第二十九章 圆（单元自测卷·福建专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦九年级上册“圆”单元，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖圆的性质、位置关系、弧长与扇形面积等核心知识，融入几何直观与推理能力考查，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|等弧概念、点与圆位置关系、外心内心性质|基础概念辨析，考查抽象能力| |填空题|6/24|扇形面积计算、点到圆最大距离、圆锥侧面积（如圆锥绣球模型）|结合生活情境，体现应用意识| |解答题|9/86|弧长计算、圆的证明、动态几何与隐圆问题（如24题“化隐圆为显圆”）|分层设计，25题动态几何考查推理能力与创新意识|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（福建专用） 第二十九章圆 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等：③劣弧一定比优弧短：④过圆内 一点可以画无数条弦.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【详解】解：①长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故此说法错误；②同圆或等圆中相等 的圆心角所对的弧相等，故此说法错误，③同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故此说法错误：④过圆内 点可以画无数条弦，故此说法正确.正确的共1个。 2.点P是⊙0外一点，⊙0的半径是1lcm,则OP的长可能是() A.4cm B.8cm C.10cm D.12cm 【答案】D 【详解】解：⊙O的半径是1lm,点P是⊙O外一点， ..OP>11cm 只有l2cm满足OP>1lcm, 故选：D 3.如图，点O,I分别是△ABC的外心、内心，连接OB,IA.若∠BAI=35°，则∠OBC的度数为() A.20° B.25° C.30° D.35° 1/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：连接OC, I是△ABC的内心，∠BAI=35°， .∠BAC=2∠BAL=70°， 点O是△ABC的外心， .∠B0C=2∠BAC=140°， .OB=OC, ·.∠0BC=,(180°-∠B0C)=20°， 2 故选：A. 4.如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接OB、OD.若∠BCD=1I0°，则∠BOD的度数是() A 0 B A.70° B.110° C.120° D.140° 【答案】D 【详解】解：~四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=1I0° .∠A180°-∠BCD=70°， 由圆周角定理可得：∠B0D=2∠A=140° 5.如图，⊙O直径CD=10,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB=8,则OM=() 2132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 C A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【详解】如图，连接OA, M B 弦AB⊥CD,AB=8. AM=BM 2B=4 在AOM中，01-D=5,4W4 根据勾股定理得： OM=VO2-AM2=V52-42=3 ABCD ⊙0 6.如图，四边形 内接于o0,点C是D的中点，1=50，则C0 的度数为() A.20° B.25° C.50° D.35° 【答案】C 【详解】解：：∠BOD=2∠A,∠A=50°， .∠BOD=100° 3/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点C是 D 中中点， :∠COD= 1 ∠BOD=50 2 故选：C 7.如图，从半径为6cm的圆形纸片剪去3圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重 叠)，则这个圆锥的高是() 剪去 A.6cm B 2v5cm C.35cm D 8cm 【答案】B 【详解】解：如下图所示， ~扇形的半径为6cm, ..AB=6cm, ×2mx6=2×2x6=8m 阴影扇形的弧长是( 3 3 .2π.OB=8π. .OB=4, .A0=VAB2-0B2=V62-42=2V5cm B 8.如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧 面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是() 4/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.83 B.95 C.10w3 D.6V3 【答案】D 【详解】连接AC,过B作BD⊥AC于D, D-- 设圆锥侧面展开图的圆心角为n°， 圆锥底面圆周长为2×2元=4元' AC=6m 180, 则n=120, BC=BA,BD⊥AC, ∴.∠ABD=60°， 由AB=6,可求得BD=3, :D-=35.AC=2AD=6N5 即这根绳子的最短长度是6、5 9.如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=6,将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 弧AB上的点D处，折痕交OA于点C,则阴影部分的面积为() 5/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B 9π A. 2 B. 9(π-V2) 9元9 c. D.92 【答案】C 【详解】解：连接OD,交BC于E, A 0 C E B :沿BC对折O和D重合，OD=6, .BC⊥OD,DE=OE=3,∠DBE=∠OBE,OB=BD=6 .∠BE0=90°，△D0B是等边三角形， ∴.∠DOB=∠DB0=60°， .∠A0B=105°， ∴.∠COD=LAOB-∠DOB=45° ∠OEC=90°， ∴CE=OE=3, ∴.阴影部分的面积 =S第形4OD-S,cOD 45元×621 ×6×3 3602 9 π-9 2 S. 10.用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形 ABCD 的面积为 6/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S2,ED=EF ,则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（) A.π2S+V2S,) B.π4s+S) c4+ D.π(4S+2S,) 【答案】C 【详解】解：设正方形ABCD的中心为点O,连接OF,过点O作OM⊥CD于点M, 由正方形ABCD的面积为，得CD=V 根正方形的性质，每OM=CM-DM-CD= 2 设ED=EF=x, S 根据题意，四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”， 2S 故直角三角形的另一条直角边的长为x, 根据题意，得 2S-2x=S, 整理，得 x2+VS2x-2S,=0 7132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解和*区土+16國 4 根长度不能为爽数。教=区-6西 舍去， s±+16 4 DF=2x=+5+165 2 .MF=DM+DF=S,+s+165+165 2 2 2 银据勾服定理，得0F=Mr+0w-+65+子=4树+8， 4 π0F2=π 故圆的面积为： 4+ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11.已知扇形弧长为3，半径为1，则扇形面积为 【答案】2 【详解】解：扇形弧长为3，半径为1， :扇形面积S==)×3x1=3 1,1 2 2 2 12.已知O0的半径为5cm,P是⊙0内一点，OP=3cm,则点P到⊙0上各点的最大距离是 cm 【答案】8 【详解】解：⊙0的半径为5cm,OP=3cm, ∴0p<5cm,即点P在⊙0内， “点P到⊙0上各点的最大距离为5+3=8cm. 8132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如 图.己知矩形的宽为2m,对角线为4m,则改建后门洞的圆弧长是 m. 10 【答案】3π 【详解】解：如图：连接AC、BD相交于O, 由题意得，四边形 为矩形， ABCD AB=CD=2 AC=BD=4. OD=OC=CD=2. ∴.△DOC ⊙0 是等边三角形， 的半径是2， ∠DOC=60° ·改建后门洞的圆弧所对的圆心角为300° r ,300×2π_10」 改建后门洞的圆弧长是180a=180=3元（m). 10 故答案为3 π 14.圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达26cm,胸径约20cm,其寓意着希望、 永恒、美满与团聚.小然按照其形状制作了如下：母线长为26cm,底面直径长为20cm的圆锥绣球模型， 侧此圆锥的侧面积为 9/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26cm 20cm 【答案】260πcm 【详解】解：，底面直径长为20cm, ∴，底面圆周长为π×20=20mcm,即展开图扇形的弧长为20cm, .母线长为26cm, 此圆锥的侧面积为2×26×20r=260mcm2 故答案为：260πcm2 15.某同学观察家中桌面上的瓯绣摆件，发现是由圆的绣面和一段劣弧支架组成，外部框架关于两圆圆心 所在直线对称，通过测量得知，AB长9.6cm,绣面（圆）最高点E到桌面距离EN为20.6cm,到劣弧AB 最高点M的距离EM为I7cm,则支架劣弧AB所在圆的半径是cm. D AN B 图① 图② 【答案】5 【详解】如解图，设P,Q分别为两圆圆心，连接A犯，N№ 由腿意可知，MN=EN-BM=36em,AN=NB=AB=48(em,AB⊥E0 设40=/，则N№=r-3.6,在Rt△MN№中，由勾股定理得 =4.82+-3.6,解得7=5cm。 ∴.支架劣弧AB所在圆的半径是5cn. 10/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P D 16.如图，直线与圆O没有公共点，从点O向直线引垂线OA,垂足为A,线段OA交圆O于点 M,若OA=3,圆O的半径为2.点P为圆O上一动点，且PB⊥AB于点B,则AB+PB最大 值为一· ⊙ M 3+2√2 【答案】 【详解】解：过点P作PN⊥OA于点N,连接OP, ,OA⊥AB,PB⊥AB ∴.∠PBA=∠BAO=∠PNA=90°， ∴.四边形ABPN是矩形， 设AB=PN=x, ,在RIAPNO中，OP=2, ON=JOP2-PN=4- 当P在O的左侧时， :.PB-AN=04-ON-3-4-x 4B+PB=x+3-V4-x x+3>0V4-天≥0 11/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x>0时， -4-x 随x的增大而增大， 即当x=2时，AB+PB最大为：5： 当P在O的右侧且不在直线OA上时， PB=AN-04+ON=3+ 4B+PB=x+3+4- x+3>0,W4-x2≥0 当x+v4-r 最大时，AB+PB最大， 令y=x+V4-x 则y-(x+4-=2+4-2+22(4-)=4+22-2+4, 六当2，m=5时.》有能大位。 ·故当术V2 时，'最大为25，此时B+PB最大值为：3+25 :3+22>5 2时，'最大为25，此时4B+P9最大值为：3+22 :当术 M 12132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： 3+2V2 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17.(8分)如图，△MBC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D, 且AC=6. B (1)求弧AD的弧长： (2)求弦AD的长度. 【答案】(I)π ②36-35 【详解】(1)解：连接CD :∠B=15°，∠ACB=90°， :.∠CAB=75°， .AC=CD, .∠ADC=75°， .∠ACD=30°. -=30匹×6=元 180 (2)作∠BAF=∠B=15°，则：BF=AF,∠AFC=∠B+∠BAF=30°， ∠ACB=90°， ..BF=AF =2AC=12, CF=AC-63 13/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=CF+BF=12+63 ÷4B=V4C2+BC=6(2+6). :咖B=1C6-2 BA4,即 sim15°=4C=V6-V2 BA 4, 作CE1HD于点E:则24CE=号4D=15,4D-24B 2 A=m15x6-6-巨x6-36=32 4 2 AD=2AE=3V6-3V2. B E 18(8分)如图，弦MB和弦CD相交于O0内一点B,D=B A E (I)求证：AB=CD: ②若点c是 的中点， BE=BC,求∠BED 度数. 【答案】(1) 证明：D=CB 4D+C-CB+C 14/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0-孤 ..AB=CD: (2)108° 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接BD A E D B :C是MB的中点， AD=CB .4D-AC-CB .∠CDB=∠ABD=∠ADC=∠ABC ,∠BEC是△BDE的外角， ∴.∠BEC=LCDB+∠ABD .BE=BC, ∴.∠BCE=∠BEC. 设∠EBC=a,则∠BCE=∠BEC=∠CDB+∠ABD-2LABC=2a, 在△BCE中有，a+2a+2a=180°， .a=36°， .∠BEC=2a=72° .∠BED=180°-72°=108° 19.(8分)如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E,过点D作DH∥AB,在直径AB上取点F,使 BF=DH,连结DF. 15/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF B D H (I)求证：∠BDH=∠CDA: (2)若EF=1,CD=6,求⊙0的半径. 【答案】(1) 证明：连OD,OH 直径AB垂直弦CD, .AC=AD 连接OD,OH, DH I AB ∴.∠ABD=∠BDH .∠AOD=∠ODH,∠BOH=∠OHD .OD=OH, .∠ODH=∠OHD ∴.∠AOD=∠BOH :AD=BH, .AC=BH ∴.∠BDH=∠CDA 16/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF BAI D H (2)5 【详解】(1) 略 (2)解：：DHI‖AB,BF=DH, ∴四边形DFBH是平行四边形， ∴.DF=BH, :AD=BH(第I小题己证) :.AD=BH ∴AD=DF, AB⊥CD :AE=EF=,∠ADE=∠FDEDE=CD=3 DHI‖AB .∴∠DBE=∠BDH, :∠BDH=∠CDA(第1小题己证) ∴.∠CDA=∠DBE ∴∠FDE=∠DBE, :∠DEF=∠DEB=90°， .∴.△DEF∽△BED, EF=DE即L=3 DE=BE即3BE: 17132 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=9, .AB=BE+AE=9+1=10 :00的半轻为4B-x10-5. 1 20.(8分)如图，⊙0是边长为4的正方形ABCD的外接圆. A D (1)求⊙0的半径： (2)求图中阴影部分的扇形面积. 【答案】④22 (2)2π 【详解】(1)解：正方形ABCD, ∠COD= 360° =90° 4 又，OD=0C, .在Rt△ODC中，OC2+0D2=CD2, ∴.0C2+0C2=42,即20C2=16, ∴.0C=22(负值舍去)： (2)解：由(1)得：∠C0D=90°，0C=22, Sm-nr-90-r,2-2x 360 360 18/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2L.(8分)如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD切⊙0于点D,连接AD,E为OB上 一点，射线DE交OO于点F,已知AF=BF D B (I)求证：CE=CD: (2)AD=CD=3,求直径AB长. 【答案】()证明：如图，连接OD,OF D B 为 的切线， .CD⊙O .OD⊥CD ∴.∠CDE+∠ODE=90° AF=BF ∴.OF⊥AB .∠F+∠OEF=90° :OD=OF, .∠F=∠ODE .∠OEF=∠CDE ∠OEF=∠DEC, .∠CDE=∠CED ∴.CD=CE g26 19/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：AD=DC, ∴∠A=∠C. .OA=OD. .∠DOC=2∠A ∠0DC=90°， ∴.∠C=30° ∴.0C=20D 0D2+CD2=0C2 ,0D2+-(20D,解得0D=5 (负值舍去). .AB=20D=25 22.(10分)如图， 4B是O0的直径，点C是O0上异于4，B的一动点，点B为BC的中点.作 BC CF⊥AB,垂足为点F,连接BE并延长交FC的延长线于点P. M B A B 图1 图2 (I)求证：CP=CB: @如图2，延长AC交P于点4若mP 2,CF=4,求CM的长. 【答案】(1) 证明：如图1，连接AE. 20/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点为 的中点， B 图1 E BC ..CE=BE ∴.∠CAE=∠BAE=∠CBE AB是直径， .∠AEB=90° .∠ABE+∠EAB=90° CF⊥AB, .∠PFB=90°， ∠P+∠PBF=90°， ∴.∠P=∠PBC. ∴.CP=CB 10 (2②3 【详解】(1)略 (2)解：如图2，连接AE.设BF=x 21/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M C FO 图2 tan∠P= BF 1 ∴PF=2x .CP=CB,CF=4 .CB=PC=PF-CF=2x-4. 在Rt△BCF中，BC2=BF2+CF2, ÷2r-4=2+4 16 解得x=3或x=0(舍去)： .BF=16 3· CF⊥AB, ∴：∠AFC=∠CFB=90° .∠CAF+∠ACF=90°. :AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCF=90°， ∠CAF=∠BCF, ∴.△BCF∽△CAF, ..CF2=AF.BF .AF=3, 22132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AC=AF2+CF2=5 ∠AEB=∠AEM=90° ∴.∠AME+∠EAM=90°，∠ABE+∠EAB=90° .∠AME=∠ABE, ∴.AM=AB, CM=AB-4C=3+6-5=10 3 3 23.(10分)如图，在△ABC中，∠A=45°，BC=8 A (I)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求所作⊙0的半径. 【答案】(1) 如图所示，⊙O即为所求； @t 【详解】(1)略 (2)解：如图所示，连接OB,OC, 23/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=45°， .∠B0C=2∠A=90°， 又，OB=OC, ∴.BC2=OB2+0C2=20B2=82, .0B=42, ⊙0 .所作 的半径为45 24.(12分)阅读理解： D 01 B B 图1 图2 图3 图4 (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可 以使问题变得非常容易，我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型. ①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=44,D是△ABC外一点，且 AD=AC,求∠BDC的度数. 解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A,(请你在图1上画圆)则点C、D必在 ⊙A,∠BAC⊙A ∠BDC ∠BDC=. 上， 是的圆心角，而 是圆周角，从而可容易得到 24/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②类型二，“定角+定弦”：如图，R1aABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动 点，且满足∠PAB=∠PBC,求线段CP长的最小值. 解：∠ABC=90°， .∠ABP+∠PBC=90° :∠PAB=∠PBC, .∴.∠BAP+∠ABP=90° ∴.∠APB= (定角) AB ⊙0 点P在以（定弦）为直径的 上 如图2，连接OC交⊙O于点P,此时PC最小， 点O是AB的中点， ..OA=OB=3. 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4,OB=3, ..OC=BC2+0B2=5 .PC=OC-OP=5-3=2. .PC最小值为2， (2)【问题解决】 如图3，在矩形ABCD中，已知AB=6,BC=8,点P是BC边上一动点（点P不与B,C重合），连接AP, 作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为 (3)【问题拓展】 如图4，在正方形ABCD中，AD=4,动点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足DE=CF连接AE和 DF,交于点P ①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由： ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为 【答案】(1)①22°：②90°： 25/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)4: (3)OAE=DF,AE⊥DF;②π 【详解】(1)①：AB=AC=AD, ·点B,点C,点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上， 如图1， D 图1 ∠BDC= ∠BAC=22 2 故答案为：22°： ②：∠ABC=90°， ∴.∠ABP+∠PBC=90° ∠PAB=∠PBC, ∴.∠BAP+∠ABP=90 .∴∠APB=90 AB( ⊙0 六点卫在以定弦为直径的上， 如图2，连接OC交⊙O于点P,此时PC最小， B 图2 :点O是AB的中点， 26/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0A=OB=3, 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4,OB=3, ∴.OC=VBC2+OB2=5 .PC=OC-OP=5-3=2. “PC最小值为2， 故答案为：90°； (2)如图3，连接AC,AM, 点B,点M关于直线 对称， B 图3 AP .AB=AM, ∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动， ∴当点M在线段AC上时，MC有最小值， AB=6,BC=8, .AC=VAB2+BC2=V6+82=10 .CM的最小值为10-6=4， 故答案为：4： (3)①四边形ABCD是正方形， .AD=DC∠ADE=∠DCF=90 DE =CF, 在△ADE和△DCF中， 27132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=DC ∠ADE=∠DCF DE=CF ADE△DCF(SMS) ∴.AE=DF,∠DAE=∠FDC. :∠ADE=90 .∠ADP+∠FDC=90 .∠ADP+∠DAE=90° ∴.∠APD=180°-90°=90° .AE=DF,AE⊥DF: ②连接AC,BD交于点O, E 点P在运动中保持 F C 图4 ∠APD=90 “点P的运动路径是以MD为直径的圆的 DPO 90π×2 :点P的运动路径长为180 =兀， 故答案为：π. 25,(4分)如图，在△1BC中，∠4CB=90,4C=4,BC=75,点D为直线4C右倒一点，连结 AD、CD,∠ADC=30° 28/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求线段AB的长度. (2)当点D落在线段CB上时，求CD的长. (3)连结BD,求△BCD面积的最大值. (④)当点D在边BC上时，点E是边AB上一动点（不与点A、B重合），将△BDE沿DE翻折，当点B的对 应点B'落在∠ACB的角平分线上时，直接写出点B'到边BC的距离. 【答案】)16 ②45 ⊙)215 倒26*6 25-6 2 2 【详解】(1)解：：∠ACB=90°， :在Rt△MBC中，AB=VAC2+BC=4+(5=Vi63, (2)解：点D在线段BC上，∠ACB=90°， ∴.∠ACD=90° 如图， D B 在Rt△ADC中，∠ADC=30°，AC=4, .AD=2AC=8, 29/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=AD2-AC2=82-42=43 (3)解：~AC=4,∠ADC=30°，定弦定角，满足条件的动点D的轨迹是圆，设圆心为0， ∴点D在以AC为弦的⊙O上， 如图，AE为⊙O的直径，过圆心O作OF⊥BC于点F,延长FO交⊙O于点G,点A,C,E,G均 在⊙0上， 同弧 所对的圆周角相等， AC .∠AEC=∠ADC=30°， ∴.∠AOC=2∠AEC=60°， 0A=0C, ∴△AOC是等边三角形， ...AC=OA=OC=4. .⊙0的半径为4， GF⊥BC, .∠0FE=90°， 在Rt△OEF中，∠OEF=30°， 1 ∴.OF=二OE=-×4=2 2 2 ∴圆O上的点到BC的最大距离为GF=OG+OF=6, 1 ~ABCD面积为2×BC×动点D到BC边的距离，BC=7N5, ∴当点D在点G处时，aBCD面积最大， ABCD面积的最大值为)×BC×GF=2×7N3×6=21V3 (4)解：如图，过点B作B'H⊥BC于点H, 30/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 立 E 点在 的角平分线上， H D B B' ∠ACB .∠B'CH= ∠ACB=45° 2 B'H⊥BC, :∴△CB'H是等腰直角三角形， :.CH=B'H, CD=43 由(2)得 又BC=7V3 ..DB=BC-CD=33 DB'=DB=33 由折叠得 设B'H=h, 当点H在点D和点C中间时， C DH=CD-CH=CD-B'H=43-h - B2 E H D B 当点H在点D和点B中间时， DH =CH-CD=B'H-CD=h-43 B E HD B:DH=43-h 31/32 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B'H⊥BC, ∴.∠B'HC=90°. 在RtaB'CH中，DH+B'H=DB2, :(45-h+=33,化简得2-8V3h+21=0, B2-4ac=(85-4×2x21=192-168=24 :h-85+26-23+6h-85-26-25-6 2×2 2或 2×2 2， 25-6 ∴点B到边BC的距离 2v3+6 2 2」 32/32 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十九章 圆 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④过圆内一点可以画无数条弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形的面积为，则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知扇形弧长为，半径为，则扇形面积为________． 12．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 13．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图.已知矩形的宽为2m，对角线为4m，则改建后门洞的圆弧长是________ m． 14．圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达，胸径约，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．小然按照其形状制作了如下：母线长为，底面直径长为的圆锥绣球模型，则此圆锥的侧面积为______． 15．某同学观察家中桌面上的瓯绣摆件，发现是由圆的绣面和一段劣弧支架组成，外部框架关于两圆圆心所在直线对称，通过测量得知，长，绣面（圆）最高点E到桌面距离为，到劣弧最高点M的距离为，则支架劣弧所在圆的半径是______． 16．如图，直线与圆 没有公共点，从点 向直线引垂线 ，垂足为 ，线段 交圆于点 ，若 ，圆 的半径为 ．点 为圆上一动点，且 于点 ，则 最大值为 ____ ． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）如图，中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，且． (1)求弧的弧长； (2)求弦的长度． 18．（8分）如图，弦和弦相交于内一点E，． (1)求证：； (2)若点C是的中点，，求的度数． 19．（8分）如图，在中，直径垂直弦于点E，过点D作，在直径上取点F，使，连结． (1)求证：； (2)若，求的半径． 20．（8分）如图，是边长为的正方形的外接圆． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的扇形面积． 21．（8分）如图，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，为上一点，射线交于点，已知． (1)求证：； (2)，求直径长． 22．（10分）如图，是的直径，点C是上异于A，B的一动点，点E为的中点．作，垂足为点F，连接并延长交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点M，若，，求的长． 23．（10分）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求所作的半径． 24．（12分）阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______ ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ， ， ______，（定角） 点P在以（定弦）为直径的上 如图2，连接交于点P，此时最小， 点O是的中点， 在中，，，， ， 最小值为2， (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点点P不与B，C重合，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足连接和，交于点 ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为______． 25．（14分）如图，在中，，，，点为直线右侧一点，连结、，． (1)求线段的长度． (2)当点D落在线段上时，求的长． (3)连结，求面积的最大值． (4)当点D在边上时，点E是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，当点B的对应点落在的角平分线上时，直接写出点到边的距离 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章圆（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 2 3 6 答案 A D C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.2 12.8 10 13. 260πcm2 14. 15.5 l6. 3+2V2 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17.(8分) 【详解】(1)解：连接CD, :∠B=15°，∠ACB=90°， .∠CAB=75°， AC=CD. .∠ADC=75°， .∠ACD=30° -06- 180 ；4分 (2)作∠BAF=∠B=15°，则：BF=AF,∠AFC=∠B+∠BAF=30° ,∠ACB=90°， .BF=AF =2AC=12. 1/15 上好每一堂课 (福建专用) 0 9 10 D 可学科网·上好课 www.zxxk.com CF=3AC=6V3 BC=CF+BF=12+6√3 4B-VAC+BC-6(+) :咖B=4C6-2 m15=4C-6-2 BA4,即： BA4, 年CE1AD于点E:期24CE-4CD-15,D-24E 2 六4B=m15×6=6-2x6-36-32 4 2 AD=2AE=3V6-3V2】 B F 8分 18.(8分) 【详解】(1)证明：·D=C公 D+AC-CB+C :D= .AB=CD:4分 (2)解：如图，连接BD. 2/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com E 0 D C是B的中点， AD=CB :而-c-G :.∠CDB=∠ABD=∠ADC=∠ABC ∠BEC是△BDE的外角， .∠BEC=∠CDB+∠ABD .BE=BC, ∴.∠BCE=∠BEC, 设∠EBC=a,则∠BCE=∠BEC=∠CDB+∠ABD=2∠ABC=2a, 在△BCE中有，a+2a+2a=180°， .a=36°， .∠BEC=2a=72° .∠BED=180°-72°=108°.8分 19.(8分) 【详解】(1) 证明：连OD,OH ,直径AB垂直弦CD .AC=AD 连接OD,OH, DH I AB ..∠ABD=∠BDH. .∠AOD=∠ODH,∠BOH=∠OHD .OD=OH 3115 可学科网·上好课 www.zxxk.com .∠ODH=∠OHD .∠AOD=∠BOH .AD=B丽， .AC=BH ∴.∠BDH=∠CDA EF BAI.4分 D H (2)解：DHI‖AB，,BF=DH, ∴.四边形DFBH是平行四边形， :DF=BH :AD=BH(第1小题已证) .AD=BH, .AD=DF, AB⊥CD :AE=EF=l,∠ADE=∠FDEDE=CD=3. .DH I AB, .∠DBE=∠BDH, :∠BDH=∠CDA(第I小题己证) ∴.∠CDA=∠DBE, .∠FDE=∠DBE, :∠DEF=∠DEB=90°， 4/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com .△DEF∽△BED, :EF=DE即{=3 DE BE 3 BE BE=9, .AB=BE+AE=9+1=10 1 1 ÷00的半径为24B=×10=5.8分 2 20.(8分) 【详解】(1)解：，正方形ABCD, ∠C0D=360 -=90° 4 又OD=OC, 在Rt△ODC中，OC2+0D2=CD2, ∴.0C2+0C2=42,即20C2=16, .0C=2V2(负值舍去)；.4分 (2)解：由(1)得：∠C0D=90°，0C=22, o9.-)2 360 360 。8分 21.(8分) 【详解】(I)证明：如图，连接OD,OF D E 为 的切线， .CD⊙O .OD⊥CD .∠CDE+∠ODE=90° AF=BE 5/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.OF⊥AB .∠F+∠OEF=90° OD=OF, ∴.∠F=∠ODE」 .∠OEF=∠CDE. .'LOEF=∠DEC, .∠CDE=∠CED .CD=CE.4分 (2)解：AD=DC, .∠A=∠C ..OA=OD .∠DOC=2∠A ∠0DC=90°， .∠C=30° .0C=20D .OD2+CD2 =OC2 :0D+3=(20D,解得0D=5(负值舍去). ·.AB=20D=23 8分 22.(10分) 【详解】(1)证明：如图1，连接AE. 6/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com D E 点为 的中点， B 图1 ·EBC :.CE=BE ∠CAE=∠BAE=∠CBE AB是直径， ∴.∠AEB=90° .∴∠ABE+∠EAB=90° CF⊥AB .∠PFB=90°. .∠P+∠PBF=90° ∴∠P=∠PBC. CP=CB.5分 (2)解：如图2，连接AE.设BF=x. 公 E FO B 图2 ·tan∠P=BF1 PE 2 7/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com ..PF=2x .CP=CB,CF=4 ∴.CB=PC=PF-CF=2x-4 在Rt△BCF中，BC2=BF2+CF2, :2x-42=x+4 解得r16 或x=0(舍去)· :BF=16 CF⊥AB、 .∠AFC=∠CFB=90°， .∠CAF+∠ACF=90°， :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCF=90°， :.CAF ZBCF, ∴.△BCF∽△CAF, ..CF2=AF.BF AF=3, ..AC=AF2+CF2=5 :∠AEB=∠AEM=90° .∠AME+∠EAM=90°，∠ABE+∠EAB=90°， .∠AME=∠ABE, .AM=AB, CM=AB-4C=3+16 510 3 =3.10分 23.(10分) 8/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 【详解】(1)如图所示，⊙0即为所求： .5分 B (2)解：如图所示，连接OB,OC, .∠A=45° ∴.∠B0C=2∠A=90°. 又.OB=OC, .BC2=OB2+OC2=20B2=82, 0B=42, ∴所作O0的半径为4W2 10分 C 24.(12分) 【详解】(1)①：AB=AC=AD」 ∴点B,点C,点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上， 9/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 如图1， B 图1 ·∠BDC=∠BAC=22 2 故答案为：22°； ②：∠ABC=90°， .∠ABP+∠PBC=90° .∠PAB=∠PBC. :.∠BAP+∠ABP=90° .∠APB=90° ) 六点P在以定弦为直径的上， AB( ⊙0 如图2，连接OC交⊙0于点P,此时PC最小， B C 图2 :点O是AB的中点， ∴OA=OB=3, 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4,OB=3, 10/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.OC=VBC2+OB2=5 ∴.PC=0C-0P=5-3=2. .PC最小值为2， 故答案为：90°；4分 (2)如图3，连接AC,AM, D 点B,点M关于直线 对称， B 图3 AP :AB=AM, ∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动， ∴当点M在线段AC上时，MC有最小值， AB=6,BC=8」 AC=VAB2+BC2=V62+82=10 ∴.CM的最小值为10-6=4， 故答案为：4；8分 (3)①：四边形ABCD是正方形， .AD=DC∠ADE=∠DCF=90 .DE =CF. 在△ADE和△DCF中， AD=DO ∠ADE=∠DCF DE=CF 11/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com aADE≌△DCF(SAS) AE=DF,∠DAE=∠FDC, ∠ADE=90 ∴.∠ADP+∠FDC=90 .∠ADP+∠DAE=90 ∴.∠APD=180°-90°=90° .AE=DF,AE⊥DF: ②连接AC,BD交于点O, 点P在运动中保持 B 图4 ∠APD=90° 一点P的运动路径是以1D为直径的圆的 PO 90π×2 :点P的运动路径长为180 =π，12分 25.(14分) 【详解】(1)解：：∠ACB=90°， 片在RIAABC中，AB=VAC2+BC-+(5=i68;2分 (2)解：点D在线段BC上，∠ACB=90°， .∠ACD=90° 如图， 12/15 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com ● D B 在Rt△ADC中，∠ADC=30°，AC=4, .AD=2AC=8. :CD=aD-4C-8-年=45,5分 (3)解：AC=4,∠ADC=30°，定弦定角，满足条件的动点D的轨迹是圆， ∴.点D在以AC为弦的⊙O上， 如图，AE为⊙O的直径，过圆心O作OF⊥BC于点F,延长FO交⊙O于点G ⊙0上， G 同弧 所对的圆周角相等， AC .∠AEC=∠ADC=30°」 .∠AOC=2∠AEC=60°， .OA=OC, :∴△AOC是等边三角形， ∴.AC=OA=OC=4, ∴.⊙0的半径为4， GF⊥BC, ∠0FE=90°， 在Rt△OEF中，∠OEF=30°， :0F=0E=x4=2 2 2 圆O上的点到BC的最大距离为GF=OG+OF=6, 13/15 上好每一堂课 设圆心为O, 点A,C,E,G均在 可学科网·上好课 www.zxxk.com ~ABCD面积为2×BC×动点D到BC边的距离，BC=75, ∴.当点D在点G处时，△BCD面积最大， :aBCD面积的最大值为2×BC×GF=)×7W5x6=21N3 1 2 (4)解：如图，过点B作B'H⊥BC于点H, - B E 点在 的角平分线上， D B·B∠ACB 1 ∠B'CH=∠ACB=45° B'H⊥BC, ∴△CBH是等腰直角三角形， ..CH=B'H, 由(2)得CD=4V5 又'BC=7VS .DB=BC-CD=33 由折叠得 B'=DB=3V3 设B'H=h, 当点H在点D和点C中间时， C DH=CD-CH=CD-B'H=43 B'三 E D B 14/15 上好每一堂课 9分 为 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点H在点D和点B中间时， DH=CH-CD=B'H-CD=h-43 B: A E ☑ HD B:.DH=4V3-h B'H⊥BC, .∠B'HC=90°， 在RtaB'CH中，DH+B'H2=DB2, (4W5-+R=(35,化简得2n2-83h+21=0, ∴b-4ac=(85-4x2×21=192-168=24, :h-85+26-=2N5+6h-85-26=25-6 2×2 2或”2×2 2 2w5+625-6 点B到边BC的距离 2或1 2.14分 15/15………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十九章 圆 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④过圆内一点可以画无数条弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形的面积为，则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知扇形弧长为，半径为，则扇形面积为________． 12．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 13．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图.已知矩形的宽为2m，对角线为4m，则改建后门洞的圆弧长是________ m． 14．圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达，胸径约，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．小然按照其形状制作了如下：母线长为，底面直径长为的圆锥绣球模型，则此圆锥的侧面积为______． 15．某同学观察家中桌面上的瓯绣摆件，发现是由圆的绣面和一段劣弧支架组成，外部框架关于两圆圆心所在直线对称，通过测量得知，长，绣面（圆）最高点E到桌面距离为，到劣弧最高点M的距离为，则支架劣弧所在圆的半径是______． 16．如图，直线与圆 没有公共点，从点 向直线引垂线 ，垂足为 ，线段 交圆于点 ，若 ，圆 的半径为 ．点 为圆上一动点，且 于点 ，则 最大值为 ____ ． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）如图，中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，且． (1)求弧的弧长； (2)求弦的长度． 18．（8分）如图，弦和弦相交于内一点E，． (1)求证：； (2)若点C是的中点，，求的度数． 19．（8分）如图，在中，直径垂直弦于点E，过点D作，在直径上取点F，使，连结． (1)求证：； (2)若，求的半径． 20．（8分）如图，是边长为的正方形的外接圆． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的扇形面积． 21．（8分）如图，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，为上一点，射线交于点，已知． (1)求证：； (2)，求直径长． 22．（10分）如图，是的直径，点C是上异于A，B的一动点，点E为的中点．作，垂足为点F，连接并延长交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点M，若，，求的长． 23．（10分）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求所作的半径． 24．（12分）阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______ ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ， ， ______，（定角） 点P在以（定弦）为直径的上 如图2，连接交于点P，此时最小， 点O是的中点， 在中，，，， ， 最小值为2， (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点点P不与B，C重合，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足连接和，交于点 ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为______． 25．（14分）如图，在中，，，，点为直线右侧一点，连结、，． (1)求线段的长度． (2)当点D落在线段上时，求的长． (3)连结，求面积的最大值． (4)当点D在边上时，点E是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，当点B的对应点落在的角平分线上时，直接写出点到边的距离 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $