第二十五章 一元二次方程（单元自测卷·广东专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学一元二次方程单元卷，覆盖概念、解法、应用，结合新能源汽车、赵爽弦图等情境，梯度设计合理，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、实际应用|第5题新能源汽车销量增长，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|5/15|根与系数关系、换元法|第15题赵爽弦图，融合文化传承，培养数学语言表达| |解答题（一）|3/24|配方法、公式法、几何应用|第18题矩形茶园面积，强化运算能力与模型意识| |解答题（二）|3/27|盈利问题、动点问题|第19题服装店盈利，提升应用意识与逻辑推理| |解答题（三）|2/24|换元法、配方思想|第23题完美数探究，渗透转化思想，发展创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D． 4． 某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行 了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 5．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为，则输入x的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 7．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 8．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 9．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 10．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 12．若是关x的方程的解，则的值为___________． 13．已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：_______________（写方程的一般形式）． 14．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 15．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，求的值． 18．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．某服装店发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ (2)平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 20．数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 21．如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 23．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 2．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】x2-x-2=0因式分解为(x+1)(x-2)=0，解为. 3．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化简为一般式，再将一次项的系数为0且二次项系数不为0，求解即可． 【详解】解：， 一元二次方程不含一次项， ，， ，， 解得， 故选：D． 4．某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设参加比赛的队伍有支，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设参加比赛的队伍有支，根据题意得， 解得：，（舍去） 故选：B． 5．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 6．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为，则输入x的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了程序流程图和解一元二次方程，根据题意得：，解出即可． 【详解】解：根据题意得：， 即， ∴． 故选：C． 7．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 8．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 9．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 10．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 12．若是关x的方程的解，则的值为___________． 【答案】2019 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 13．已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【答案】 【分析】设出符合条件的一元二次方程，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到目标方程． 【详解】解：设该一元二次方程为，方程的两个根为，， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴因此方程为． 14．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 【答案】， 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 15．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________．    【答案】96 【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，求的值． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程（）的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）由根与系数的关系韦达定理可知，，再利用整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得 ， 解得； （2）解：由韦达定理可知，， ∵， ， 解得． 18．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 【答案】30m，20m 【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答． 【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m， 根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600， 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去； 当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．某服装店发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ (2)平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 【答案】(1)售价应定为70元 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设每件降价元，根据销售这种服装平均每天盈利1000元，列出方程，解方程即可； （2）根据每天盈利达到1250元，列出方程，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设每件降价元， 由题意列方程：， 整理得， 解得，， 要使顾客得到较多实惠，取，售价为元， 答：售价应定为70元． （2）解：当， 整理得：， 判别式，方程无实数根， 答：平均每天盈利不能达到1250元． 20．数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 21．如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 23．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3）解:，理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4） 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以,不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）略 （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十五章 一元二次方程 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D B B C D C A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．3 12．2019 13. 14. ， 15. 96 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．（8分） （1）解：， ， ，................2分 ， 所以  ．................4分 （2）解：， ， ∴，................5分 ∴，................6分 ∴， ∴  ．................8分 17．（8分） （1）解：根据题意得， 解得；................3分 （2）解：由韦达定理可知，，................5分 ∵， ，................7分 解得．................8分 18．（8分） 解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，................1分 根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，................4分 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20，................6分 当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去； 当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．................8分 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分） （1）解：设每件降价元， 由题意列方程：，................2分 整理得， 解得，，................4分 要使顾客得到较多实惠，取，售价为元， 答：售价应定为70元．................5分 （2）解：当，................7分 整理得：， 判别式，方程无实数根，................8分 答：平均每天盈利不能达到1250元．................9分 20．（9分） （1）解：， ∴ ，................3分 ∴；................4分 （2）证明：∵， ∴ ，................7分 ∵， ∴，................8分 即， ∴不可能小于0．................9分 21．（9分） （1）解：由题意，得线段， 故答案为：t，；................2分 （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：；................4分 （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程，................6分 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得；................7分 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为．...............9分 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．（12分） （1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，，..............2分 当时，可得：， 解得：，...............4分 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，；...............6分 （2）解：， 整理得：，...............7分 设， 则原方程化为，...............9分 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，，...............10分 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ．...............12分 23．（12分） 解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以,不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②；...............2分 （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9；...............4分 （3）解:，理由如下： ，...............6分 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故，...............7分 此时，符合“完美数”定义， ；...............8分 （4）， ， ，...............9分 ， 当时，的最小值为2025．...............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D． 4． 某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行 了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 5．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为，则输入x的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 7．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 8．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 9．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 10．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 12．若是关x的方程的解，则的值为___________． 13．已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：_______________（写方程的一般形式）． 14．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 15．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，求的值． 18．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．某服装店发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ (2)平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 20．数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 21．如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 23．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $