第三十章 直线与圆的位置关系 单元自测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第三十章 直线与圆的位置关系 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．（2025·福建中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且AB交⊙O于点B．若∠P=30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．（2025·四川自贡中考真题）PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C在⊙O上（不与点A、B重合），连接AC、BC．若∠APB=80°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．130° C．100° D．50°或130° 3．（2024·福建中考真题）如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为弧AB的中点，则∠ACM等于（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 4．（2025·江苏南京中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5．（2025·山东青岛中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD=128°，则∠DAE的度数为（　　） A．52° B．54° C．64° D．74° 6．（2024·上海中考真题）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以A、B、P为圆心画圆，圆A的半径为1，圆B的半径为2，圆P的半径为3，圆A与圆P内切，则圆P与圆B的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 7．（2024·四川自贡中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，则⊙O的半径长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·安徽中考真题）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上，若∠P=50°，则∠PAB的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．（2024·湖北襄阳中考真题）如图，在⊙O中，弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 10．（2024·江苏苏州中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠ACO=40°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．（2025·云南中考真题）已知⊙O的半径为5cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为______cm． 12．（2024·山东枣庄中考真题）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=36°，则∠B=______． 13．（2024·山东滨州中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OACD是菱形，则∠B的度数是______． 14．（2024·黑龙江绥化中考真题）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是______度． 15．（2025·贵州中考真题）如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为弧BC的中点，连接CD、BD．（1）点O与AB的位置关系是______；（2）线段CD与线段BD的数量关系是______。 三、解答题（共8题，共65分） 16．（7分）（2025·青海中考真题）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A=∠B=30°．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）若BC=2，求弧DC的长（结果保留π）． 17．（7分）（2024·湖北中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD=BC，连接OB交⊙O于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AD=，AE=1，求弧CF的长． 18．（7分）（2024·江苏盐城中考真题）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l于点D，连接AC、BC．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AC=5，CD=4，求⊙O的半径． 19．（8分）（2025·山东济南中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若AO=3，OP=5，求AC的长． 20．（8分）（2024·四川资阳中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC、AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，DF交AC于点G，且DG=DC．求证：DE是⊙O的切线． 21．（9分）（2024·江苏宿迁中考真题）如图，⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD=2∠B．求证：CF是⊙O的切线． 22．（9分）（2025·江苏淮安中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点D在⊙O上，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD=∠CAB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OD，若∠CAB=30°，AB=4，求扇形OBD的面积． 23．（10分）（2025·黑龙江绥化中考真题）如图，∠APO=∠BPO，PA与⊙O相切于点M，连接OM，OP与⊙O相交于点C，过点C作CD⊥OM，垂足为E，CD交⊙O于点D，连接PD交OM于点F．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=6，PM=CD，求线段MF的长． 第三十章 直线与圆的位置关系 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】C 解题步骤： ① 连接OA、OB，则OA=OB=OC（同圆半径）。 ② ∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∠OAP=90°。又∠P=30°，∴∠POA=90°−30°=60°。 ③ ∵AB∥PC，∴∠OAB=∠POA=60°。又OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∠AOB=60°。 ④ ∴∠BOC=180°−∠POA−∠AOB=60°，△BOC是等边三角形，∠BCP=60°，故选C。 【知识点睛】切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；两直线平行，同位角相等；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 【答案】D 解题步骤： ① 连接OA、OB，由切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，∠OAP=∠OBP=90°。 ② 在四边形AOBP中，∠AOB=360°−∠OAP−∠OBP−∠APB=100°。 ③ 点C在⊙O上且不与A、B重合：当C在劣弧AB上时，∠ACB=∠AOB=50°；当C在优弧AB上时，∠ACB=（360°−100°）=130°。 ④ 所以∠ACB为50°或130°，故选D。 【知识点睛】切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角；圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；点C位置不确定时需分类讨论。 3. 【答案】A 解题步骤： ① 连接OC，∵C为弧AB的中点，∠AOB=72°，∴∠AOC=∠AOB=36°。 ② ∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC==72°。 ③ ∵MN与⊙O相切于C，∴OC⊥MN，∠OCM=90°。 ④ ∴∠ACM=∠OCM−∠ACO=90°−72°=18°，故选A。 【知识点睛】弧的中点平分所对的弧与圆心角；等腰三角形两底角相等；切线的性质：切线垂直于过切点的半径。 4. 【答案】A 解题步骤： ① 任何三角形三条边的垂直平分线都交于一点（外心），且外心到三角形三个顶点的距离相等，所以三角形一定有外接圆。 ② 四边形、五边形、六边形只有当其各顶点共圆时才有外接圆，一般情形不一定有外接圆。 ③ 故选A。 【知识点睛】确定圆的条件：经过三角形三个顶点的圆（外接圆）一定存在，其圆心是三角形三边垂直平分线的交点；一般多边形不一定有外接圆。 5. 【答案】C 解题步骤： ① ∵DC=BC，∠BCD=128°，∴∠CDB=∠CBD==26°。 ② ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∴∠ABC=180°−∠ADC=90°。 ③ ∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=90°−26°=64°。 ④ ∵EA与⊙O相切于点A，由弦切角定理得∠DAE=∠ABD=64°，故选C。 【知识点睛】等腰三角形两底角相等；圆内接四边形对角互补；弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 6. 【答案】C 解题步骤： ① 圆A与圆P内切，圆P半径3大于圆A半径1，则圆心距AP=3−1=2。 ② ∵AC²+BC²=3²+4²=25=AB²，由勾股定理的逆定理得∠C=90°。 ③ 以A为圆心、2为半径作圆，点P在该圆上且P在△ABC内。当P在AB上时，PB=AB−AP=3；当P在AC上时，AP=2，AC=3，则PC=AC−AP=1，在Rt△PBC中，PB===≈4.1。 ④ 所以PB的实际范围为3≤PB≤，满足1＜PB＜5。圆P半径3、圆B半径2，两圆相交的条件为|3−2|＜PB＜3+2，即1＜PB＜5，满足，故选C。 【知识点睛】圆与圆的位置关系由圆心距与两圆半径和、差的大小决定；两圆内切：圆心距等于半径之差；勾股定理的逆定理；勾股定理求线段长。 7. 【答案】A 解题步骤： ① 由勾股定理，AB==5。 ② 直角三角形内切圆半径r===1。 ③ 所以⊙O的半径长为1，故选A。 【知识点睛】直角三角形内切圆半径公式r=（c为斜边）；勾股定理求斜边。 8. 【答案】B 解题步骤： ① 设∠PAB=x。∵O在PA上，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=x。 ② ∵PB与⊙O相切于点B，∴OB⊥PB，∠OBP=90°，∠ABP=∠OBA+∠OBP=x+90°。 ③ 在△ABP中，∠PAB+∠ABP+∠P=180°，即x+(x+90°)+50°=180°，解得x=20°。 ④ 所以∠PAB=20°，故选B。 【知识点睛】切线的性质：切线垂直于过切点的半径；等边对等角；三角形内角和定理。 9. 【答案】C 解题步骤： ① 设BC与OA交于点D，弦BC垂直平分半径OA，则OD=OA=OB，且BC⊥OA。 ② 在Rt△OBD中，∠OBD=30°（30°角所对的直角边等于斜边的一半），∠BOD=60°，同理∠COD=60°。 ③ ∴∠BOC=120°，优弧BC所对的圆心角为360°−120°=240°。 ④ 弦BC所对的圆周角：顶点在优弧上时为×120°=60°；顶点在劣弧上时为×240°=120°。所以为60°或120°，故选C。 【知识点睛】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；注意圆周角顶点在优弧、劣弧两种情形。 10. 【答案】B 解题步骤： ① ∵AC是⊙O的切线，A为切点，AB是直径，∴AC⊥AB，∠OAC=90°。 ② 在Rt△AOC中，∠ACO=40°，∴∠AOC=90°−40°=50°。 ③ ∵D在OC上，∠AOD=∠AOC=50°，∴∠BOD=180°−50°=130°。 ④ ∵OD=OB，∴∠B=∠ODB==25°，故选B。 【知识点睛】切线的性质：切线垂直于过切点的半径；三角形内角和定理；等腰三角形两底角相等。 11. 【答案】5 解题步骤： ① 点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离等于圆的半径。 ② ⊙O的半径为5cm，所以点P到圆心O的距离为5cm。 【知识点睛】点与圆的位置关系：点在圆上，则点到圆心的距离等于半径。 12. 【答案】27° 解题步骤： ① ∵PA切⊙O于点A，AB是直径，∴OA⊥PA，∠OAP=90°。 ② 在Rt△OAP中，∠P=36°，∴∠AOP=90°−36°=54°。 ③ ∵C在OP上，∠AOC=54°，∴∠BOC=180°−54°=126°。 ④ ∵OB=OC，∴∠B=∠OCB==27°。 【知识点睛】切线的性质；邻补角定义；等腰三角形两底角相等。 13. 【答案】60° 解题步骤： ① ∵四边形AOCD是菱形，∴AD∥OC，AO∥DC，∠ADC=∠AOC（菱形对角相等）。 ② 设∠B=x，∠B所对的弧是弧AC，圆心角∠AOC=2x（圆周角等于同弧所对圆心角的一半）。 ③ ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，即x+2x=180°，解得x=60°。 ④ 所以∠B=60°。 【知识点睛】圆内接四边形对角互补；圆周角定理；菱形的性质：对角相等、对边平行。 14. 【答案】100 解题步骤： ① 圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长：2π×2.5=5π。 ② 扇形半径等于母线长9，设圆心角为n°，则=5π，解得n=100。 ③ 所以侧面展开图的圆心角是100度。 【知识点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形弧长等于底面圆周长，扇形半径等于母线长；弧长公式l=。 15. 【答案】点O在AB上；CD=BD 解题步骤： ① ∵∠ACB=90°，点A、B、C在⊙O上，由圆周角定理的推论，AB是⊙O的直径。 ② 直径AB经过圆心O，所以点O在AB上。 ③ ∵D为弧BC的中点，弧CD=弧BD，等弧所对的弦相等，所以CD=BD。 【知识点睛】圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径；等弧所对的弦相等。 16. 【答案】（1）证明见解析；（2） 解题步骤： ① （1）连接OD。∵∠A=30°且O在AC上（线段AB经过圆心O），∴∠DAO=30°；又OA=OD（同圆半径），∴∠ADO=∠DAO=30°。 ② （1）∠BOD是△AOD的外角，∠BOD=∠DAO+∠ADO=60°。又∠B=30°，在△OBD中，∠ODB=180°−∠B−∠BOD=90°，即OD⊥BD。 ③ （1）∵OD是⊙O的半径，OD⊥BD，所以直线BD是⊙O的切线（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）。 ④ （2）在Rt△OBD中，∠B=30°，∠ODB=90°，则OB=2OD（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。∵C在OB上，BC=OB−OC=2OD−OD=OD=2，所以半径r=2。 ⑤ （2）∠BOD=60°，又C、B在OB同侧，∠DOC=∠BOD−∠BOC=60°，弧DC的长==。 【知识点睛】切线的判定：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；等腰三角形两底角相等；三角形外角性质；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；弧长公式l=。 17. 【答案】（1）证明见解析；（2） 解题步骤： ① （1）连接OD。在△OBD与△OBC中，OB=OB（公共边），OD=OC（半径），BD=BC（已知），∴△OBD≌△OBC（SSS）。 ② （1）∴∠ODB=∠OCB=90°，即OD⊥AB。又OD是⊙O的半径，所以AB是⊙O的切线。 ③ （2）设⊙O的半径为r，则OC=OD=OE=r，AC=AO+OC=AE+OE+OC=1+2r。 ④ （2）设BC=BD=x，则AB=AD+DB=+x。在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，即(+x)²=(1+2r)²+x²，化简得2x=4r²+4r−2。 ⑤ （2）验证r=1：AC=3，代入得2x=6，x=，AB=2，此时3²+()²=(2)²成立，故r=1。 ⑥ （2）在△ABC中，AC=3，BC=，AB=2，得∠A=30°，∠ABC=60°。由△OBD≌△OBC得∠OBD=∠OBC=30°，∴∠COB=180°−∠OCB−∠OBC=180°−90°−30°=60°。 ⑦ （2）F在OB上，∠COF=∠COB=60°，弧CF的长==。 【知识点睛】全等三角形的判定SSS；切线的判定；勾股定理；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；弧长公式。设元列方程确定半径是解题关键。 18. 【答案】（1）证明见解析；（2） 解题步骤： ① （1）连接OC。∵l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l。又AD⊥l，∴OC∥AD，∠ACO=∠CAD。 ② （1）∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，故∠CAD=∠BAC。 ③ （1）∵AB是直径，∠ACB=90°；又AD⊥l，∠ADC=90°，∴∠ACB=∠ADC。在△ABC与△ACD中，∠BAC=∠CAD，∠ACB=∠ADC=90°，∴△ABC∽△ACD。 ④ （2）在Rt△ACD中，AD===3。 ⑤ （2）由△ABC∽△ACD，得=，即=，AB=，所以⊙O的半径=AB=。 【知识点睛】切线的性质：切线垂直于过切点的半径；等腰三角形两底角相等；两角分别相等的两个三角形相似；勾股定理；相似三角形对应边成比例。 19. 【答案】（1）证明见解析；（2） 解题步骤： ① （1）连接OC。∵OC=OA（半径），∴∠OAC=∠OCA。 ② （1）∵OP∥AC，∴∠OAC=∠BOP（两直线平行，同位角相等），∠OCA=∠COP（两直线平行，内错角相等），∴∠COP=∠BOP。 ③ （1）在△COP与△BOP中，OC=OB（半径），∠COP=∠BOP（已证），OP=OP（公共边），∴△COP≌△BOP（SAS），∴∠OCP=∠OBP=90°。 ④ （1）∴OC⊥PC。又OC是⊙O的半径，所以PC与⊙O相切。 ⑤ （2）由△COP≌△BOP得PC=PB，又OC=OB，所以OP垂直平分BC，设BC交OP于点D，则D为BC的中点。 ⑥ （2）在Rt△OBP中，∠OBP=90°，OB=OA=3，OP=5，BP===4。 ⑦ （2）由等面积法S△OBP=OB·BP=OP·BD，得BD===，所以BC=2BD=。 ⑧ （2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，AB=2OA=6。在Rt△ABC中，AC====。 【知识点睛】切线的判定：连半径、证垂直；平行线的性质（同位角、内错角相等）；全等三角形的判定SAS；线段垂直平分线的判定；等面积法求斜边上的高；勾股定理；直径所对的圆周角是直角。 20. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① 连接OC。∵DG=DC，∴∠DGC=∠DCG（等边对等角）。 ② ∵D、F、G共线，A、C、G共线，∠DGC与∠AGF是对顶角，∠DCG=∠DCA，所以∠AGF=∠DCA。 ③ ∵DF⊥AB于F，∠AFG=90°，∴∠AGF+∠OAF=90°。 ④ ∵OA=OC，∴∠OAF=∠OAC=∠OCA，故∠OCA+∠DCA=90°。 ⑤ ∵E在CD的延长线上，∠OCE=∠OCA+∠DCA=90°，即OC⊥DE。又OC是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线。 【知识点睛】等腰三角形两底角相等；对顶角相等；直角三角形两锐角互余；等边对等角；切线的判定：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 21. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① 连接OC。∵AB⊥CD于E，且AB是直径，由垂径定理CE=DE=CD=6，OC=10。 ② 在Rt△OCE中，OE===8。 ③ ∵OB=OC，∠B=∠OCB；∵AB垂直平分弦CD，弧AC=弧AD，∠ACD=∠B（等弧所对的圆周角相等）。 ④ ∵∠ACB=90°（AB是直径），∠BCD=90°−∠ACD=90°−∠B；又E在CD上，∠BCE=∠BCD。 ⑤ ∠OCB=∠OCE+∠BCE=∠OCE+90°−∠B，与∠OCB=∠B联立，得∠OCE=2∠B−90°。 ⑥ ∠FCD=2∠B，且OC在∠FCD内部，所以∠OCF=∠FCD−∠OCE=2∠B−(2∠B−90°)=90°，即OC⊥CF。 ⑦ 又OC是⊙O的半径，所以CF是⊙O的切线。 【知识点睛】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧；直角三角形两锐角互余；等边对等角；等弧所对的圆周角相等；切线的判定：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 22. 【答案】（1）证明见解析；（2） 解题步骤： ① （1）∵AB是半圆O的直径，∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠DAB+∠ABD=90°。 ② （1）∵C在AD的延长线上，∠CAB=∠DAB；又∠CBD=∠CAB，所以∠CBD=∠DAB。 ③ （1）∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠DAB=90°，即BC⊥AB。又B在⊙O上，所以BC是⊙O的切线。 ④ （2）∠CAB=30°=∠DAB，∠DOB=2∠DAB=60°（圆心角等于同弧所对圆周角的2倍）。 ⑤ （2）⊙O的半径r=AB=2，扇形OBD的面积==。 【知识点睛】直径所对的圆周角是直角；三角形内角和定理；圆周角定理；切线的判定：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式S=。 23. 【答案】（1）证明见解析；（2） 解题步骤： ① （1）过点O作ON⊥PB于点N。∵PA与⊙O相切于点M，∴OM⊥PA，∠PMO=90°。 ② （1）在△PMO与△PNO中，∠PMO=∠PNO=90°，∠APO=∠BPO（已知），OP=OP（公共边），∴△PMO≌△PNO（AAS），ON=OM。 ③ （1）∵OM是⊙O的半径，ON=OM且ON⊥PB，即圆心O到直线PB的距离等于半径，所以PB是⊙O的切线（作垂直、证半径）。 ④ （2）设⊙O的半径为r，则OM=OC=r，OP=OC+PC=r+6。在Rt△OMP中，OM²+PM²=OP²，即r²+PM²=(r+6)²，得PM²=12r+36。 ⑤ （2）∵CD⊥OM于E，∠OEC=90°=∠OMP；∠EOC=∠MOP（公共角），∴△OEC∽△OMP，==。 ⑥ （2）∵OM过圆心且垂直于弦CD，E为CD的中点，CD=2CE。由PM=CD=CE，得CE=PM，代入=，得=，解得r=4。 ⑦ （2）PM²=12×4+36=84，PM=2；OP=10，CE=PM=，OE====，ED=CE=。 ⑧ （2）∵MP∥CD（都垂直于OM），∠MPF=∠EDF，∠MFP=∠EFD（对顶角），∴△MPF∽△EDF，==。设MF=x，则EF=OF−OE=(OM−MF)−OE=(4−x)−=−x，由=得2x=5(−x)，解得x=。所以MF=。 【知识点睛】全等三角形的判定AAS；切线的判定：圆心到直线的距离等于半径时直线是圆的切线（作垂直、证半径）；垂径定理；相似三角形的判定与性质；勾股定理。设半径为未知数列方程是解题关键。 卷末答案速查表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A C C A B C B 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $