第二十七章 反比例函数（单元自测卷·福建专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷聚焦九年级反比例函数单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合台灯亮度调节、客车行驶等生活情境与矩形几何综合问题，全面考查函数定义、图像性质及实际应用，适配福建中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|反比例函数定义、图像性质、点坐标判断|如第2题结合一次函数图像辨析，考查几何直观与抽象能力| |填空题|6/24|实际应用（近视眼镜度数与焦距）、几何综合（矩形顶点在双曲线上）|第14题创新提出“等距点”概念，培养创新意识| |解答题|9/86|表达式求解、图像交点、行程问题、图形过弯道探究|第24题以弯道为背景，融合几何与函数，发展推理能力与模型意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知点（3，-2）在反比例函数的图像上，则下列各点中，也在反比例函数图像上的是（    ） A．（3，-3） B．（-2,3） C．（1,6） D．（-2，-3） 4．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 6．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 8．点，是反比例函数第一象限图象上的两点，设，则不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 9．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，、两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接.若的面积为3，则；②若，则；③若，则其中真命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知反比例函数的图象经过点，则的值是______． 12．已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）成反比，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则镜片焦距为时，近视眼镜的度数为______度． 13．如图，矩形的边与y轴平行，顶点A和C的坐标分别为和，反比例函数的图象同时经过点B与点D，则k的值为______． 14．我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是_____． 15．如图，已知点A、B在双曲线y＝（m＞0）上，点C、D在双曲线y＝（n＜0）上，AC∥BD∥y轴，AC＝3，BD＝4，AC与BD的距离为7，则m﹣n的值为_____． 16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为______ 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． (2)求当，且时自变量x的取值范围． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点， (1)求m的值； (2)根据图象，求出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 19．（8分）已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 21．（8分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：h）的函数关系如图所示．其中． (1)求平均速度关于所用时间的函数表达式，并写出的取值范围． (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时24分至11时（含10时24分与11时）之间到达乙地，求客车平均速度的取值范围． 22．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．且与反比例函数的图象交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围； (3)设点是轴上的点，若的面积等于12，直接写出点的坐标． 23．（10分）如图，反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点，，．连接，，，，的面积分别为，． (1)直接写出的取值范围，并探究与之间的关系． (2)当时， ①求k的值及点，的坐标； ②试判断的形状，并求的面积． 24．（12分）小嵊和小州两位九年级同学对图形过弯道时的最大尺寸展开了探究： 素材提供： 图1是弯道示意图，它可以看成由一个直角和反比例函数()的图象组成，其中，它的两边分别平行轴和轴，第一象限的角平分线经过点，交反比例函数的图象于点，，． 问题解决： （1）反比例函数中的值为___________； （2）小嵊将线段按如图2摆放，，两点都在反比例函数()的图象上，的中点恰好与点重合，且，则此时线段刚好不能通过弯道，求此时点的坐标． 探究提升： （3）小州借助同样的思路将矩形按如图3摆放，，两点都在反比例函数()的图象上，的中点恰好与点重合，且，矩形刚好不能通过弯道．若，要使矩形能通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，，） 25．（14分）如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（福建专用） 第二十七章 反比例函数（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B D A C A D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11． 12 12． 250 13. 9 14. 15. 12 16. ．（或） 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分） 【详解】（1）解：（1）把点代入表达式， 得， ∴， ∴反比例函数的表达式是．................4分 （2）当时，，解得． 由图象可知，当，且时， 自变量x的取值范围是或．................8分 18． （8分） 【详解】（1）解：将代入反比例函数（）， 得， 反比例函数为， 将代入反比例函数， 得；................4分 （2）解：根据图象得，一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是或．................8分 19． （8分） 【详解】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴；................4分 （2）解：当时，．................8分 20． （8分） 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，顶点与原点重合，点， ∴， ∵点， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为；................4分 （2）解：当点沿轴正半轴平移个单位长度后，得到的点坐标为， 将代入， 得， 解得．................8分 21． （10分） 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，将代入中， ∴， 解得：， 与的函数表达式为； ∵， ∴将和分别代入中， 得和， ∴， 与的函数表达式为；................5分 （2）解：当时，(千米/小时)， 当时，(千米/小时)， 客车平均速度的范围为．................10分 22． （10分） 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 设直线的函数表达式为， 将点和点代入得：， 解得：， 直线的函数表达式为；................4分 （2）解：函数图象，当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围为；................6分 （3）解：设点的坐标为， 直线与轴交于点， 令，则，解得：， ， ， 的面积等于12， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或．................10分 23． （12分） 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴ 当时，， 由图可知，即， 解得： ∴． ∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴，， ∴．................4分 （2）①当时， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，．................8分 ②是直角三角形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵，， ∴，， ∴．................12分 24.（12分） 【详解】解：（1）过点作轴于点， ∵平分第一象限， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 将代入得， 故答案为：1；................2分 （2）延长直线，分别交轴于点， ∵，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 由（1）可得反比例函数解析式为： 联立得 解得：， ∴；................7分 （3）同（2）可得直线， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴为平行四边形， ∴， 过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∵， ∴设直线， 则， 解得：， ∴直线， 则联立， 解得：， ，， ∴， ∴的最大整数值为4．................12分 25.（14分） 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， ， ， 当时，， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为；................3分 （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点， 设点，，则， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， ，， ， 将点沿着射线方向平移个单位长度得到点，连接，， 则四边形是平行四边形，则， ， 当点、、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ，， 直线的解析式为，， 由，解得， ，则， 的最小值为，此时；................10分 （3）解：①当在左侧时，如图所示， 设与轴交于点，则， ，则， 当时，， ，则， 过点作轴，垂足为， ，，， ， ，则， ， ， ，即点、、共线， 则点为直线与反比例函数图象的交点， 由得， 解得或（舍去）， 点的横坐标为；................12分 ②当在右侧时，如图，轴，则， 则， ，则， 直线的解析式为， 由得， 解得或（舍去）， 在右侧的点横坐标为． 综上分析，符合条件的点的横坐标为或．................14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是二次函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； B、的分母不是的单项式，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； C、，符合反比例函数定义，该选项符合题意； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 2．已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【详解】解：函数中y随x的增大而减小， ，且函数的图象经过第二、四象限， 函数的反比例系数大于零， 反比例函数图象经过第一、三象限， 故选：B． 3．已知点（3，-2）在反比例函数的图像上，则下列各点中，也在反比例函数图像上的是（    ） A．（3，-3） B．（-2,3） C．（1,6） D．（-2，-3） 【答案】B 【详解】∵反比例函数y=图象过点（3，-2）， ∴-2=，即k=-6， A选项：∵3×（-3）=-9≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B选项：∵-2×3=-6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； C选项：∵1×6=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D选项：∵-2×（-3）=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选B． 4．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象经过点，不经过点，则选项A错误； ∵反比例函数中的， ∴图象位于第一、三象限；则选项C错误； 在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，选项D正确； 若，或，则；若，则，则选项B错误． 6．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 7．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 8．点，是反比例函数第一象限图象上的两点，设，则不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【详解】解：点， 是反比例函数第一象限图象上的两点， 当时，， ∴，， ∴， ， ， 当时，， ∴，， ∴ ， 综上，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，不过第一象限； 故选：A． 9．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，、两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接.若的面积为3，则；②若，则；③若，则其中真命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】∵反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵、两点在该图象上， ∴y1=，y2=， ∴x1y1=k，x2y2=k， ①过点作轴，为垂足， ∴S△AOC==， ∴，故①正确； ②若，则点A在第二象限，点B在第四象限，所以，故②正确； ③∵， ∴，故③正确， 故选D. 10．在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴双曲线在二，四象限，且在每一个象限内，随值的增大而增大， ∵点，，在双曲线上，且， ∴； 故选：D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知反比例函数的图象经过点，则的值是__________． 【答案】12 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得，， 故答案为：12． 12．已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）成反比，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则镜片焦距为时，近视眼镜的度数为______度． 【答案】250 【详解】解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）成反比， ∴可设． ∵当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为， ∴， 解得：， ∴， 当镜片焦距为时，即， ∴． 故答案为：250． 13．如图，矩形的边与y轴平行，顶点A和C的坐标分别为和，反比例函数的图象同时经过点B与点D，则k的值为______．    【答案】9 【详解】解：∵四边形是矩形，与轴平行， ∴轴，，， ∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 同理，， ∵点在反比例函数， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 14．我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是_____． 【答案】 【详解】由题意可知，点B与点A关于直线y=x对称， ∵点A（2，4）， ∴点B（4，2）， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知点A、B在双曲线y＝（m＞0）上，点C、D在双曲线y＝（n＜0）上，AC∥BD∥y轴，AC＝3，BD＝4，AC与BD的距离为7，则m﹣n的值为_____．    【答案】12 【详解】解：∵点A、B在双曲线y＝（m＞0）上，点C、D在双曲线y＝（n＜0）上， ∴设A（x，），则C（x，）． ∵AC与BD的距离为7， ∴B（x﹣7，），D（x﹣7，）． ∵AC＝3，BD＝4， ∴﹣＝3，﹣＝4， ∴， ∴﹣3x＝4x﹣28，解得x＝4， ∴m﹣n＝12． 故答案为：12． 16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为______ 【答案】/ 【详解】解：如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为.    ∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴联立 ，解得 ， ∴点的坐标为. ， ， ∴是等腰直角三角形. ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为， ∵点在反比例函数上, ， 解得或(负值舍去). ∴点的坐标为 ； ， ， ， ， ， 设 则 ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数 上, ， 解得 (负值舍去). ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 以此类推，可得点的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． (2)求当，且时自变量x的取值范围． 【答案】(1)， 反比例函数图象的另一支如图所示． (2)或 【详解】（1）解：（1）把点代入表达式， 得， ∴， ∴反比例函数的表达式是． （2）当时，，解得． 由图象可知，当，且时， 自变量x的取值范围是或． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点， (1)求m的值； (2)根据图象，求出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：将代入反比例函数（）， 得， 反比例函数为， 将代入反比例函数， 得； （2）解：根据图象得，一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是或． 19．（8分）已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，顶点与原点重合，点， ∴， ∵点， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当点沿轴正半轴平移个单位长度后，得到的点坐标为， 将代入， 得， 解得． 21．（8分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：h）的函数关系如图所示．其中． (1)求平均速度关于所用时间的函数表达式，并写出的取值范围． (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时24分至11时（含10时24分与11时）之间到达乙地，求客车平均速度的取值范围． 【答案】(1)与的函数表达式为 (2)客车平均速度的范围为 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，将代入中， ∴， 解得：， 与的函数表达式为； ∵， ∴将和分别代入中， 得和， ∴， 与的函数表达式为； （2）解：当时，(千米/小时)， 当时，(千米/小时)， 客车平均速度的范围为． 22．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．且与反比例函数的图象交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围； (3)设点是轴上的点，若的面积等于12，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 设直线的函数表达式为， 将点和点代入得：， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：函数图象，当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围为； （3）解：设点的坐标为， 直线与轴交于点， 令，则，解得：， ， ， 的面积等于12， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 23．（10分）如图，反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点，，．连接，，，，的面积分别为，． (1)直接写出的取值范围，并探究与之间的关系． (2)当时， ①求k的值及点，的坐标； ②试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)， (2)①，，；②是直角三角形， 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴ 当时，， 由图可知，即， 解得： ∴． ∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴，， ∴． （2）①当时， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，． ②是直角三角形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵，， ∴，， ∴． 24．（12分）小嵊和小州两位九年级同学对图形过弯道时的最大尺寸展开了探究： 素材提供： 图1是弯道示意图，它可以看成由一个直角和反比例函数()的图象组成，其中，它的两边分别平行轴和轴，第一象限的角平分线经过点，交反比例函数的图象于点，，． 问题解决： （1）反比例函数中的值为___________； （2）小嵊将线段按如图2摆放，，两点都在反比例函数()的图象上，的中点恰好与点重合，且，则此时线段刚好不能通过弯道，求此时点的坐标． 探究提升： （3）小州借助同样的思路将矩形按如图3摆放，，两点都在反比例函数()的图象上，的中点恰好与点重合，且，矩形刚好不能通过弯道．若，要使矩形能通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，，） 【答案】（1）1；（2）；（3）4 【详解】解：（1）过点作轴于点， ∵平分第一象限， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 将代入得， 故答案为：1； （2）延长直线，分别交轴于点， ∵，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 由（1）可得反比例函数解析式为： 联立得 解得：， ∴； （3）同（2）可得直线， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴为平行四边形， ∴， 过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∵， ∴设直线， 则， 解得：， ∴直线， 则联立， 解得：， ，， ∴， ∴的最大整数值为4． 25．（14分）如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2)的最小值为，此时； (3)符合条件的点的横坐标为或． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， ， ， 当时，， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点， 设点，，则， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， ，， ， 将点沿着射线方向平移个单位长度得到点，连接，， 则四边形是平行四边形，则， ， 当点、、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ，， 直线的解析式为，， 由，解得， ，则， 的最小值为，此时； （3）解：①当在左侧时，如图所示， 设与轴交于点，则， ，则， 当时，， ，则， 过点作轴，垂足为， ，，， ， ，则， ， ， ，即点、、共线， 则点为直线与反比例函数图象的交点， 由得， 解得或（舍去）， 点的横坐标为； ②当在右侧时，如图，轴，则， 则， ，则， 直线的解析式为， 由得， 解得或（舍去）， 在右侧的点横坐标为． 综上分析，符合条件的点的横坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知点（3，-2）在反比例函数的图像上，则下列各点中，也在反比例函数图像上的是（    ） A．（3，-3） B．（-2,3） C．（1,6） D．（-2，-3） 4．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 6．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 8．点，是反比例函数第一象限图象上的两点，设，则不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 9．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，、两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接.若的面积为3，则；②若，则；③若，则其中真命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知反比例函数的图象经过点，则的值是______． 12．已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）成反比，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则镜片焦距为时，近视眼镜的度数为______度． 13．如图，矩形的边与y轴平行，顶点A和C的坐标分别为和，反比例函数的图象同时经过点B与点D，则k的值为______． 14．我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是_____． 15．如图，已知点A、B在双曲线y＝（m＞0）上，点C、D在双曲线y＝（n＜0）上，AC∥BD∥y轴，AC＝3，BD＝4，AC与BD的距离为7，则m﹣n的值为_____． 16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为______ 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． (2)求当，且时自变量x的取值范围． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点， (1)求m的值； (2)根据图象，求出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 19．（8分）已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 21．（8分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：h）的函数关系如图所示．其中． (1)求平均速度关于所用时间的函数表达式，并写出的取值范围． (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时24分至11时（含10时24分与11时）之间到达乙地，求客车平均速度的取值范围． 22．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．且与反比例函数的图象交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围； (3)设点是轴上的点，若的面积等于12，直接写出点的坐标． 23．（10分）如图，反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点，，．连接，，，，的面积分别为，． (1)直接写出的取值范围，并探究与之间的关系． (2)当时， ①求k的值及点，的坐标； ②试判断的形状，并求的面积． 24．（12分）小嵊和小州两位九年级同学对图形过弯道时的最大尺寸展开了探究： 素材提供： 图1是弯道示意图，它可以看成由一个直角和反比例函数()的图象组成，其中，它的两边分别平行轴和轴，第一象限的角平分线经过点，交反比例函数的图象于点，，． 问题解决： （1）反比例函数中的值为___________； （2）小嵊将线段按如图2摆放，，两点都在反比例函数()的图象上，的中点恰好与点重合，且，则此时线段刚好不能通过弯道，求此时点的坐标． 探究提升： （3）小州借助同样的思路将矩形按如图3摆放，，两点都在反比例函数()的图象上，的中点恰好与点重合，且，矩形刚好不能通过弯道．若，要使矩形能通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，，） 25．（14分）如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $