第二十七章 反比例函数 单元自测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章 反比例函数 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y= B．y= C．y=x² D．y= 2．反比例函数y=的图象在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1 3．反比例函数y=的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 4．在反比例函数y=的图象上，当x>0时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定 5．下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A．(1,−4) B．(2,4) C．(2,) D．(8,) 6．已知反比例函数y=的图象经过点(2,−4)，则k的值是（　　） A．−8 B．8 C．−2 D．2 7．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 8．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．已知反比例函数y=（k>0）的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△AOB的面积为3，则k=（　　） A．3 B．6 C．±6 D．9 10．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．点A(2,y₁)、B(5,y₂)在反比例函数y=的图象上，则y₁__________y₂（填“＞”“＜”或“＝”）． 12．某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 13．反比例函数y=的图象与正比例函数y=x的图象交于A、B两点，若点A的坐标为(2,2)，则点B的坐标为__________． 14．已知反比例函数y=的图象在第一、三象限，则m的取值范围是__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，过点A作AM⊥x轴于点M，AM:OM=4:3，且点落在函数 的图像上，则四边形的周长是__________． 三、解答题（共8题，共65分） 16．（7分）水池中有水500m³，每小时放水xm³，需要y小时放完． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当每小时放水20m³时，需要多少小时放完？ 17．（7分）已知y与x成反比例，且当x=3时，y=4． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x=6时，求y的值； (3)当y=2时，求x的值． 18．（8分）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 19．（8分）在反比例函数y=的图象上，横坐标和纵坐标都是整数的点共有多少个？ 20．（8分）已知反比例函数y=的图象在第二、四象限． (1)求m的取值范围； (2)若该函数的图象经过点(2,−1)，求m的值，并写出函数的解析式． 21．（8分）如图，平行四边形的顶点与原点重合，边在轴的正半轴上，已知点，，反比例函数的图像经过对角线的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，分别交，，于点，，；要求：不写作法，标明字母并保留作图痕迹 (3)在（2）中所作图的基础上，求的值． 22．（9分）点A在反比例函数y=（x>0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C． (1)求矩形ABOC的面积； (2)若AB=3AC，求点A的坐标． 23．（10分）在研究电流和电阻的物理实验中，某蓄电池的电压为定值，实验人员记录了使用此蓄电池时，用电器的电流与电阻的关系如下图： (1)求出该函数的表达式； (2)当电流为时，电阻是__________Ω；当电阻是时，电流是__________A； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻最小是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第二十七章 反比例函数 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】B 解题步骤： ① 反比例函数的一般形式为y=（k≠0），即y与x的乘积为常数。 ② A中y=是一次函数；C中y=x²是二次函数；D中y=不是y=的形式。 ③ B中y=符合y=（k=−3≠0），是反比例函数，故选B。 【知识点睛】反比例函数的一般形式为 y=（k≠0），即 y 与 x 的乘积为常数。判断时看能否化为 ：y=是反比例函数；y=是一次函数，y=x² 是二次函数。易错点：不是形式。 2. 【答案】B 解题步骤： ① 反比例函数y=的图象在第二、四象限时，k<0。 ② 所以k−1<0，解得k<1。 ③ 故选B。 【知识点睛】反比例函数 y=的图象：k>0 时在一、三象限，k<0 时在二、四象限。由图象所在象限确定 k 的符号，再解不等式求参数范围。 3. 【答案】A 解题步骤： ① 反比例函数y=中，k=6>0。 ② k>0时，图象位于第一、三象限。 ③ 故选A。 【知识点睛】反比例函数图象的位置由k决定：k>0时图象在第一、三象限，k<0时在第二、四象限。 4. 【答案】A 解题步骤： ① y=中，k=−2<0，图象在第二、四象限。 ② 当x>0时，图象在第四象限，y<0，此时y随x的增大而增大。 ③ 故选A。 【知识点睛】反比例函数增减性：k>0时在每个象限内y随x增大而减小；k<0时在每个象限内y随x增大而增大。注意要分象限讨论。 5. 【答案】D 解题步骤： ① 反比例函数y=图象上的点满足xy=4。 ② 逐项验证：A：1×(−4)=−4；B：2×4=8；C：2×()=1，均不等于4。 ③ D：8×()=4，满足xy=4，故选D。 【知识点睛】判断点是否在反比例函数图象上：把点的横纵坐标相乘，若xy=k（k为比例系数），则点在图象上。 6. 【答案】A 解题步骤： ① 反比例函数y=的图象经过点(2,−4)，则该点坐标满足xy=k。 ② k=2×(−4)=−8。 ③ 故选A。 【知识点睛】求反比例函数的比例系数k：图象经过的点坐标代入xy=k即可，即k等于点的横坐标与纵坐标之积。 7. 【答案】C 解题步骤： ① 由图象数据：1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=3×100=300，F与l的乘积恒为300。 ② 所以F与l成反比例关系，A正确；l增大时F减小，B正确；l从1m增加到4m时，F从300N减小到=75N，减小了225N，D正确。 ③ C：l从1m到2m拉力减小150N，但从2m到3m只减小50N，所以“每增大1m就减小150N”错误，故选C。 【知识点睛】反比例关系判断：两个量的乘积为定值即成反比例。逐项验证时要结合函数图象与具体数值，不能用“约等于”代替精确计算。 8. 【答案】C 解题步骤： ① 直线y=2x+4交y轴于点C(0,4)；过C作y轴的垂线y=4交双曲线y=于点D，由=4得x=，所以D(,4)，CD=。 ② 联立y=2x+4与y=，得2x²+4x−6=0，即x²+2x−3=0，解得x=1或x=−3，所以A(1,6)、B(−3,−2)。 ③ S△ABD=×CD×(yA−yB)=×()×(6+2)=6，故选C。 【知识点睛】直线与双曲线的综合题：先求交点坐标（联立方程组），再以CD为底、以A、B到CD的竖直距离为高求三角形面积。 9. 【答案】B 解题步骤： ① 设点A的坐标为(x,y)，则AB=|y|，OB=|x|。 ② △AOB的面积S=×OB×AB=×|x|×|y|=3。 ③ 所以|xy|=6；点A在y=，对照选项，故选B。（k>0）上，k=xy=6。 【知识点睛】反比例函数k的几何意义：过双曲线上一点作坐标轴的垂线，与原点围成的直角三角形面积=|k|。本题S=3，所以k=6。 10. 【答案】C 解题步骤： ① 设点D的横坐标为2a，则D(2a,)。 ② C为AO的中点，CE∥AB，由三角形中位线定理得E为OB的中点，所以BE=a。 ③ 在△BDE中，BD=，BE=a，S△BDE=×BE×BD=×a×()=。 ④ 由题意=，解得k=5，故选C。 【知识点睛】反比例函数与几何综合：利用中点与平行关系得到线段的比例，用含k的式子表示三角形面积，再根据已知面积列方程求k。 11. 【答案】＞ 解题步骤： ① 把x=2代入y=，得y₁==1.5。 ② 把x=5代入，得y₂==0.6。 ③ 因为1.5>0.6，所以y₁>y₂。 【知识点睛】比较反比例函数值：把横坐标代入解析式求出函数值再比较。也可利用k>0时在第一象限内y随x增大而减小判断：2<5，所以y₁>y₂。 12. 【答案】1（答案不唯一） 解题步骤： ① 反比例函数y=，当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小。 ② 所以取k=1（只要是正数即可，答案不唯一）。 【知识点睛】反比例函数增减性：k>0时在每一象限内y随x增大而减小；k<0时在每一象限内y随x增大而增大。 13. 【答案】(−2,−2) 解题步骤： ① 正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，所以两个交点关于原点对称。 ② 点A(2,2)关于原点的对称点为(−2,−2)。 ③ 所以点B的坐标为(−2,−2)。 【知识点睛】正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点对称：若交点为(x,y)，则另一个交点为(−x,−y)。也可联立方程组求解验证。 14. 【答案】m>−2 解题步骤： ① 反比例函数y=的图象在第一、三象限，则k=m+2>0。 ② 解得m>−2。 【知识点睛】由图象所在象限确定k的符号：第一、三象限k>0，第二、四象限k<0，据此列不等式求参数范围。 15. 【答案】20 解题步骤： ① 由题干，AM⊥x轴于点M，设A(m,n)，则=AM:OM=，即n=。 ② 点A在y=上，所以mn=12，代入得m×()=12，解得m²=9，m=3（负值舍去），n=4。 ③ OA==5，菱形四条边相等，周长=4×5=20。 【知识点睛】反比例函数与菱形的综合：由点坐标的比例关系设点坐标，代入反比例函数求坐标，再用勾股定理求边长，最后求周长。 16.【答案】；(2)25小时 解题步骤： ① (1)放水总量=每小时放水量×放水时间，即xy=500。 ② (1)所以y与x的函数关系式为y=。 ③ (2)把x=20代入，得y==25（小时）。 ④ (2)答：每小时放水20m³时，需要25小时放完。 【知识点睛】反比例函数的实际应用：总量=速度×时间，两者成反比例。已知其中一个量，代入关系式即可求另一个量。 17.【答案】2；(3)x=6 解题步骤： ① (1)设y=，把x=3、y=4代入，得k=3×4=12。 ② (1)所以y与x的函数关系式为y=。 ③ (2)把x=6代入，得y==2。 ④ (3)把y=2代入，得2=，解得x=6。 【知识点睛】待定系数法求反比例函数：由一组x、y的值求出k=xy；再根据解析式，已知一个量代入求另一个量。 18. 【答案】1.6m 解题步骤： ① 由杠杆原理F₁·l₁=F·l，得阻力×阻力臂=动力×动力臂。 ② 阻力矩=3200×0.25=800(N·m)，动力F=500N，所以动力臂l==1.6m。 ③ 答：小华应选择动力臂至少为1.6m的撬棍。 【知识点睛】杠杆原理是反比例关系的实际应用：力矩=力×力臂，阻力矩一定时，动力与动力臂成反比例。 19. 【答案】8个 解题步骤： ① 点(x,y)在y=上，xy=6，x、y都是整数，所以x、y是6的约数。 ② x的取值有±1、±2、±3、±6（对应y的值为±6、±3、±2、±1），共8组。 ③ 所以横纵坐标都是整数的点共有8个。 【知识点睛】反比例函数图象上的整点问题：xy=k为定值，整点对应k的约数分解。注意正负因数都要考虑。 20. 【答案】(1)m<；(2)m=，y= 解题步骤： ① (1)图象在第二、四象限，则k=2m−1<0，解得m<。 ② (2)图象经过点(2,−1)，代入y=，得−1=。 ③ (2)解得2m−1=−2，m=，所以函数的解析式为y=。 【知识点睛】反比例函数参数问题：由象限确定k的符号求范围；图象经过某点则坐标满足解析式，代入求参数。 21.【答案】；(2)ON=3 解题步骤： ① (1)平行四边形OABC中，BC=OA=4，C(2,6)，所以B(6,6)。 ② (1)D为对角线AC的中点，坐标为(,)=(3,3)。 ③ (1)D在反比例函数y=上，k=3×3=9，表达式为y=。 ④ (2)设N(x,0)，N在OD的垂直平分线上，所以NO=ND：x²=(x−3)²+9，解得x=3，ON=3。 【知识点睛】反比例函数与平行四边形综合：用中点坐标公式求对角线交点，代入反比例函数求k；垂直平分线上的点到线段两端距离相等，列方程求交点位置。 22. 【答案】(1)6；(2)A(,3) 解题步骤： ① (1)矩形ABOC的面积=AB×AC=|x|×|y|=xy。 ② (1)点A在y=（x>0）上，xy=6，所以矩形ABOC的面积为6。 ③ (2)设A(x,y)，AB=3AC，即y=3x；又xy=6，所以x×(3x)=6，x²=2，x=（负值舍去），y=3。 ④ (2)所以点A的坐标为(,3)。 【知识点睛】k的几何意义：过双曲线上一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|。求坐标时联立矩形面积关系与比例关系。 23.【答案】(1)I=；(2)7.2Ω；3.6A；(3)3.6Ω 解题步骤： ① (1)设I=，由图取点(18,2)，得k=18×2=36，所以I=。 ② (2)把I=5代入，得5=，R==7.2Ω；把R=10代入，得I==3.6A。 ③ (3)电流不得超过10A，即≤10，解得R≥3.6Ω，所以可变电阻最小是3.6Ω。 【知识点睛】欧姆定律 I=中，电压一定时电流与电阻成反比例。由图象上一点求比例系数 k=UR，再代入解析式；解不等式时两边同乘正数不变号。易错点：注意符号方向。 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $