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 题型 3：求函数的单调区间 例7．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 例8．（2026·高一·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【解析】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 例9．（2026·高一·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【解析】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 变式6．（2026·高一·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【答案】C 【解析】对于A，由函数的图象，可得在上单调递减，所以A错误； 对于B，由函数的图象，可得在上的值域是，所以B错误； 对于C，由函数的图象，可得在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数的图象，可得在上的最大值是，所以D错误. 故选：C. 变式7．（2026·高一·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，画出图象， 观察可知在和上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 变式8．（2026·高一·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 题型 4：由单调性求参数取值范围 例10．（2026·高一·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 例11．（2026·高一·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【解析】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 例12．（2026·高一·山西太原·期末）函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数满足对且，都有， 可得函数在上单调递增，因此， 解得，则实数的取值范围是. 故选：D 变式9．（2026·高一·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 变式10．（2026·高一·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 变式11．（2026·高一·湖北襄阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数一定不可能为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【解析】当时，， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增； 当时，， 是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的增区间为和，减区间为. 若在上单调递减，则，无解； 若在上单调递增，则或， 解得或. 故选：D 变式12．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的对称轴为， 依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C 题型 5：利用单调性解不等式 例13．（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 例14．（2026·高一·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 例15．已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 即或， 解得或，所以解集为． 故选：C． 变式13．（2026·高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可知恒成立，恒成立， 由是定义在上的减函数，且， 可得，解得． 故选：C. 变式14．（2026·高一·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为或或， 即或. 故选：C 变式15．（2026·高一·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以两边同时除以，得到， 又，则在上单调递增，又，则， 由，得到， 即或，所以， 则，解得，又或， 所以或，故D正确. 故选：D. 变式16．（2026·高一·陕西·阶段检测）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，，都有， 令，当时，， 则在定义域内单调递增， 又，则， 又，变形得，即， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 题型 6：利用单调性比较函数值大小 例16．若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递减，且， 所以. 例17．已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取，，且，设，， 由，得， 即，所以， 所以在上为减函数， 因为，所以，即. 故选：C. 例18．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 变式17．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 变式18．已知在上是减函数，，且，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，得到． 在上是减函数， ， ，故选D． 变式19．已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 题型 7：求函数的最值 例19．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数． (1)判断函数单调性并证明； (2)求函数的值域； (3)设，，，求函数的最小值． 【解析】（1）函数在上单调递增； 证明：任取且， ， ， ， ，即， 函数在上单调递增． （2）函数在上单调递增， ， 的值域为． （3）令，由（2）可知， ， ，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，函数在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值， 即； 当时，函数在上单调递减，． 综上，函数的最小值． 例20．（2026·高一·上海·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【解析】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 例21．（2026·高一·浙江·期中）已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 【解析】（1）时，，即，整理得， 当时，， 当时，由，得， 解得，且， 综上，，则的值域是. （2）且， 当时，即时， 函数在区间上单调递增，此时； 当时，即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 综上所述： 变式20．函数的值域为_________ 【答案】 【解析】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 变式21．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 变式22．（2026·高一·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】设， 当时，，即函数在上的值域为， 要使得函数的值域为，则该函数在上的值域包含， 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，， 所以函数在上的值域为， 由题意可得，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型 8：抽象函数单调性的证明 例22．（2026·高一·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 例23．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【解析】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 例24．已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 【解析】（1）在上单调递减，证明如下， 令，，，且， 则， 因为，所以，，即，， 所以在上单调递减． （2），即， 即为，即为， 即为. 因为在上单调递减， 所以，即， 则，解得， 所以不等式的解集为． 变式23．（2026·高一·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 【解析】（1）取，由②得，， ∴. 又由①得， 由②得，. （2）设， 则根据条件③，得， ∴在上单调递增. （3）根据满足的条件②及， 由得，， ∴根据为增函数得：， 再由的定义域，便得到不等式组 解得， ∴的取值范围为. 变式24．（2026·高一·河南·期末）已知函数的定义域为，对任意的正实数，都有，且当时，，. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，得，解得． 令，得， 所以， 所以． （2）设，，且，则， 由题意得，则， 所以，即， 所以在上单调递增． （3）由，， 可得． 因为在上单调递增，且， 所以，即． 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 其值域为，所以实数的取值范围为． 变式25．（2026·高一·陕西渭南·期末）澄城县某中学数学兴趣小组研究一个定义在区间的函数；发现他们满足两个条件：①对于任意的，都有；②时， (1)的值为多少 (2)证明：在上是增函数 (3)设；解不等式． 【解析】（1）令，得，解得：； （2）任取，，而且． 由①得．，； 又因为，，所以，则．因此． 由②得． 在递增 （3），得， 当，，左边，不满足 当（且）则； 所以 当，则，不满足 综上：不等式的解集为． 题型 9：二次函数闭区间上的最值 例25．（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【解析】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 例26．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 【解析】（1）（ⅰ）由题意得， 由题可知对称轴， 所以，， 所以在区间上的最大值是， 所以，即， 所以的解析式为. （ⅱ）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为 ①当时，即时，在上单调递减， 此时的最小值为， ②当时，在上单调递增， 此时的最小值为， ③当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时的最小值为， 综上，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 当时，的最小值为. （2）令，则，所以， 因为对任意，恒成立，所以恒成立， 所以， ， 所以，此时， 所以，当，，时取等号， 此时，成立， 即成立， 故的最大值为. 例27．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 【解析】（1）当时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. （2），开口向上，对称轴为， 所以，当时，在上单调递增，故，解得，满足； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故，即，方程无解； 当时，在上单调递减，故，解得，不满足； 综上，当时，函数在上的最小值为2. 变式26．（2026·高一·青海·期中）已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最大值 【解析】（1）设二次函数， 则，， 故由，得， 所以， 即得，故，即， 故； （2）由题意得，， 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 当，即时，； 当，即时，； 故. 变式27．（2026·高一·福建莆田·期中）已知函数． (1)若，求该函数在上的最大值和最小值； (2)求该函数在上的最小值； (3)若该函数在区间上的最大值为4，求实数的值． 【解析】（1）当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 因为，所以当时，， 当时，，所以该函数在上的最大值为16，最小值为0. （2）函数，为开口向上，对称轴为的抛物线， 当，即时，在上单调递增， 所以最小值， 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以最小值， 当，即时，在上单调递减， 所以最小值， 综上， （3）当，即时，在上单调递增， 所以当时，，解得，不符合题意； 当，即时， 在单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 因为，所以， 所以，解得，符合题意； 当，即时， 在单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 因为，所以， 所以，解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减， 所以当时，，解得，不符合题意； 综上，实数m的值为或. 变式28．（2026·高一·天津宁河·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； (3)若，求的最大值和最小值 【解析】（1）由，得； （2）由（1）可知，， 任取，则， ，，有，即， 所以在区间上单调递增. （3）由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以时，， . 1．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 2．（2026·高一·陕西西安·期中）使命题“”为假命题的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若命题“”为假命题， 则命题“”为真命题. 由，得，所以. 所以. 3．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知在上满足，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在上满足， 设，则，即在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 4．（2026·高一·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 5．（2026·高一·浙江杭州·期中）“函数在区间单调递增”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】函数，在区间单调递增，则，解得， 所以函数，在区间单调递增是的必要不充分条件. 6．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 【答案】D 【解析】当时，恒成立， 所以在上单调递减，由于的图象关于对称， 所以在上单调递增，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值，故D正确； 由于的图象关于对称，所以， 由于在上单调递减，所以，故B错误； 与的大小关系不确定，故A错误. 故选：D 7．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 8．（2026·高一·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 9．（多选题）（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 10．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期末）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C． D．不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】对于A选项：由题意，方程有两根为和2，且，A正确； 由韦达定理，，即. 对于B选项：， 因，故该函数在上单调递增，B错误. 对于C选项：因，且， 故，C正确； 对于D选项：，，则，则，解得，D正确. 故选：ACD 11．（多选题）（2026·高一·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】令，则，得， 故不是奇函数，故A错误； 任取，且，则， 则 ， 则，故在上单调递增，故B正确； 令，则， 则 ， 故C正确； 因为，所以， 故可化为， 因为在上单调递增，所以，得，故D正确. 故选：BCD 12．（多选题）（2026·高一·山东济南·阶段检测）已知函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时，在上单调递增 【答案】ABD 【解析】由题意，令，则，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误； 当时，在上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 13．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为， 所以，所以的单调递减区间为， 又在上单调递减，所以，所以， 解得. 14．（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【解析】（1）由函数过点，有， 解得， 所以的解析式为：． （2）证明：，且， ． 由，得． 则，即． 所以在区间上单调递增． （3）由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 15．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 【解析】（1）由题设， 当时，，则解集为， 当时，无解，则解集为， 当时，，则解集为； （2）由题设，其图象开口向上且对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，则最小值. 综上，. 16．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【解析】（1）若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 17．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数是定义在上的正值函数，且．，当时，恒有．求证： (1)函数在上单调递增； (2)，恒有成立． 【解析】（1）设，则． 所以， 所以，即函数在上单调递增． （2）设，则， 又在上单调递增，所以， 所以．所以， 18．已知定义在上的函数满足：①；②当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为减函数； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）令，代入得，故. （2）证明：任取，且，则，由于当时，， 所以，即，因此，所以函数在区间上是减函数． （3）因为函数在上单调递减，所以不等式等价于 ，解得，故原不等式的解集为. 19．（2026·高一·四川泸州·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数a的最大值； (2)当时． （i）求不等式的解集； （ii）若在上的值域为，求实数m的取值范围． 【解析】（1）函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为． 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若在上单调递增，则，即， 所以实数的最大值为； （2）当时，. （i）令，则，即，解得. 所以不等式的解集为； （ii）易知在上单调递减，在上单调递增，且，. 若在上的值域为，则. 当时，. 在上单调递减，所以在上的最小值为，最大值为，所以值域为，符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 若在上的值域为，则，即，即， 解得. 综上所述，实数m的取值范围为． 20．（2026·高三·黑龙江·阶段检测）已知函数，且，的最小值为． (1)求a，b的值； (2)记在上的最大值为，求的最小值． 【解析】（1）因为，， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 又的最小值为，所以 ，解得． （2）由（1）知，其图象的对称轴为直线， 因在上的最大值为， 则当，即时，； 当，即时，， 所以 当时，； 当时，（仅当时等号成立）， 所以的最小值为0． 21．已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 又，所以， 又所以，所以， 解得或（舍去），所以； （2）对于函数，它是二次函数，开口向下， 对称轴为， 因为在区间上是增函数，所以且； 对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的， 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增； 由在区间上是增函数，所以； 综上所述：实数k的取值范围为. 22．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【解析】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 23．（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【解析】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 24．（2026·高一·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 单调性与最大（小）值 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、函数的单调性 3 知识点二、基本初等函数的单调性 6 知识点三、函数的最大（小）值 6 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：单调性的基本概念 7 题型 2：函数单调性的证明 8 题型 3：求函数的单调区间 9 题型 4：由单调性求参数取值范围 10 题型 5：利用单调性解不等式 11 题型 6：利用单调性比较函数值大小 12 题型 7：求函数的最值 12 题型 8：抽象函数单调性的证明 13 题型 9：二次函数闭区间上的最值 15 04 过关测试 18 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型 1：单调性的基本概念 例1．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 例2．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·高一·黑龙江大庆·期中）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高三·江苏扬州·期中）“，当时，都有”是“，都有”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式2．（2026·高三·江苏南通·开学考试）设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 题型 2：函数单调性的证明 例4．（2026·高一·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 例5．（2026·高三·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 例6．（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 变式4．（2026·高一·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 变式5．（2026·高一·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 题型 3：求函数的单调区间 例7．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 例8．（2026·高一·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 例9．（2026·高一·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 变式6．（2026·高一·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 变式7．（2026·高一·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 变式8．（2026·高一·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型 4：由单调性求参数取值范围 例10．（2026·高一·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例11．（2026·高一·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 例12．（2026·高一·山西太原·期末）函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高一·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式10．（2026·高一·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式11．（2026·高一·湖北襄阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数一定不可能为（    ） A． B． C．3 D．2 变式12．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 5：利用单调性解不等式 例13．（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例14．（2026·高一·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例15．已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式13．（2026·高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式14．（2026·高一·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式15．（2026·高一·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式16．（2026·高一·陕西·阶段检测）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型 6：利用单调性比较函数值大小 例16．若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 例17．已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（    ） A． B． C． D． 例18．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 变式17．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 变式18．已知在上是减函数，，且，则有（   ） A． B． C． D． 变式19．已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型 7：求函数的最值 例19．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数． (1)判断函数单调性并证明； (2)求函数的值域； (3)设，，，求函数的最小值． 例20．（2026·高一·上海·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 例21．（2026·高一·浙江·期中）已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 变式20．函数的值域为_________ 变式21．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 变式22．（2026·高一·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 题型 8：抽象函数单调性的证明 例22．（2026·高一·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 例23．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 例24．已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 变式23．（2026·高一·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 变式24．（2026·高一·河南·期末）已知函数的定义域为，对任意的正实数，都有，且当时，，. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式25．（2026·高一·陕西渭南·期末）澄城县某中学数学兴趣小组研究一个定义在区间的函数；发现他们满足两个条件：①对于任意的，都有；②时， (1)的值为多少 (2)证明：在上是增函数 (3)设；解不等式． 题型 9：二次函数闭区间上的最值 例25．（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 例26．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 例27．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 变式26．（2026·高一·青海·期中）已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最大值 变式27．（2026·高一·福建莆田·期中）已知函数． (1)若，求该函数在上的最大值和最小值； (2)求该函数在上的最小值； (3)若该函数在区间上的最大值为4，求实数的值． 变式28．（2026·高一·天津宁河·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； (3)若，求的最大值和最小值 1．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 2．（2026·高一·陕西西安·期中）使命题“”为假命题的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知在上满足，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·高一·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·浙江杭州·期中）“函数在区间单调递增”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 7．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期末）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C． D．不等式的解集为 11．（多选题）（2026·高一·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 12．（多选题）（2026·高一·山东济南·阶段检测）已知函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时，在上单调递增 13．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________． 14．（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 15．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 16．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 17．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数是定义在上的正值函数，且．，当时，恒有．求证： (1)函数在上单调递增； (2)，恒有成立． 18．已知定义在上的函数满足：①；②当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为减函数； (3)求不等式的解集． 19．（2026·高一·四川泸州·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数a的最大值； (2)当时． （i）求不等式的解集； （ii）若在上的值域为，求实数m的取值范围． 20．（2026·高三·黑龙江·阶段检测）已知函数，且，的最小值为． (1)求a，b的值； (2)记在上的最大值为，求的最小值． 21．已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 22．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 23．（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 24．（2026·高一·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $