第三十章 直线与圆的位置关系（单元自测卷·广东专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦九年级上册第三十章“直线与圆的位置关系”，以口袋公园、蜂巢结构等现实情境为载体，分层考查基础概念、推理能力及综合应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|点与圆位置关系（题1）、正多边形中心角（题2）、切线性质（题7）|情境化（题4口袋公园）、开放探究（题9多条件判断）| |填空题|5/15|切线长定理（题12）、正多边形计算（题11）|跨工具应用（题14量角器与三角板）、动态几何（题15翻折面积）| |解答题|8/75|切线证明（题16）、内切圆计算（题17）、函数与圆综合（题22）|文化传承（题19古建筑正六边形）、探究性学习（题23阅读拓展）|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的直径为5，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与的大小即可解答． 【详解】解：圆的半径，点P到O的距离， ∴， ∴点P在圆外， 2．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查圆与正多边形，根据正n边形的中心角为计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴这个多边形是正五边形． 3．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（   ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 【答案】B 【分析】本题考查圆与坐标轴的位置关系，熟练掌握圆心到坐标轴的距离等于半径则相切，距离小于半径则相交是解题的关键． 通过计算圆心到x轴和y轴的距离，与半径比较，判断圆与坐标轴的位置关系即可． 【详解】解：圆心到x轴的距离为，等于半径4， 则圆与x轴相切； 圆心到y轴的距离为，小于半径4， 则圆与y轴相交， 4．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 5．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 6．如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 7．如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，再根据切线的性质得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 8．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】连接，，交于，求出中心角，得到为等边三角形，根据垂径定理推论得到，，则，那么，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于， 六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ， 9．有一道题目：“如图，是的直径，是的切线，要使直线是的切线，需添加的条件是________（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 【答案】C 【详解】解：， ， 是的切线， ， ， 是的切线， 甲同学的答案正确； 不能说明， 不能说明直线是的切线， 故乙同学的答案错误； 是的直径， ， ， ， ， 直线是的切线， 故丙同学的答案正确； 综上所述，只有甲、丙同学的答案正确． 10．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，点是矩形内一动点， ∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动， ∵矩形中，，， ∴， 如图所示，取的中点，则    ∴点到的最短距离为， ∴面积的最小值为， 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 12．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 13．如图，，是的切线，，是切点．若，则______°． 【答案】25 【分析】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定， 先根据切线的性质及切线长定理得，再证明，根据全等三角形的性质得，然后结合已知条件答案可得． 【详解】解：∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：25． 14．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 【答案】/60度 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 15．如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【答案】 证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， 是半径， ∴是的切线． 【分析】连接，推出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形中位线定理求出，推出，根据切线的判定推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直． 17．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长． 【答案】，， 【分析】本题考查切线长定理． 设，则根据切线长定理，等量代换，可得，，结合已知列方程求解即可． 【详解】解：的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， 设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，． 18．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF． (1)四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由． (2)若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）根据⊙I是Rt△ABC的内切圆，证明四边形IECF是矩形，由IE=IF，可得结论； （2）根据勾股定理可得AB的长，设半径IE的长为x，根据切线长定理列出方程即可求得半径的长． 【详解】（1）解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下： ∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，即AC、BC都是⊙I的切线， ∴∠IEC=∠IFC=90°， ∵∠C=90°， ∴四边形IECF是矩形， ∵IE=IF， ∴四边形IECF是正方形； （2）（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴， 由切线长定理可知： AE=AD，BD=BF，CE=CF， 设半径IE的长为x，则CE=CF=x， ∴AE=AD=8-x，BD=BF=6-x， ∴（8-x）+（6-x）=10， 解得x=2， ∴IE的长为2． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）解：， ∴的度数为． （2）解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 20．足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 【答案】(1)如图，点O如图所示： (2)补全图形见（1）图， 【分析】本题考查了切线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在圆上任取一点D，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，则O即为所求， （2）根据题意补全图形，连接，结合切线的性质，可得，，，则，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值求出的值即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示 ∵是圆的切线，为切点． ∴，，， 则， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得出， 即， ∴， 解得， ∴． 21．如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，其中交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 是的半径， ∴是的切线； (2) (3) 【分析】（1）连接，如图，根据垂径定理由为的中点，得到为的垂直平分线，所以，证明，得出，根据切线的判定定理得与相切； （2）设的半径为，则，，得出，解得，求出的长； （3）由扇形的面积减去两个直角三角形的面积可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， , ， ∴； （3）解：∵， ∴在中，， 结合（1）可得：， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，． (1)______，求抛物线的解析式． (2)如图1，是的中点，以点为圆心，为半径作． ①当取什么值时，恰好与两坐标轴相切． ②当取什么值时，恰好与两坐标轴有3个交点． (3)如图2，点是抛物线第一象限上的一点，连接，，过点作轴于点，交于点，记，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1)， (2)①；②； (3)的最大值为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，直线与圆的位置关系，勾股定理，求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出点D坐标，由恰好与两坐标轴相切可知； ②根据与坐标原点相交时与两坐标轴有3个交点结合勾股定理计算即可； （3）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， 把，代入函数解析式得：， 解得：； ． 故答案为：； （2）①∵，， ∴，即； ∵恰好与两坐标轴相切， ∴； ②当与坐标原点相交时，与两坐标轴有3个交点， 此时； （3）解：， ∴设直线的解析式为：， 把代入得：， ， 设，则：， ， ， ， ∴当时，的最大值为． 23．在图1和图2中，是等边的外接圆． 【阅读】 如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：； 小明给出了自己的证明方法如下： 三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ， ，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ． 【理解】 （1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________， 若的半径为1，则___________． （2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【应用】 （3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积． 【答案】（1），； （2）结论成立，理由如下： 延长到点E，使，连接，如下图， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解题关键， （1）先求出，连接，过点O作于点D，先求出，进而求出结论； （2）延长到点E，使，连接，先证明是等边三角形，再证明即可证明结论； （3）连接，过点C作交延长线于点M，先证明，设，则，求出，连接，过点O作于点F，求出，再根据求出，延长，得出为边上的高，进而求出结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ， ， ， 连接，过点O作于点D，如下图： 则， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）连接，过点C作交延长线于点M，如下图， 平分， ， ， ， 是等边三角形， 由（2）知，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 连接，过点O作于点F， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 延长， 垂直平分，， 经过点A，即为边上的高， ， ∴四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（广东专用） 第三十章直线与圆的位置关系 (参考答案) 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案C B B A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.10 12.24 13.25 14.60°160度 15.205-16-16+205 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16.(8分) 证明：连接0P,l分 :AB是⊙0的直径， .∠APB=90°，2分 .AB=AC. BP=CP,4分 OB=0A, .OP为△ABC的中位线，5分 .OP∥AC,6分 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PE⊥AC, OP⊥PE,7分 PO是半径， .PE是⊙O的切线.8分 17.(8分) 解：△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, ..AE=AF,BD=BF,CD=CE,.. 设AF=x,则AE=x, ,AB=7,CA=9 .CE=9-x,BF=7-x,3分 .CD=9-x,BD=7-x,4分 .BC=10 :(9-+(7-)=10 解得x=3,6分 .AF=3,BD=7-3=4,CE=CD=9-3=6. .AF=3,BD=4,CE=6.…8分 18.(8分) 解：(1)(1)四边形ECF是正方形，理由如下：1分 ,⊙I是RiAABC的内切圆，即AC、BC都是⊙I的切线， .∴.∠IEC=∠IFC=90°， 2分 .∠C-90°， .∴四边形IECF是矩形，3分 ∵E=IF, .四边形IECF是正方形：…4分 (2)(2)在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :MB=VAC2+BC=8+6=10 5分 由切线长定理可知：AE=AD,BD-BF,CE-CF,6分 设半径E的长为x,则CE=CF=x, .AB-AD-8-x,BD-BF-6-x,.. .(8-x)+(6-x)=10,解得x=2, .E的长为2.8分 四、解答题（二)（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.(9分) (1)解：(6-2)×180°×2=120° 6 .∠BAF的度数为120°.2分 (2)解：：正六边形ABCDEF,⊙O是它的外接圆， ·中心角∠C0D=360° =60° 6 3分 2 ·劣弧CD的长为3T, ÷号0000 180,5分 解得：0D=2,6分 .OC=0D,∠COD=60°， .△OCD是等边三角形， .CD=0D=2,7分 又.OG⊥CD cG=c-2x1,8分 :0G=V2-P=5 .0G的长为5.n9分 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(9分) 解：(1)如图，点0如图所示： !D 米1 3分 (2)连接A0,如图所示 :PA,PB是圆的切线，A,B为切点. ∠CBP=90°，∠0AC=90°，PA=PB=3,4分 则AC=PC-PA=2, 在Rt△BCP中，由勾股定理得BC=VPC-PB=4,5分 设0C=x,则B0=0A=4-x,6分 在RtAAOC中，由勾股定理得出O4+AC2=OC2, 即4-x+22= ,7分 16-8x+x2+4=x2, 解得 2 .∴.C=.9分 21.(9分) (1)证明：如图，连接OC, 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE为切线， .OC⊥CE, ∠0CE=90°，1分 :F为B 的中点， .OD垂直平分BC, EC=EB,2分 在△OCE和△OBE中， OC=OB OE=OE EC=EB AOCEOBE(SSS) .L0BE=L0CE=90°，3分 .OB⊥BE, OB是⊙0的半径， .BE是⊙0的切线；…4分 (2)解：设O0的半径为x,则OD=OF-DF=x-2,OB=x, 在Rt△OBD中，∠EOB=60°， ,5分 1 即x-2=2, 解得x=4, 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0D=2,0B=4, .∠EOB=60°， ∠0EB=30°， :∠OBE=90° .0E=20B=8;6分 (3)解：∠BOE=60°，L0BE=90°」 :在Rt△OBE中， BE =OB.tan 60=30B=43 ,7分 结合(1)可得：aOCE≌aOBE, ÷s=ac-5a=2S.m-S0e=2x×4x45-120PXx4-16N516 1 2 360° 39分 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分) 22.(12分) 【详解】(1)解：·B(4,0), .0B=4, ,∠BOC=90°，BC=4V2 ..OC=BC2-OB2=4 C0,4) c=4 1 把B(4,0,C(0,4)?代入函数解析式得： 2 ×42+4b+c=0 c=4 解得：b=1； x+x+4 ∴y=- 2 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：4；3分 (2)①.B(4,0),C0,4). D4+00+4 气22.即D(2,2) .4分 ⊙D恰好与两坐标轴相切， .r=2;5分 ②当⊙D与坐标原点相交时，与两坐标轴有3个交点， 此时=V2+22-22 6分 (3)解：B4,0),C0,4), .设直线BC的解析式为：y=+4k≠0)，7分 把B4,0)代入得：k=-1, .y=-x+4 ，.8分 m-inmrd 设（ ,则：K(m,-m+4),D(m,0). PK=-m2+m+4+m-4=-号m2+2m,DK=-m+4,DB=4-m,…9分 2 8=5c+S=号PK4=-m2+4mS-DK-DB=-m+44-m）=4-m,10分 2 S-S,=-m2+4m-2 (4-m)2 -3m2 +8m-8 2 8 8 “当m=3时，3-S,的最大值为兮.…1卫分 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(12分) 材 解：(1)60°；；2分 (2)结论PA=PB+PC成立，理由如下：3分 延长CP到点E,使PE=PB,连接BE,如下图， 图2 ,△ABC是等边三角形， ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC:∠BAC+∠BPC=180° .∠BPC=120°， ∴.∠BPE=60° .PE=PB, △BPE是等边三角形，4分 BE=PB=PE,∠EBP=∠E=60° ∠EBP=∠CBA=60°， .∠EBP+∠PBC=∠CBA+∠PBC, ∠EBC=∠PBA, EB=PB,CB=AB ,5分 .AEBC≌APBA, ..PA=CE EC=PE+PC, .PA=PB+PC;6分 (3)连接AC,过点C作CM⊥AD交AD延长线于点M,如下图， 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 平分 图3 ∠ADC=120°，DB ∠ADC ∠ADB=∠CDB=60°， .∠BAC=∠BDC=60°，∠ACB=∠ADB=60° ∴.∠ABC=∠BAC=∠ACB=60° .△ABC是等边三角形，…7分 由(2)知，BD=AD+CD. DB+DC=2DA. ..AD=2CD 设CD=x,则AD=2x, :∠CDM=180°-LADC=60°， .∠DCM=30° xCM= .DM-TCD AM=AD+DM=5x 2,8分 连接OB,OC,过点O作OF⊥BC于点F, 则∠BOC=2∠BAC=120°， :OB=OC=7,OF⊥BC ∠B0r-Boc=60F=cf-ac, 2 .∠OBF=30° 0F=0B=7 2 BF=75 2, 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BC=2BF=73 :AB=BC=73 AC2=CM2+AM2 厨+ …9分 解得：xV21 .AD=221.CM =3 2 .S.=4DxCM=x22Ix 2 22,10分 延长FO, ~FO垂直平分BC,AB=AC, ∴FO经过点A,即AF为BC边上的高， 2 2,11分 成m-a-*75x19 2 4 =S.ABC+S.ADC -189V3 ∴.四边形ABCD的面积 4.12分 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的直径为5，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 2．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 3．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（   ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 4．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 5．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题4图 题5图 题6图 题7图 8．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 9．有一道题目：“如图，是的直径，是的切线，要使直线是的切线，需添加的条件是________（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 10．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D．    题8图 题9图 题10图 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为______． 12．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 13．如图，，是的切线，，是切点．若，则______°． 14．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 题11图 题12图 题13图 题14图 15．如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 17．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长． 18．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF． (1)四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由． (2)若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 20．足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 21．如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，其中交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，． (1)______，求抛物线的解析式． (2)如图1，是的中点，以点为圆心，为半径作． ①当取什么值时，恰好与两坐标轴相切． ②当取什么值时，恰好与两坐标轴有3个交点． (3)如图2，点是抛物线第一象限上的一点，连接，，过点作轴于点，交于点，记，的面积分别为，，求的最大值． 23．在图1和图2中，是等边的外接圆． 【阅读】 如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：； 小明给出了自己的证明方法如下： 三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ， ，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ． 【理解】 （1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________， 若的半径为1，则___________． （2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【应用】 （3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的直径为5，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 2．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 3．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（   ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 4．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 5．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题4图 题5图 题6图 题7图 8．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 9．有一道题目：“如图，是的直径，是的切线，要使直线是的切线，需添加的条件是________（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 10．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D．    题8图 题9图 题10图 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为______． 12．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 13．如图，，是的切线，，是切点．若，则______°． 14．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 题11图 题12图 题13图 题14图 15．如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 17．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长． 18．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF． (1)四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由． (2)若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 20．足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 21．如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，其中交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，． (1)______，求抛物线的解析式． (2)如图1，是的中点，以点为圆心，为半径作． ①当取什么值时，恰好与两坐标轴相切． ②当取什么值时，恰好与两坐标轴有3个交点． (3)如图2，点是抛物线第一象限上的一点，连接，，过点作轴于点，交于点，记，的面积分别为，，求的最大值． 23．在图1和图2中，是等边的外接圆． 【阅读】 如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：； 小明给出了自己的证明方法如下： 三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ， ，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ． 【理解】 （1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________， 若的半径为1，则___________． （2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【应用】 （3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $