四川省仁寿县铧强中学2026-2027学年高三上学期第二次诊断性考试数学试卷

铧强中学2024级高三（上）第二次诊断性考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．设，，是的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ）． A． B． C． D． 4. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A. B.1 C.4 D.2 5. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 6. 已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分） 9．已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 10．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 11．设函数，则（     ） A．有两个零点 B．当时， C．过点仅可以作两条直线与的图象相切 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数是偶函数，则________． 13. 函数的定义域为___________________. 14. 已知函数，设，若，则的取值范围是____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表： 星期 一 二 三 四 五 直播时长（小时） 1 2 3 4 5 直播时在线观看人数（千人） 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． (1)试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）； (2)利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最大值． 17．函数 （1） 当时，求函数极值和极值点； （2） 若在上恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 19．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，； (2)若当时，，求的最小值； (3)若，使得，求的取值范围． 铧强中学高三上第二次诊断性考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B D A C A ACD BD 题号 11 答案 ACD 12．【答案】 13. 【答案】 14. 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表： 星期 一 二 三 四 五 直播时长（小时） 1 2 3 4 5 直播时在线观看人数（千人） 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． (1)试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）； (2)利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数． 【答案】(1)与具有较强的线性相关性. (2)，5.6（千人） 【分析】（1）根据已知数据结合样本相关系数的计算公式，即可求得答案； （2）利用最小二乘法求出，即可得关于的经验回归方程，将代入经验回归方程即可得答案. 【详解】（1）由， ， 所以（或）， 所以与具有较强的线性相关性． （2），， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 由此预测当直播时长为9小时的时候，在线人数约为5.6（千人）． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最大值． 【答案】（1）证明如下： 数列满足①， 当时，有②， ①②可得：， 即， 变形可得， 故数列是以为等差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差得到，结合等差数列的定义证明即可； （2）根据等比中项的性质及等差数列通项公式求出，即可得到的通项公式，结合的单调性及求和公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知数列是以为等差的等差数列， 若，，成等比数列，则有， 即，解得， 所以， 所以单调递减，又当时，，当时，，当时，， 故当或时，取得最大值， 且． 17．（本小题15分）函数 （3） 当时，求函数极值和极值点； （4） 若在上恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）三角恒等变换降幂，利用对称轴间距求周期，算出； （2）正弦函数增区间整体代换，再和定义域取交集； （3）任意性恒成立转化：，分别求其最值，解不等式求出的取值范围. 【详解】（1）， 相邻对称轴距离，， 即. （2） 解不等式， 可得， 或，与求交集： 递增区间为，. （3）对于任意的，，都有， 等价于， ，，， 不等式转化为， ， 令，， ，开口向下，对称轴， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 综上，. 19．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，； (2)若当时，，求的最小值； (3)若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，结合题意可得在区间上单调递减．求导后可得在和上单调递减，即可得解； （3）令，由题意知，使得，求导后分及讨论即可得. 【详解】（1）由题意得． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以． 又切线过点，所以． 综上所述，，； （2）由（1）知． 当时，，则． 设，则原条件等价于当时，， 即函数在区间上单调递减． 由，得， 令，得，解得或． 所以在和上单调递减． 因为在区间上单调递减，所以a的最小值为． （3）令，由题意知，使得． ， ①若，则对任意，， 所以，在上单调递增， 又，故，不满足条件； ②若，则当时，，此时， 所以在上单调递减， 即存在，使得，满足条件； 综上，k的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $