第3章 幂、指数与对数 单元复习（ 培优篇）讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第3章幂、指数与对数单元复习（拔尖篇） 题型一 根式的意义 【例1】，则实数a的取值范围 【跟踪训练】 1．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是(　　) （1）16的4次方根是2； （2）的运算结果是±2； （3）当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义； （4）当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义． 3.若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二 根式的化简与计算 【例2】当时，式子的值是 . 【跟踪训练】 1. 化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 2.下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 根式与指数幂的相互转化 【例3】下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.将化为有理数指数幂的形式为 . 2.已知，用有理数指数幂的形式表示 . 3.将化为有理数指数幂的形式为 　 　． 4.若，化简： 　 　． 5.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 题型四 指数幂的化简与计算 【例4】计算化简： （1）.＝ ； （2）.＝ . 【跟踪训练】 1．计算： 　　 ． 2.计算，结果是（  ） A．1 B． C． D． 3.化简 (a，b＞0)的结果是(　　) A． B．ab C． D．a2b 4.（= 题型五 由给定条件求指数式的求值 【例5】若，求下列各式的值: （1）；（2）；（3）；（4） 【跟踪训练】 1．已知，则 ． 2. 若，则的值为 ． 3. 已知，则 . 4.已知，，则的值为 ． 题型六 对数的概念 【例6】若对数有意义，则的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1. 使对数有意义的的取值范围是　 　． 2．对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞） 3.求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 指数式与对数式的互化 【例7】已知，，则（   ）. A． B． C． D． 【例8】已知，且，则xy的值为 ． 【跟踪训练】 1. 已知且，若，，则 　　． 2.若，且，则　 　． 3.已知，，则 ____ 题型八 对数运算法则 【例9】下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例10】已知a＞1，且loga8×loga2＝1﹣loga4，则a＝（　　） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 【跟踪训练】 1．已知a＞b＞1，若，ab＝ba，则ab＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2. 计算 . 3. ． 4. . 5.已知，，，则的最小值为 　　． 6.计算下列各式的值： (1)； (2)． 题型九 利用换底公式化简与求值 【例11】已知，，则用a、b表示 . 【跟踪训练】 1.已知，，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 2.已知，，则a，b表示 ． 3.（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 题型十 利用对数解决实际问题 【例12】“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：）. 【跟踪训练】 1. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，设为地震时所散发出来的相对能量程度，里氏震级度量定义为，则7级地震和6级地震的相对能量比值是 .（结果精确到个位） 2.如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ）． A． B． C． D． 3.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ） A．1.19 B．2.19 C．3.19 D．4.19 题型十一 指数、对数方程与不等式 【例13】不等式的解集为______． 【例14】方程的解为___________． 【跟踪训练】 1．方程的解为 ． 2.求不等式的解集. 3.方程的解为 　 　． 4.甲、乙两人同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64，则这个方程的真正的根为 　 　． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第3章幂、指数与对数单元复习（拔尖篇） 题型一 根式的意义 【例1】，则实数a的取值范围 【答案】 【解析】由题设得，，所以 所以，． 【跟踪训练】 1．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A. B. C. D. 答案　C 2.下列说法正确的是(　　) （1）16的4次方根是2； （2）的运算结果是±2； （3）当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义； （4）当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义． 解析：对于（1）16的4次方根应是±2； （2） ＝2， 所以正确的应为（3） （4）. 3.若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：根据根式和指数幂的运算性质，因为， 可化为，即， 可得，所以，即． 故选：B. 题型二 根式的化简与计算 【例2】当时，式子的值是 . 【答案】0 【解题思路】利用根式的运算性质化简即可. 【解答过程】因为，所以. 故答案为：0. 【跟踪训练】 1. 化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 解析：因为 所以， 故，故选：A 2.下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 解析：要使a有意义，则a≤0，故a＝－(－a)＝－＝－，故选C. 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【解答过程】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 题型三 根式与指数幂的相互转化 【例3】下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【跟踪训练】 1.将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】由分数指数幂的运算即可得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 2.已知，用有理数指数幂的形式表示 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可. 【详解】. 故答案为：. 3.将化为有理数指数幂的形式为 　 　． 【答案】． 【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解． 【解答】解：由题意可得：． 故答案为：． 4.若，化简： 　 　． 【答案】． 【分析】结合指数幂的运算法则，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 5.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 题型四 指数幂的化简与计算 【例4】计算化简： （1）.＝ ； （2）.＝ . 【答案】 0.09 【分析】由分数指数幂定义计算即可得答案. 【详解】（1）＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09. （2）＝ ＝ ＝ 故答案为：0.09； 【跟踪训练】 1．计算： 　　 ． 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】应用根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算化简求值． 【解答】解：原式2+102+2． 故答案为：． 2.计算，结果是（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 3.化简 (a，b＞0)的结果是(　　) A． B．ab C． D．a2b 【答案】C 【分析】由题意结合分数指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由分数指数幂的运算法则可得： 原式. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题. 4.（= 【答案】 【解析】 题型五 由给定条件求指数式的求值 【例5】若，求下列各式的值: （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）3；（2）4；（3）；（4）． 解析：（1），，． （2）． （3），． （4）， 即，由（2）得：，． 【跟踪训练】 1．已知，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，两边同时平方得，即， 对两边同时平方得，即， 所以． 2. 若，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，则. 故答案为：. 3. 已知，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以，即， 因为，所以， 因为， 所以. 故答案为：. 4.已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】将变形为，设，求出t的值，可化为，即可求得答案. 【详解】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 题型六 对数的概念 【例6】若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【解答过程】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 使对数有意义的的取值范围是　 　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合对数的定义，即可求解． 【解答】解：由题意可知，，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 2．对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞） 【考点】对数的概念．版权所有 【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣2）（5﹣a）有意义， 则 ，解得a∈（2，3）∪（3，5）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题． 3.求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【解题思路】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【解答过程】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 题型七 指数式与对数式的互化 【例7】已知，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果. 【详解】由，则，又， . 故选：A. 【例8】已知，且，则xy的值为 ． 【答案】98 【分析】令，把对数式化为指数式，，利用解出，可得的值. 【详解】由对数的性质，得，令，则，. 因为，所以，即，解得. 所以，，从而. 故答案为：98 【跟踪训练】 1. 已知且，若，，则 　　． 【答案】6． 【分析】先把对数式化为指数式，再指数幂的运算性质求解． 【解答】解：因为，， 所以，， 所以． 故答案为：6． 2.若，且，则　 　． 【答案】． 【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式计算即可． 【解答】解：， 则，， ，， ， ， ， 故答案为：． 3.已知，，则 ____ 【答案】 【解析】 【分析】将对数式转化为指数式，再通过指数运算公式即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 题型八 对数运算法则 【例9】下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【解析】对于选项A，由对数的运算性质知，所以选项A正确； 对于选项B，因为，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以选项D正确； 故选：C. 【例10】已知a＞1，且loga8×loga2＝1﹣loga4，则a＝（　　） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 【考点】对数的运算性质．版权所有 【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解． 【解答】解：因为loga8×loga2＝1﹣loga4， 又， ， 令t＝loga2＞0， 所以3t2＝1﹣2t，解得或t＝﹣1（不符合题意舍去）， 所以，解得a＝8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题． 【跟踪训练】 1．已知a＞b＞1，若，ab＝ba，则ab＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点】对数运算求值．版权所有 【分析】设t＝logba并由条件求出t的范围，代入化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入ab＝ba化简后列出方程，求出a，b的值，进而求解． 【解答】解：设t＝logba，由a＞b＞1得t＞1，已知等式转化为：， 即3t2﹣10t+3＝0，解得：t＝3或（舍去）． 所以logba＝3，即a＝b3，又因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3， 解得：，，所以ab＝9． 故选：D． 【点评】本题考查对数运算，属于基础题． 2. 计算 . 【答案】4 【分析】由对数的运算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为：4. 3. ． 【答案】 【分析】利用对数运算性质求解． 【详解】 故答案为：． 4. . 【答案】 【分析】应用对数的运算性质化简求值即可. 【详解】 故答案为： 5.已知，，，则的最小值为 　　． 【答案】4． 【分析】利用对数的运算性质化简已知式，得，再利用常值代换法，结合基本不等式，即可求得的最小值． 【解答】解：由，，可得，， ， 当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值为4． 故答案为：4． 6.计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2(2)1 【分析】（1）（2）根据对数运算律计算即可； 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 题型九 利用换底公式化简与求值 【例11】已知，，则用a、b表示 . 【答案】 【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解． 【解析】， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.已知，，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则算计即得. 【解答过程】由，，则. 故选：B. 2.已知，，则a，b表示 ． 【答案】 【分析】先根据指数式与对数式的互化求出，再根据对数的运算性质计算即可. 【解析】由，得， 则. 故答案为：. 3.（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果； （2）由指数式和对数式的互化得出，，再利用换底公式结合对数的运算性质计算可得结果. 【解答过程】（1）； （2）因为，则，，则，， 所以，. 题型十 利用对数解决实际问题 【例12】“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：）. 【答案】 【分析】根据已知条件，推得，再结合对数公式，即可求解. 【解析】设经过天“进步”的是“退步”的1000倍， 则，即， 故. 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，设为地震时所散发出来的相对能量程度，里氏震级度量定义为，则7级地震和6级地震的相对能量比值是 .（结果精确到个位） 【答案】32 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设7级时能量为，6级时能量为，利用已知条件结合对数的运算性质求出即可． 【详解】设7级时能量为，6级时能量为， 则， 两式相减得， 所以，所以， 注意到， 所以. 故答案为：. 2.如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题、指数幂的运算、对数的运算 【分析】由题意得到方程，得到. 【详解】由题意得，即， . 故选：B 3.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ） A．1.19 B．2.19 C．3.19 D．4.19 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得，即， 可得，所以. 故选：B. 题型十一 指数、对数方程与不等式 【例13】不等式的解集为______． 【答案】 【详解】 原不等式可化为： 根据指数函数的增函数性质得： 解得： 故答案为 【例14】方程的解为___________． 【答案】 【详解】 依题意， ， ， ， ， 即或， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去. 所以. 【跟踪训练】 1．方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的化简计算即可. 【详解】 ． 故答案为：. 2.求不等式的解集. 【答案】 【详解】 由题意，不等式可化为， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 3.方程的解为 　 　． 【答案】5． 【分析】由已知结合对数的运算性质进行化简即可求解． 【解答】解：由已知可得，． ， ，解可得． 故答案为：． 4.甲、乙两人同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64，则这个方程的真正的根为 　 　． 【答案】4或8． 【分析】利用对数的换底公式可把方程化简，可利用根与系数的关系确定，，从而可求方程正确的根． 【解答】解：由对数的换底公式可得， 整理可得，， 令，则， 甲写错了常数，，正确 乙写错了常数，，正确， 代入可得， ，，． 这个方程的真正的根为4或8． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $