精品解析：北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期12月学科随堂诊断数学试题

首都师大附中高二年级数学学科随堂诊断 2025年12月 一､选择题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则= A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 两位射击运动员在射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 9 7 8 5 4 9 10 7 4 乙 8 5 7 8 7 6 10 6 7 7 用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的平均数，用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的标准差，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. 1023 B. 1535 C. 1538 D. 2047 6. “序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是 A. B. C. D. 7. 在等比数列中，，记，则数列（ ） A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 8. 如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 9. 首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列. 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二､填空题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示.则时速在的汽车大约有______辆. 11. 某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第8列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为_________. 12. 设数列满足，且，则数列的前8项的和为______. 13. 如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，他在这10场比赛中得分的分位数为______分. 14. 若公差为的无穷等差数列的前项和为，则下列说法：（1）若，则数列有最大项；（2）若数列有最大项，则；（3）若数列是递增数列，则对任意都有；（4）若对任意都有，则数列是递增数列；其中正确的是______.（选序号）. 15. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，. ①记为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则中最大的是_________. ②记为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则中最大的是_________. 三､解答题共4小题，共49分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，且公比，求数列的前项和． 17. 已知椭圆的左､右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆，圆心为. （1）求椭圆的方程； （2）若圆与轴相切，求圆心的坐标； （3）已知点，求椭圆上的点到点距离的最小值. 18. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的离心率和短轴长； （2）已知点，直线和直线分别与轴交于，，与轴交于，，若，求直线的斜率. 19. 已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”. （1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由； （2）证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”； （3）已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大附中高二年级数学学科随堂诊断 2025年12月 一､选择题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则= A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：在等比数列中，由知，，故选A． 考点：等比数列的性质． 2. 已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F， 所以等于点到直线的距离， 所以， 故选：D. 3. 已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先求得数列的，再结合等比中项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列公差为d， 则， 又， 所以， 即， 若，，成等比数列，则， 则， 即 解得： 故选：C 4. 两位射击运动员在射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 9 7 8 5 4 9 10 7 4 乙 8 5 7 8 7 6 10 6 7 7 用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的平均数，用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的标准差，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】运用平均数和标准差的公式进行计算并比较即可. 【详解】， ， ， ， 显然，. 故选：C 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. 1023 B. 1535 C. 1538 D. 2047 【答案】B 【解析】 【分析】根据的关系可得，进而可得从第二项起，成等比数列，公比为2，根据等比数列公式即可求解. 【详解】由得，进而可得：，当时，，故从第二项起，成等比数列，公比为2，故， 故选：B 6. “序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：两位“序数”共有个，其中比大的“序数”有个，所以在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是，故选A. 考点：古典概型. 7. 在等比数列中，，记，则数列（ ） A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而结合等差数列的求和公式可得，设，分析可得，进而求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由， 则，解得，， 则， 则 ， 设，则， 所以， 则时，，即， 当时，，即， 则，则为最大项， 此时为正数项，且在正数项中最大； 再由,，，因此为最小项. 故选：C. 8. 如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为，进而结合题意得，设，则，再待定系数，结合已知数据计算即可. 【详解】解：根据题意，设双曲线的标准方程为， 因为，，，， 所以，设， 则点在双曲线上， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，解得， 所以. 故双曲线的方程近似为. 故选：A 9. 首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列. 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】代入特殊值，可判断①是否正确；令 ，，可计算为奇数，最终归纳出，可判断②是否正确；时，可得 ，同理归纳出，可判断③是否正确；令，构造函数，根据且，判断函数的单调性，可判断④是否正确. 【详解】对于①：当和时，，此时是等比数列，所以①正确； 对于②：，，， 则，当为奇数时， 为奇数，当为偶数时，为奇数， 所以且是奇数时，为奇数， 同理，也为奇数，所以②正确； 对于③：时，，当时，，所以， 同理，故不存在使得，所以③错误； 对于④：，令，因为， 所以为开口向上的抛物线，方程的两个根为和 ()， 当时，可证得且， 因为，所以，由于的图象是开口向上的抛物线，当时，， 因此，即， 又因为函数在上单调递增，且是其不动点， 故由可推得，即， 通过归纳法可知，对所有，都有， 因此对所有恒成立，是递减数列，所以④正确； 故选：. 二､填空题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示.则时速在的汽车大约有______辆. 【答案】 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得正确答案. 【详解】由图可知，时速在的汽车大约有辆. 故答案为： 11. 某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第8列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为_________. 【答案】350 【解析】 【分析】根据随机数表的读法依次写出符合题意的编号即可. 【详解】由题意知，从第1行第8列的数字开始，被抽到的同学的编号依次为： ， 所以第5个被抽到的同学的编号为350. 故答案为：350 12. 设数列满足，且，则数列的前8项的和为______. 【答案】 【解析】 【分析】由累加法先求出数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，再结合裂项公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 13. 如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，他在这10场比赛中得分的分位数为______分. 【答案】9 【解析】 【分析】将比赛得分从小到大排列，结合百分位数定义求其分位数. 【详解】根据茎叶图将比赛得分从小到大排列：， 因为， 所以这组数据的分位数是. 故答案为：9 14. 若公差为的无穷等差数列的前项和为，则下列说法：（1）若，则数列有最大项；（2）若数列有最大项，则；（3）若数列是递增数列，则对任意都有；（4）若对任意都有，则数列是递增数列；其中正确的是______.（选序号）. 【答案】（1）（4） 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式可得，可看作关于的二次函数，由二次函数的性质逐一验证可得. 【详解】解：由等差数列的求和公式可得 对于（1）若，由二次函数的性质可得数列有最大项，故正确； 对于（2）数列-1，-1，-1，...-1，有最大项，有，故不正确； 对于（3）若数列是递增数列，则对应的抛物线开口向上，但不一定有任意均有，故错误； 对于（4）若对任意都有，则对应的抛物线开口向上，，可得数列是递增数列，故正确； 故答案为：（1）（4） 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属于基础题. 15. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，. ①记为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则中最大的是_________. ②记为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则中最大的是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作图比较中点连线的纵坐标的大小得中最大值，分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率得中最大值. 【详解】作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以中最大的是， 分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以中最大的是 三､解答题共4小题，共49分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，且公比，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解； （2）利用等差数列及等比数列求和公式即得. 【小问1详解】 设的公差为，则， 解得， ∴； 【小问2详解】 因为，，所以，， 由题可得， 所以， ∴ . 17. 已知椭圆的左､右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆，圆心为. （1）求椭圆的方程； （2）若圆与轴相切，求圆心的坐标； （3）已知点，求椭圆上的点到点距离的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和离心率求出，进而求出，得到椭圆方程； （2）由已知得到点或，代入椭圆方程求出，圆心； （3）设为椭圆上任意一点，将椭圆方程代入求最值. 【小问1详解】 因为椭圆的左右焦点分别为，所以， 又离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设分别位于轴的左右两侧， 若，则，由，解得，此时圆心； 若，则，由，解得，此时圆心， 所以圆心的坐标为或. 【小问3详解】 设为椭圆上任意一点，则， ， 当时，. 18. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的离心率和短轴长； （2）已知点，直线和直线分别与轴交于，，与轴交于，，若，求直线的斜率. 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的标准方程求出，利用离心率公式求出离心率，利用短轴长为求出短轴长； （2）分别按照直线的斜率为0和不为零两种情况讨论求解时，当直线的斜率为0时，求出直线的方程，求出直线的方程及的坐标，求出直线的方程及的坐标，此时点和重合，点和重合，求出，，继而求出，，满足，则直线的斜率为； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，直线和椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，由得到的范围，写出和，求出和，由得到，求出直线的方程及和的坐标，同理得到和的坐标，求出和代入整理后得到关于的方程，解出，由求出的值. 【小问1详解】 ，， ，，短轴长为； 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，直线的方程为，，， ， 直线的方程为，， ，直线的方程为，， 此时点和重合，点和重合， ，， ，， ，满足题意，此时直线的斜率为； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 设， 联立，消去，得到， 整理得， ，或， 直线的方程为的斜率为， 或，且， ， 在上， ， ， ， ，， ，， ，， ，直线的方程为， 设，，则， 设，，则， 同理得到，， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，， 或， 或， 或， ，； 综上可知，直线的斜率为或. 19. 已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”. （1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由； （2）证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”； （3）已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值. 【答案】（1） 由于为等差数列，所以，为等比数列，， 任意的，都有， 故，所以数列是为“数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“数列”， （2） 先证明必要性： 因为为“数列”，所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，，，当时，有 ， 所以， 又， 所以， 又， 故，即，故， 再证明充分性： 对于任意的，，，当时，有， 即， 对于任意的,，则有， 即可，所以为“数列”， （3）. 【解析】 【分析】（1）根据等差等比的求和公式可得，，即可利用定义以及作差法求解， （2）利用累加法，结合放缩法可得，，即可求证必要性，取即可求证充分性， （3）根据定义可得为单调递增数列，且，进而得，即可根据单调性得最小值为，结合放缩法和等差求和公式可得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 数列为“严格数列”，且对任意的，有，即， 设，则为单调递增数列，且， 所以 因为，.所以， 所以存在时，， 所以，当数列为单调递减数列， 当 因此存在最小值，且最小值为， 由于，所以，且 所以，即， ，即 所以 ， 当时，， 当时，， 当时， 所以当时，的最大值为， 此时，因为， 所以数列的最小项的最大值为 【点睛】关键点点睛：由得，利用累加法和放缩法得是证明第（2）问的关键. 由，设，则为单调递增数列，且，由，得存在时，， 所以，当数列为单调递减数列，当是第（3）问的求解关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $