第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章一元二次方程单元测试卷(满分120分) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分，共计45分) 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将方程化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．方程的解是（     ） A． B． C． D． 4．用公式法解一元二次方程时，下列代入求根公式正确的是（     ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 6．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 7．关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（     ） A．3 B．3 C．4 D．4 8．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．关于的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 10．若是方程的根，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．若是方程的一个根，则（     ） A． B．2027 C．2025 D．2026 12．某次冰壶比赛有支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则下列方程中符合题意的是（     ）． A． B． C． D． 13．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次，设参加这次同学聚会的有人，可得方程（     ） A． B． C． D． 14．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（     ） A． B． C． D． 15．若，则的值为（     ） A． B．4 C．4或 D．或2 二、填空题(每题3分，共计15分) 16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 17．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为__________． 18．某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 19．小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m． 20．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积为______． 三、解答题 21．解下列方程：(每小题5分，共计20分) (1)； (2)； (3)； (4)． 22．(8分)已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)已知该方程的两个根为、，则的值_________． 23．(8分)关于x的方程有实数根． (1)求m的取值范围． (2)设此方程的两个根为，当时，求另一个根及m的值 24．(8分)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根是，求的值． (2)若方程有两个相等的实数根，求的值； 25．(8分)如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． (1)如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽； (2)能否使围成矩形的面积为，如果能，试求矩形的长和宽，如果不能，请说明理由． 26．(8分)商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： (1)降价后商场日销售量是________件，每件商品盈利________元（用含的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ 试卷第2页（共3页） 试卷第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十五章一元二次方程单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D B A A D C B 题号 11 12 13 14 15 答案 B B B B B 1．C 【分析】先判断方程是否为整式方程，再结合未知数个数、最高次数排查错误选项． 【详解】解：A、方程中 含分式，不是整式方程，故不是一元二次方程； B、方程含两个未知数，不是一元二次方程； C、 整理得，是整式方程，只含一个未知数且最高次数为2，故是一元二次方程； D、方程含二次根式，被开方数含未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程． 2．A 【分析】根据一元二次方程一般形式判断即可． 【详解】解：由， 整理得， ∴二次项系数为， 一次项系数为， 常数项为． 3．C 【详解】解：， 两边开平方得． 移项得， ∴，． 4．D 【详解】解：在方程中，，，， ， ∴ ． 5．B 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 6．A 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ． 7．A 【分析】无需计算参数，利用一元二次方程根与系数的关系可直接求解另一根． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵一元二次方程为， ∴由根与系数的关系得两根之积为， ∵方程的一个根为， ∴， ∴． 8．D 【分析】根据一元二次方程判别式的意义求解即可． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 9．C 【详解】解：∵方程的判别式， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 10．B 【分析】利用方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 11．B 【分析】由方程的根的定义得到的值，整体代入所求代数式计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 12．B 【分析】根据单循环比赛每两队仅赛场的规则计算总场次，结合已知总场数列方程． 【详解】解：每支队伍需与其余支队伍各赛1场，支队伍的累计比赛场次为， ∵单循环比赛每两队仅赛1场，累计场次将每场比赛计算了2次， ∴实际总场数为， ∵总场数为45， ∴， 整理得． 13．B 【详解】解：设参加聚会的有人，每人需与其余人握手，总计数为次， ∵ 每两人之间的握手被重复计算1次， ∴ 实际握手总次数为 由题意得， 整理得． 14．B 【详解】解：二月份营业额为万元，三月份营业额在二月份基础上增长，为万元， 一月、二月、三月营业额共万元， 列方程为． 15．B 【分析】采用换元法简化方程，结合的非负性舍去负根． 【详解】解：设，由平方的非负性得． 方程可化为． 整理得． ． 解得，． ∵， ∴不符合题意，舍去． ∴． 16．且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，方程有两个不相等实数根时判别式大于，分别求解不等式得到的范围． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 化简得， 解得． 综上，的取值范围是且． 17．4 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，展开所求代数式后整体代入求值. 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，整理得， ∵， ∴将代入，原式. 18． 【分析】设球队数量为，根据单循环赛制的场次计算规则列出一元二次方程，舍去负根得到结果． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支． ∵每两支球队之间只进行一场比赛，每支球队要和其余支球队各比赛一场，每场比赛会被重复计算两次， ∴总比赛场次为． 根据题意列方程得， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∵球队的数量为正整数， ∴舍去，得到． 即参加小组赛的球队有支． 19． 【分析】设为，则，依据题意列一元二次方程，解一元二次方程，同时还需要满足小于等于墙长，确定最终值即可． 【详解】解：设为，则， 依据题意得： 去括号得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 墙长， ， 即：， 解得， 综上所述，长为． 20．24或 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的可能值，根据三角形三边关系确定有效第三边，分情况计算三角形面积． 【详解】解：对方程整理，两边同乘4得， 因式分解得， 解得或， 验证三角形三边关系：∵已知两边长为和， 当第三边为时，，满足三边关系，符合要求， 当第三边为时，，满足三边关系，符合要求， 分两种情况计算面积： ①当第三边长为时， ∵， ∴该三角形为直角三角形，直角边为和， ∴， ②当第三边长为时，该三角形为等腰三角形，腰长，底边长， 过顶点作底边上的高，如图， 由勾股定理得高， ∴， 综上所述，三角形的面积为24或． 21．(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：， 配方得，即， 开方得， 解得； （2）解：整理得 配方得，即， 开方得， 解得； （3）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得； （4）解：， ∵，，，， ∴， 解得． 22．(1) 证明：一元二次方程中，，，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）求出其根的判别式的值即可判断； （2）由一元二次方程根与系数的关系可求出，，再整体代入所求代数式即可． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系可知，，， ∴． 23．(1) (2)； 【分析】（1）由，列式计算即可得到答案； （2）由根与系数的关系，列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有实数根， ， 解得：； （2）解：∵关于x的方程有实数根，且， ， ， ， ． 24．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义把代入中进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 25．(1)矩形实验田的长为，宽为； (2)解：不能使围成矩形的面积为． 设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 整理得， ， ∴不能使围成矩形的面积为． 【分析】（1）设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长，根据题意，列出一元二次方程，据此求解即可； （2）设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长，根据题意，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 解得：． ， ， ， ， 此时矩形实验田的长为，宽为； （2）略 26．(1)； (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 【分析】（1）根据每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，求解，再根据题意取合适的值即可． 【详解】（1）解：由题可得降价后商场日销售量是件，每件商品盈利元； （2）解：根据题意，可列方程， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 则每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 答案第4页（共9页） 答案第3页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $