第12讲 等可能条件下的概率 讲义 2026-2027 学年苏科版九年级数学上册

第12讲 等可能条件下的概率 优等生讲义 2026-2027 苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解等可能事件：试验结果有限且每个结果出现的可能性相等 · 掌握概率公式：P(A)=事件A包含的结果数/所有等可能结果总数 · 能用树状图或列表法列举所有等可能结果求概率 · 理解几何概率：事件概率与区域长度、面积或体积成正比 · 能运用概率知识解决转盘、摸球等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.4.1 等可能性 等可能事件：试验中所有可能出现的结果是有限个，且每个结果出现的可能性相等 随机事件发生的可能性有大有小 树状图：按步骤逐层列出所有可能结果 列表法：两步试验时用表格列举所有结果 概念辨析例题：下列事件中，是等可能事件的是（　　）A．抛掷一枚图钉，钉尖朝上或朝下 B．抛硬币正面朝上 C．射击命中10环或9环 D．掷骰子出现6点 解析：等可能要求每个结果可能性相等。抛硬币正反面可能性相等，是等可能事件 ☆ 2.4.2 等可能条件下的概率（一） 概率公式：P(A)=m/n，n为所有等可能结果总数，m为事件A包含的结果数 摸球问题：P(红球)=红球数/总球数 概率范围：0≤P(A)≤1，必然事件P=1，不可能事件P=0 概率与频率的关系：大量重复试验中频率稳定在概率附近 概念辨析例题：袋中有3个红球和2个白球，从中任取一球是红球的概率为（　　）A．1/5 B．2/5 C．3/5 D．2/3 解析：P(红球)=3/(3+2)=3/5 ☆ 3.4.3 等可能条件下的概率（二） 几何概率：P(A)=事件A对应的区域长度(面积)/总区域长度(面积) 转盘问题：指针落在某区域的概率=该区域面积/转盘总面积 格点移动问题：路径概率=符合条件路径数/总路径数 面积型概率：阴影部分面积/总面积 概念辨析例题：转盘被等分为6个扇形，其中红色3个，则指针停在红色区域的概率为（　　）A．1/6 B．1/3 C．1/2 D．2/3 解析：P(红色)=3/6=1/2 📋 知识总结表 类型 适用场景 公式/方法 等可能事件 结果有限且等可能 判断每个结果可能性是否相等 古典概率 摸球、抽牌等 P(A)=m/n 几何概率 转盘、面积问题 P(A)=区域面积/总面积 两步试验 两次摸球、转盘 树状图或列表法 ⚠️ 核心考点 【考点1：等可能性】 · 判断等可能事件：结果有限+每个结果可能性相等 · 树状图按步骤画，注意区分放回与不放回 · 列表法适用于两步试验，行和列分别表示两步 1．（2025春•温江区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是20%”是指明天有20%的时间会下雨 C．某位体育老师参加温江区半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 2．（2024春•同步）在等可能试验过程中，遇到分步或交叉试验时，往往借助于“_______ 图”的方法来分析所有等可能结果，也可用的 _______ 方法来分析所有的等可能结果． 3．判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）一个班级里有同月同日生的学生是不可能的； （2）今天上午是阴天，所以下午一定会下雨； （3）小明的各门功课成绩都比小亮低，所以小明的功课总成绩一定比小亮低； （4）甲市人均月收入5000元，乙市人均月收入4500元，所以甲市的张文比乙市的李武收入高． 4．（2025春•宝山区期末）我校九年级学生在参加“青春有梦”演讲比赛中，有4位女生和6位男生获奖，现从中任选一位学生代表去领奖，则选中 _____ 生可能性大．（填写“女”或“男”） 5．（2024•镇海区校级三模）一个袋子中有黑球、白球共10个，这些球除颜色外其余都相同，规定：每次只能从袋子里摸一个球出来，看过颜色后必须放回去．小明同学按规定摸出一个球．记录颜色，放回去，重复该步骤2000次．最终记录结果为黑球620次，白球1380次．由此可以估计．袋子里有 _____ 个白球． 6．从一副扑克牌中任意抽取1张．①这张牌是“J”；②这张牌是“黑桃”；③这张牌是“小王”；④这张牌是“黑色的”．估计上述事件发生的概率的大小，将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列为_________ ． 7．（2026春•常州校级期中）一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球． （1）能事先确定摸到的这个球的颜色吗？ （2）你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ （3）怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这三种颜色的概率相等？ （4）如果要使从中摸出白球的概率最大，至少需要往袋子中增加几个白球？ 8．（2026•高新区校级三模）如图，是某益智小游戏的界面示意图，游戏规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子M时，小红连续点击两次按钮，“”到达格子K的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（2026•龙华区校级三模）中国传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，形式多样、内容丰富．如图，4张卡片的正面分别标有除夕端午元宵中秋图案，卡片除图案外完全相同，小明把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽到的卡片正面图案恰好是端午的概率是（　　） A．1 B． C． D． 10．（2026春•苏家屯区期末）现有A、B、C、D四个旅游目的地，若从中随机挑选一个出行，则选中D的概率为__________________ ． 11．（2026秋•单元）在一个不透明的布袋里放有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出一个球，计算下列事件发生的概率． （1）摸出绿球． （2）摸出白球． （3）摸出红球． （4）摸出黑球或绿球． 12．（2026秋•同步）某公司举办周年庆活动，每位参加者领1张奖券参加摇奖．共分发328张奖券，每张奖券获奖的机会相同．小王所在的销售部门共有25人参加晚会．如果第一轮摇奖只有1张奖券号码能中奖，那么在第一轮摇奖中，小王得奖的概率是多少？小王所在的销售部门有人得奖的概率是多少？ 13．（2026春•苏家屯区期末）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 _______ 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖、二等奖的概率分别为多少？ 14．（2026春•凌河区校级期末）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）转到数字8是__________ （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求转出的数字不大于2的概率； （3）现有两张分别写有2和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 【考点2：概率公式】 · P(A)=m/n，m是事件A的结果数，n是总结果数 · 摸球问题注意放回与不放回的区别 · 概率是一个0到1之间的常数，不随试验改变 15．（2026•永州一模）一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 16．（2026•封开县二模）从，3.14，，0四个数中随机抽取一个数，这个数是无理数的概率是（　　） A． B． C． D．无法确定 17．（2025秋•前郭县期末）盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是_____ ． 18．（2026秋•桥东区月考）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张是中心对称图形的概率是__________________ ． 19．（2026•贡井区模拟）在一个不透明的口袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，a个黄球．任意从口袋中摸出一个球，摸到黄球的概率为，则a＝_____ ． 20．（2025秋•建湖县期末）一只不透明的袋子中有3个红球、4个黄球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球． （1）_______ （填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； （2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：_______ ； （3）怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 21．（2026•齐河县模拟）小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（　　） A． B． C． D． 22．（2026•驻马店校级一模）寒假期间，伶伶和俐俐结伴去郑州旅游，两人从“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点中随机抽取2个进行游玩，现将四个景点的照片背面向上放置（背面完全相同），伶伶先从中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，俐俐再从剩余的照片中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，则两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为（　　） A． B． C． D． 23．（2026•沈河区一模）汽车经过某十字路口时，可以直行、向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少会有一辆右转的概率是（　　） A． B． C． D． 24．（2026•郸城县校级模拟）如图，电路图上有三个开关S、S1、S2和两个小灯泡L1、L2，则任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的概率是（　　） A． B． C． D．无法确定 25．（2026•拱墅区校级二模）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，如果选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是__________________ ． 26．（2025秋•青岛校级月考）在一个布袋中装着只有颜色不同其他都相同的红、黄、黑三种小球各一个，从中任意摸出一球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，两次摸球所有可能的结果如图所示，则摸出的两个球中，一个是红球、一个是黑球的概率是__________________ ． 27．（2026•河南）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从F，G，A，B四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为__________________ ． 28．（2026•浦东新区校级模拟）数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是__________________ ． 【考点3：几何概率】 · 转盘概率=扇形面积比=圆心角比 · 格点移动问题用树状图列出所有路径 · 阴影面积概率=阴影面积/总面积 29．（2026•浙江模拟）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，2，3的卡片在甲手中，标有数字4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之积为偶数的概率是__________________ ． 30．（2025秋•沭阳县校级期末）随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是__________________ ； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率． 31．（2026秋•单元）如图，两个质地均匀、可自由转动的转盘A和B，A转盘被平均分为12份，颜色顺次为红、绿、蓝；B转盘被平均分为红、绿、蓝3份．分别转动两个转盘，当自行停止时，A转盘和B转盘指针指向红色的概率哪个大？为什么？ 32．（2025秋•衡阳期末）2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 33．（2025•鞍山模拟）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 34．（2021春•临淄区期末）在如图所示的圆形图案中，黑白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它作为一个游戏盘，游戏规则如下：按一定距离向盘中投镖一次（扎不中游戏盘重新投镖），扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜，则这个游戏（　　） A．对双方公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定公平性 35．甲、乙、丙三人用牌面数字为“A，2，3”的三张扑克牌做游戏（牌的背面完全相同），将三张牌打乱顺序正面朝下放置，然后由甲、乙、丙三人依次从中抽出一张（不放回），且规定抽到“A”者获胜，下面对甲、乙、丙三人获胜概率的陈述正确的是（　　） A．甲先抽，甲获胜的概率最大 B．乙获胜的概率比甲大，比丙小 C．丙最后抽，丙获胜的概率最小 D．三人获胜的概率相同，与抽牌的顺序无关 36．（2026•沈北新区一模）已知有四张正面分别标有数字﹣2，0，﹣3，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是__________________ ． 37．（2024秋•石家庄校级期末）有3个好朋友意外获得一张超级女生演唱会的门票，她们都想去，究竟谁去好呢？小丽对小明和小杰说：“我们来抛硬币，我有两枚硬币，如果两面都朝正就小明去，如果两面都朝反就小杰去，一正一反就我去”你认为这样决定公平吗？为什么？________ ，理由：____________________ ． 38．（2026•雨花台区模拟）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣2，﹣1，2，3． （1）小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________ ； （2）小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 39．（2026•姚安县模拟）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 40．（2026•郑州校级模拟）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），如表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“一支铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“一支铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （1）转动该转盘一次，获得一支铅笔的概率约为________ （结果保留小数点后一位数）； （2）铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计，该商场每天约有40000名顾客参加抽奖活动，请估算该商场每天需要支出的奖品费用； （3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在30000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为_______ 度． 41．（2026春•苏州期中）苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． （1）估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是_________ ； （2）如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入b枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求b的值． 42．（2026春•常州期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数m 59 124 x 240 305 354 坏果频率 0.059 0.062 0.061 0.06 y 0.059 根据表格回答下列问题： （1）表中的x＝________ ，y＝__________ ； （2）任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为_________ （精确到0.01）； （3）若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记概率公式P(A)=m/n · 画树状图或列表列举所有结果，不重不漏 · 注意放回与不放回的区别 · 几何概率关键是找区域面积比 · 概率在0到1之间，必然事件为1，不可能事件为0 【作业1】（2026•西藏）现有一个质地均匀的正方体，六个面分别标有图案“●”“▲”“▲”“★”“★”“★”．卓玛投掷一次正方体，出现“★”的概率是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2026•蒙阴县一模）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块可能是（　　） A． B． C． D． 【作业3】（2026•莱芜区模拟）为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2025秋•文登区期末）小红上学需要经过两个十字路口，每个十字路口遇到红灯、绿灯的可能性都相等，小红上学经过两个路口全是绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2026•重庆）已知整式M：a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n，an为正整数，a0，a1，a2，…，an﹣1为整数，a0＜a1＜a2＜…＜an，且n+|a0|+|a1|+…+|an|＝6．下列说法： ①当n＝1时，满足条件的所有整式M的和为22x﹣7； ②当n＝2时，若函数y＝M+x的图象关于y轴对称，则满足条件的整式M有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【作业6】（2026•紫金县校级二模）某班设立了一个可以自由转动的积分抽奖转盘（如图），转盘被等分成12个扇形．根据学生平时表现，可获得积分，每积累10个积分，就可以获得一次转动转盘的机会．转动转盘，转盘停止后，若指针正好对准红色、黄色、蓝色区域（指针停在分界线上，重新转动），则可以分别获得文具套装、书签、减压小玩具、小华决定用10个积分换取转动一次转盘，他获得文具套装的概率为（　　） A． B． C． D． 【作业7】（2025秋•兴隆台区期末）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是__________________ ． 【作业8】（2026•宣汉县校级开学）在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为_______ ． 【作业9】（2026•漳州模拟）在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，若每个电子元件都处于通电状态，则A、B之间电流能够正常通过．在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率是__________________ ． 【作业10】（2026•龙岗区校级模拟）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．两次都摸到白球的概率是__________________ ． 【作业11】（2026•让胡路区校级模拟）如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡L3亮起来的概率是__________________ ． 【作业12】（2026•西湖区校级三模）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当位于格子A时，小明连续点击两次钮，到格子E的概率是__________________ ． 【作业13】（2026秋•同步）一个不透明袋子中装有10个球，编号分别为1，2，…，10，这些球除编号外无其他差别．李明和张华进行摸球游戏，请分别按下列要求设计游戏规则： （1）李明和张华获胜的概率相等； （2）李明获胜的概率为，张华获胜的概率为． 【作业14】（2026•东昌区校级二模）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 __________________ ； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【作业15】（2026•南通）为强化劳动观念，弘扬劳动精神，学校倡导同学们积极承担家庭日常劳动．小明随机调查了该校50名学生一周家庭日常劳动时间，并绘制出如下未完成的统计图表． 50名学生一周家庭日常劳动时间频数分布表 组别 一周家庭日常劳动时间t/h 频数 A 3≤t＜4 4 B 4≤t＜5 16 C 5≤t＜6 22 D 6≤t＜7 m 合计 50 根据上述信息，解答下列问题． （1）m＝_____ ，并将频数分布直方图补充完整． （2）这50名学生一周家庭日常劳动时间的中位数落在_____ 组． （3）若该校共有800名学生，根据以上调查结果，估计该校学生中一周家庭日常劳动时间不少于5h的学生有多少人． 【作业16】（2026•新城区校级模拟）甲、乙两人用如图的两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏规则如下：转动A，B两个转盘各一次，用指针所指的两个数相乘，若积为正数，则甲获胜；若积为负数，则乙获胜（若指针指在扇形的边界上，则重新转动转盘）． （1）转动A转盘一次，指针指向的数是负数的概率是__________________ ； （2）利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 【作业17】（2026•武进区校级一模）中国空间站已搭载多种生物进行空间生命科学研究．生物活动课上，小晨所在小组的成员将5种上过太空的生物依次写在五张完全相同的卡片正面，随机选择一张进行讨论学习．现将卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．（A，B，C是动物，D，E是植物） （1）若小晨随机抽取一张卡片，抽中动物的概率是__________________ ； （2）若小轩从中随机抽取一张，不放回，小宇再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求他们两人都抽中植物的概率． 【作业18】（2026•溧阳市校级模拟）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余均完全相同．将球搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率（精确到0.001） 0.520 0.690 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为________ （精确到0.1）； （2）盒子里的白球可能有_______ 个； （3）若在上述基础上，又将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 等可能条件下的概率 优等生讲义 2026-2027 苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解等可能事件：试验结果有限且每个结果出现的可能性相等 · 掌握概率公式：P(A)=事件A包含的结果数/所有等可能结果总数 · 能用树状图或列表法列举所有等可能结果求概率 · 理解几何概率：事件概率与区域长度、面积或体积成正比 · 能运用概率知识解决转盘、摸球等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.4.1 等可能性 等可能事件：试验中所有可能出现的结果是有限个，且每个结果出现的可能性相等 随机事件发生的可能性有大有小 树状图：按步骤逐层列出所有可能结果 列表法：两步试验时用表格列举所有结果 概念辨析例题：下列事件中，是等可能事件的是（　　）A．抛掷一枚图钉，钉尖朝上或朝下 B．抛硬币正面朝上 C．射击命中10环或9环 D．掷骰子出现6点 解析：等可能要求每个结果可能性相等。抛硬币正反面可能性相等，是等可能事件 ☆ 2.4.2 等可能条件下的概率（一） 概率公式：P(A)=m/n，n为所有等可能结果总数，m为事件A包含的结果数 摸球问题：P(红球)=红球数/总球数 概率范围：0≤P(A)≤1，必然事件P=1，不可能事件P=0 概率与频率的关系：大量重复试验中频率稳定在概率附近 概念辨析例题：袋中有3个红球和2个白球，从中任取一球是红球的概率为（　　）A．1/5 B．2/5 C．3/5 D．2/3 解析：P(红球)=3/(3+2)=3/5 ☆ 3.4.3 等可能条件下的概率（二） 几何概率：P(A)=事件A对应的区域长度(面积)/总区域长度(面积) 转盘问题：指针落在某区域的概率=该区域面积/转盘总面积 格点移动问题：路径概率=符合条件路径数/总路径数 面积型概率：阴影部分面积/总面积 概念辨析例题：转盘被等分为6个扇形，其中红色3个，则指针停在红色区域的概率为（　　）A．1/6 B．1/3 C．1/2 D．2/3 解析：P(红色)=3/6=1/2 📋 知识总结表 类型 适用场景 公式/方法 等可能事件 结果有限且等可能 判断每个结果可能性是否相等 古典概率 摸球、抽牌等 P(A)=m/n 几何概率 转盘、面积问题 P(A)=区域面积/总面积 两步试验 两次摸球、转盘 树状图或列表法 ⚠️ 核心考点 【考点1：等可能性】 · 判断等可能事件：结果有限+每个结果可能性相等 · 树状图按步骤画，注意区分放回与不放回 · 列表法适用于两步试验，行和列分别表示两步 1．（2025春•温江区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是20%”是指明天有20%的时间会下雨 C．某位体育老师参加温江区半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【考点】等可能事件；概率的意义；概率公式． 【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A说法错误，不符合题意； B、天气预报“明天降水概率是20%”，是指明天有20%的概率会下雨，故B说法错误，不符合题意； C、某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C说法错误，不符合题意； D、连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是概率的意义，熟知概率只是表示某事件发生的可能性是解答此题的关键． 2．（2024春•同步）在等可能试验过程中，遇到分步或交叉试验时，往往借助于“　树形　 图”的方法来分析所有等可能结果，也可用的 　列表　 方法来分析所有的等可能结果． 【考点】等可能事件． 【分析】根据等可能事件的分析方法填空即可． 【解答】解：在等可能试验过程中，遇到分步或交叉试验时，往往借助于“树形图”的方法来分析所有等可能结果，也可用列表的方法来分析所有的等可能结果， 故答案为：树形，列表． 【点评】本题考查了等可能事件，熟练掌握等可能事件的分析方法是解题的关键． 3．判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）一个班级里有同月同日生的学生是不可能的； （2）今天上午是阴天，所以下午一定会下雨； （3）小明的各门功课成绩都比小亮低，所以小明的功课总成绩一定比小亮低； （4）甲市人均月收入5000元，乙市人均月收入4500元，所以甲市的张文比乙市的李武收入高． 【考点】等可能事件． 【分析】根据等可能事件的定义对各小题进行解答即可． 【解答】解：（1）错误，一个班级里有同月同日生的学生是可能的； （2）错误，今天上午是阴天，下午不一定会下雨； （3）正确，小明的各门功课成绩都比小亮低，所以小明的功课总成绩一定比小亮低； （4）错误，甲市人均月收入5000元，乙市人均月收入4500元，甲市的张文不一定比乙市的李武收入高． 【点评】本题考查的是等可能事件，熟知在一次试验中发生的可能性相等的事件，称为等可能性事件是解题的关键． 4．（2025春•宝山区期末）我校九年级学生在参加“青春有梦”演讲比赛中，有4位女生和6位男生获奖，现从中任选一位学生代表去领奖，则选中 　男　 生可能性大．（填写“女”或“男”） 【考点】可能性的大小． 【分析】根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵在演讲比赛中，有4位女生和6位男生， ∴现从中任选一位学生代表去领奖，则选中男生可能性大． 故答案为：男． 【点评】本题考查可能性的大小，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 5．（2024•镇海区校级三模）一个袋子中有黑球、白球共10个，这些球除颜色外其余都相同，规定：每次只能从袋子里摸一个球出来，看过颜色后必须放回去．小明同学按规定摸出一个球．记录颜色，放回去，重复该步骤2000次．最终记录结果为黑球620次，白球1380次．由此可以估计．袋子里有 　7　 个白球． 【考点】可能性的大小． 【分析】当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．先计算出到白球的频率为0.7，利用频率估计概率，则摸到白球的概率为0.7，然后利用概率公式计算出口袋中白球的个数即可． 【解答】解：根据题意，摸到白球的频率为， 估计摸到白球的概率约为0.7， 所以口袋中白球的个数为0.7×10＝7（个）， 即袋子里有7个白球的可能性最大． 故答案为：7． 【点评】本题考查了可能性的大小：利用实验的方法进行概率估算． 6．从一副扑克牌中任意抽取1张．①这张牌是“J”；②这张牌是“黑桃”；③这张牌是“小王”；④这张牌是“黑色的”．估计上述事件发生的概率的大小，将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列为　③①②④　 ． 【考点】可能性的大小． 【分析】首先分别求出一副扑克牌中含“J”、“黑桃”、“小王”、“黑色的”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可． 【解答】解：∵一副扑克牌中含“J”4 张，“黑桃”13 张，“小王”1 张，“黑色的”27 张， ∵1＜4＜13＜27， ∴从一副扑克牌中任意抽取1张，估计上述事件发生的概率的大小，将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：③①②④． 故答案为：③①②④． 【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键． 7．（2026春•常州校级期中）一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球． （1）能事先确定摸到的这个球的颜色吗？ （2）你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ （3）怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这三种颜色的概率相等？ （4）如果要使从中摸出白球的概率最大，至少需要往袋子中增加几个白球？ 【考点】可能性的大小． 【分析】（1）根据题干判断即可； （2）根据各颜色的球的数量判断即可； （3）让三种颜色球的数量相等即可； （4）设至少增加x个白球，根据题意列不等式求解即可． 【解答】解：（1）∵袋子中有三种不同颜色的球， ∴不能事先确定摸到的球的颜色． （2）∵一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同，4＞3＞2，红球的数量最多， ∴摸到红球的概率最大； （3）根据概率的意义，只要使袋子中三种颜色球的个数相等，摸到三种颜色球的概率就相等（方法不唯一）； （4）现在袋子中红球数量最多，共4个，要使摸到白球的概率最大，需要白球的数量大于红球的数量． 设至少增加x个白球， 可得2+x＞4， 解得x＞2． ∵x为正整数， ∴x的最小值为3， 即至少需要往袋子中增加3个白球． 【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键． 8．（2026•高新区校级三模）如图，是某益智小游戏的界面示意图，游戏规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子M时，小红连续点击两次按钮，“”到达格子K的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】利用列举法求概率即可． 【解答】解：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子． 由题意，小红连续点击两次按钮，共有（L，K），（L，M），（N，M），（N，P）4种等可能的结果，其中到达格子K的结果只有1种， 故． 故选：C． 【点评】本题考查概率公式，正确进行计算是解题关键． 9．（2026•龙华区校级三模）中国传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，形式多样、内容丰富．如图，4张卡片的正面分别标有除夕端午元宵中秋图案，卡片除图案外完全相同，小明把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽到的卡片正面图案恰好是端午的概率是（　　） A．1 B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】先确定随机抽取一张卡片的所有等可能结果总数，再确定抽到正面图案为端午的结果数，最后根据概率公式计算所求事件的概率． 【解答】解：∵4张卡片的正面分别标有除夕端午元宵中秋图案， ∴从中随机抽取一张，共有4种等可能的结果． ∵其中正面图案恰好是端午的结果有1种， ∴抽到的卡片正面图案恰好是端午的概率为． 故选：D． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 10．（2026春•苏家屯区期末）现有A、B、C、D四个旅游目的地，若从中随机挑选一个出行，则选中D的概率为　　 ． 【考点】概率公式． 【分析】总共有4种等可能的挑选结果，选中D的结果只有1种，直接用概率公式计算即可． 【解答】解：∵总共有4种等可能的结果，选中D的结果有1种， ∴选中D的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 11．（2026秋•单元）在一个不透明的布袋里放有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出一个球，计算下列事件发生的概率． （1）摸出绿球． （2）摸出白球． （3）摸出红球． （4）摸出黑球或绿球． 【考点】概率公式；随机事件． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）直接由概率公式求解即可； （3）直接由概率公式求解即可； （4）直接由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵在一个不透明的布袋里放有3个绿球、3个黑球和6个红球， ∴从布袋中任意摸出一个球，摸出绿球的概率为； （2）∵在一个不透明的布袋里放有3个绿球、3个黑球和6个红球， ∴从布袋中任意摸出一个球，摸出白球的概率为0； （3）∵在一个不透明的布袋里放有3个绿球、3个黑球和6个红球， ∴从布袋中任意摸出一个球，摸出红球的概率为； （4）∵在一个不透明的布袋里放有3个绿球、3个黑球和6个红球， ∴从布袋中任意摸出一个球，摸出黑球或绿球的概率为． 【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 12．（2026秋•同步）某公司举办周年庆活动，每位参加者领1张奖券参加摇奖．共分发328张奖券，每张奖券获奖的机会相同．小王所在的销售部门共有25人参加晚会．如果第一轮摇奖只有1张奖券号码能中奖，那么在第一轮摇奖中，小王得奖的概率是多少？小王所在的销售部门有人得奖的概率是多少？ 【考点】概率公式． 【分析】根据已知数据，可以计算出在第一次摇奖中，小王得奖的概率和小王所在的销售部门有人得奖的概率． 【解答】解：∵共分发328张奖券，小王所在的销售部门共有25人参加晚会， ∴小王得奖的概率是，小王所在的销售部门有人得奖的概率是． 【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 13．（2026春•苏家屯区期末）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 　必然　 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖、二等奖的概率分别为多少？ 【考点】概率公式；用样本估计总体；随机事件． 【分析】（1）根据 题意可知，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件； （2）根据题意可知抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，据此求出红色球和黄色球的数量，进而求出白色球数量； （3）用红色球数量除以球的总数即可得到答案． 【解答】解：（1）∵只有三种颜色小球，每种颜色小球都对应着相应的奖级， ∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件， 故答案为：必然； （2）∵平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖， ∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为， ∴红色球和黄色球分别有个，个， ∴估算袋中白球的数量为18﹣2﹣4＝12个； （3）， ∴如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一，二等奖的概率为． 【点评】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，事件的分类，熟知以上知识是解题的关键． 14．（2026春•凌河区校级期末）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）转到数字8是　不可能事件　 （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求转出的数字不大于2的概率； （3）现有两张分别写有2和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 【考点】概率公式；随机事件． 【分析】（1）由转盘中没有标8的部分，可得转到数字8是不可能事件； （2）根据概率公式计算即可； （3）设转盘停止后转出的数字为x，可得3＜x＜7时，三条线段能构成三角形，根据概率公式计算即可． 【解答】解：（1）∵转盘中没有标8的部分， ∴转到数字8是不可能事件； 故答案为：不可能事件； （2）∵数字不大于2的有1，2共两个， ∴转动转盘，转出的数字不大于2的概率是； （3）设转盘停止后转出的数字为x， ∵三条线段能构成三角形， ∴5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7， ∴转盘停止后转出的数字为4，5，6时，三条线段能构成三角形， ∴概率是． 【点评】本题考查概率公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点2：概率公式】 · P(A)=m/n，m是事件A的结果数，n是总结果数 · 摸球问题注意放回与不放回的区别 · 概率是一个0到1之间的常数，不随试验改变 15．（2026•永州一模）一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】从中随机摸出一个球有5种等可能结果，其中是红球的有3种结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：从中随机摸出一个球有5种等可能结果，其中是红球的有3种结果， 所以从中随机摸出一个球，是红球的概率为， 故选：A． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 16．（2026•封开县二模）从，3.14，，0四个数中随机抽取一个数，这个数是无理数的概率是（　　） A． B． C． D．无法确定 【考点】概率公式；无理数． 【分析】从所给实数中找出无理数，利用无理数的个数与总个数的比值计算即可． 【解答】解：是开不尽的数，属于无理数； ∴四个数中无理数只有1个． ∴无理数的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查了无理数，简单概率的计算，理解概率公式是解题的关键． 17．（2025秋•前郭县期末）盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是　5　 ． 【考点】概率公式． 【分析】根据盒中有x枚黑棋和30枚白棋，得出盒子中共有（x+30）枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有（x+40）枚棋，其中黑棋有（x+10）枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【解答】解：∵盒子中有x枚黑棋和30枚白棋， ∴盒子中共有（x+30）个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有（x+40）枚棋，其中黑棋有（x+10）枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得x＝5， 经检验，x＝5是分式方程的解， 故答案为：5． 【点评】本题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 18．（2026秋•桥东区月考）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张是中心对称图形的概率是　　 ． 【考点】概率公式；中心对称图形． 【分析】先根据中心对称图形的定义确定符合条件的图形个数，再利用概率公式计算所求概率． 【解答】解：在“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”等图形中： 总共有5种等可能的抽取结果，其中菱形是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形；正方形是中心对称图形； ∴符合条件的结果共3种， ∴从中任意抽取一张是中心对称图形的概率． 故答案为：． 【点评】本题考查概率公式，中心对称图形，正确记忆相关知识点是解题关键． 19．（2026•贡井区模拟）在一个不透明的口袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，a个黄球．任意从口袋中摸出一个球，摸到黄球的概率为，则a＝　5　 ． 【考点】概率公式． 【分析】根据概率的计算公式，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值． 【解答】解：口袋中球的总个数为3+2+a＝5+a， 根据概率公式可得， 解得a＝5， 经检验a＝5是原方程的解． 故答案为：5． 【点评】本题考查概率公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2025秋•建湖县期末）一只不透明的袋子中有3个红球、4个黄球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球． （1）　不能　 （填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； （2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：　白球　 ； （3）怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 【考点】概率公式． 【分析】（1）由随机事件的意义可求得答案； （2）那种球的数量最多，摸到那种球的概率就大； （3）使得各颜色的球的数量相同即可得到概率相同． 【解答】解：（1）不能事先确定摸到的这个球的颜色； 故答案为：不能； （2）袋子中白球的数量最多，所以摸到白球的可能性最大； 故答案为：白球； （3）将袋子中的红球、黄球与白球的个数设计一样多，则摸到这三种颜色的球的概率相同，所以拿出1个黄球和2个白球即可． 【点评】本题考查了概率公式，随机事件，属于概率基础题，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数． 21．（2026•齐河县模拟）小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小亮和爸爸相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： A B D F A （A，B） （A，D） （A，F） B （B，A） （B，D） （B，F） D （D，A） （D，B） （D，F） F （F，A） （F，B） （F，D） 共有12种等可能的结果，其中小亮和爸爸相邻而坐的结果有；（A，B），（B，A），（D，F），（F，D），共4种， ∴小亮和爸爸相邻而坐的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22．（2026•驻马店校级一模）寒假期间，伶伶和俐俐结伴去郑州旅游，两人从“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点中随机抽取2个进行游玩，现将四个景点的照片背面向上放置（背面完全相同），伶伶先从中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，俐俐再从剩余的照片中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，则两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的结果有“：（A，C），（C，A），共2种， ∴两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．（2026•沈河区一模）汽车经过某十字路口时，可以直行、向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少会有一辆右转的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出至少会有一辆右转的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中至少会有一辆右转的结果数为5， 所以至少会有一辆右转的概率． 故选：B． 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A． 24．（2026•郸城县校级模拟）如图，电路图上有三个开关S、S1、S2和两个小灯泡L1、L2，则任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的概率是（　　） A． B． C． D．无法确定 【考点】列表法与树状图法． 【分析】根据题意画出相应的树状图，然后即可计算出任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的概率． 【解答】解：树状图如下所示， ， 由上可得，一共有6种等可能性，其中任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的可能性有2种， ∴任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的概率为， 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 25．（2026•拱墅区校级二模）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，如果选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率． 【解答】解：树状图如下所示， ， 由上可得，一共有9种等可能性，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的可能性有3种， ∴甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 26．（2025秋•青岛校级月考）在一个布袋中装着只有颜色不同其他都相同的红、黄、黑三种小球各一个，从中任意摸出一球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，两次摸球所有可能的结果如图所示，则摸出的两个球中，一个是红球、一个是黑球的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】由树状图可得出所有等可能的结果数以及一个是红球、一个是黑球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中一个是红球、一个是黑球的结果有：（红，黑），（黑，红），共2种， ∴摸出的两个球中，一个是红球、一个是黑球的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 27．（2026•河南）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从F，G，A，B四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】先画出树状图，然后根据概率公式求出概率． 【解答】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种， ∴发出的声音构成二度音程的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，正确地画出树状图是解题的关键． 28．（2026•浦东新区校级模拟）数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果有1种，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果有1种，即ABC， ∴恰好排成“2026中考必胜”的概率是． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解答本题的关键． 【考点3：几何概率】 · 转盘概率=扇形面积比=圆心角比 · 格点移动问题用树状图列出所有路径 · 阴影面积概率=阴影面积/总面积 29．（2026•浙江模拟）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，2，3的卡片在甲手中，标有数字4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之积为偶数的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：画树状图，如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片的数字之积为偶数的结果有7种， ∴两张卡片的数字之积为偶数的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 30．（2025秋•沭阳县校级期末）随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是　　 ； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）运用列表法，得共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种，再列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）∵四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播． ∴甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是； 故答案为：； （2）根据题意，列表如下： 甲乙 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由列表可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种， ∴P（甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”）． 【点评】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 31．（2026秋•单元）如图，两个质地均匀、可自由转动的转盘A和B，A转盘被平均分为12份，颜色顺次为红、绿、蓝；B转盘被平均分为红、绿、蓝3份．分别转动两个转盘，当自行停止时，A转盘和B转盘指针指向红色的概率哪个大？为什么？ 【考点】列表法与树状图法． 【分析】利用红色区域面积与圆盘面积之比即指针指向红色的概率． 【解答】解：A中概率为，B中也为． 故A盘停止时指针指向红色的概率与B盘停止时指针指向红色的概率一样大． 因为它们的概率都等于． 【点评】此题考查了几何概率的计算公式，面积之比即为几何概率．利用扇形统计图得出两转盘的概率是解题关键． 32．（2025秋•衡阳期末）2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】根据题意列表罗列所有等可能结果，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有4种，即可根据概率计算公式计算． 【解答】解：小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个，委列表如下： 小平 小何 A B C A ﹣ （A，B） （A，C） B （B，A） ﹣ （B，C） C （C，A） （C，B） ﹣ 由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有4种：（A，C）（B，C）（C，A）（C，B）， 所以，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的概率是． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握用画树状图或列表求事件概率是解题的关键． 33．（2025•鞍山模拟）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【考点】游戏公平性；三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；概率公式． 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【解答】解：由题意可得：要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 34．（2021春•临淄区期末）在如图所示的圆形图案中，黑白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它作为一个游戏盘，游戏规则如下：按一定距离向盘中投镖一次（扎不中游戏盘重新投镖），扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜，则这个游戏（　　） A．对双方公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定公平性 【考点】游戏公平性；概率公式；全等三角形的性质． 【分析】首先由图可得S黑色区域＝S白色区域S圆，然后由几何概率的知识，即可求得甲胜与乙胜的概率，比较概率的大小，即可求得答案． 【解答】解：由图知黑色区域的直角三角形有6个，弓形有3个， 白色区域的直角三角形有6个，弓形有3个， 所以甲获胜的概率等于乙获胜的概率， 所以这个游戏对双方公平， 故选：A． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 35．甲、乙、丙三人用牌面数字为“A，2，3”的三张扑克牌做游戏（牌的背面完全相同），将三张牌打乱顺序正面朝下放置，然后由甲、乙、丙三人依次从中抽出一张（不放回），且规定抽到“A”者获胜，下面对甲、乙、丙三人获胜概率的陈述正确的是（　　） A．甲先抽，甲获胜的概率最大 B．乙获胜的概率比甲大，比丙小 C．丙最后抽，丙获胜的概率最小 D．三人获胜的概率相同，与抽牌的顺序无关 【考点】列表法与树状图法． 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲、乙、丙获胜的情况都是2种，再由概率公式求出P（甲获胜）＝P（乙获胜）＝P（丙获胜），即可得出结论． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲、乙、丙获胜的情况都是2种， ∴P（甲获胜）＝P（乙获胜）＝P（丙获胜）， 故选：D． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 36．（2026•沈北新区一模）已知有四张正面分别标有数字﹣2，0，﹣3，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【解答】解：列表如下： ﹣2 0 ﹣3 4 ﹣2 （﹣2，﹣2） （﹣2，0） （﹣2，﹣3） （﹣2，4） 0 （0，﹣2） （0，0） （0，﹣3） （0，4） ﹣3 （﹣3，﹣2） （﹣3，0） （﹣3，﹣3） （﹣3，4） 4 （4，﹣2） （4，0） （4，﹣3） （4，4） 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， ∴两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． 37．（2024秋•石家庄校级期末）有3个好朋友意外获得一张超级女生演唱会的门票，她们都想去，究竟谁去好呢？小丽对小明和小杰说：“我们来抛硬币，我有两枚硬币，如果两面都朝正就小明去，如果两面都朝反就小杰去，一正一反就我去”你认为这样决定公平吗？为什么？　不公平　 ，理由：　因为会出现四种结果，而不是两种　 ． 【考点】游戏公平性；概率公式． 【分析】根据同时抛两枚硬币，可能出现四种结果：正正、正反、反正、反反；进而得出三人获胜的可能性，即可得出答案． 【解答】解：根据题意，会出现四种结果：正正，正反，反正，反反， 两面都朝正就小明去，则小明去的概率为：1÷4 ＝ ， 两面都朝反就小杰去，则小杰去的概率为：1÷4 ＝ ， 一正一反小丽去，则上丽去的概率为：2÷4 ＝ ， ∵， ∴不公平； 故答案为：不公平；因为会出现四种结果，而不是两种． 【点评】此题主要考查了游戏公平性，概率公式，根据已知得出三人分别获胜的概率是解题关键． 38．（2026•雨花台区模拟）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣2，﹣1，2，3． （1）小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为　　 ； （2）小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为无理数的结果有0个，两人抽取卡片上的数字之积为有理数的结果有16个，再由概率公式求出小明胜的概率≠小亮胜的概率，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣2，﹣1，2，3， ∴小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为， 故答案为：； （2）这个游戏规则不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为无理数的结果有0个，两人抽取卡片上的数字之积为有理数的结果有16个， ∴小明胜的概率0，小亮胜的概率1， ∴小明胜的概率≠小亮胜的概率， ∴这个游戏规则不公平． 【点评】本题考查了游戏公平性以及列表法与树状图法，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 39．（2026•姚安县模拟）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】（1）画出树状图即可解答； （2）分别求出晶晶和莹莹第一个出场的概率，再进行比较即可解答． 【解答】解：（1）卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），画树状图如答图： 由树状图可知，共有12种等可能的结果． （2）这种规则对晶晶和莹莹不公平． 理由如下：由（1）可得，12种等可能的结果中，晶晶第一个出场的结果有4种，莹莹第一个出场的结果有8种， ∴晶晶第一个出场的概率为，莹莹第一个出场的概率为．∵， ∴这个规则对晶晶和莹莹不公平，莹莹第一个出场的可能性更大． 【点评】本题考查游戏公平性，正确进行计算解题关键． 40．（2026•郑州校级模拟）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），如表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“一支铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“一支铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （1）转动该转盘一次，获得一支铅笔的概率约为　0.7　 （结果保留小数点后一位数）； （2）铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计，该商场每天约有40000名顾客参加抽奖活动，请估算该商场每天需要支出的奖品费用； （3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在30000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为　36　 度． 【考点】利用频率估计概率；扇形统计图． 【分析】（1）利用频率估计概率即可求解； （2）根据扇形统计图，结合获得铅笔的概率为0.7，求出获得一瓶饮料的概率为0.3，列出算式计算即可求解； （3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n°，列方程求解即可． 【解答】解：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7， 故答案为：0.7． （2）1﹣0.7＝0.3，40000×0.7×0.5+40000×0.3×3＝14000+36000＝50000（元）． （3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n°， 则， 解得n＝36． 故答案为：36． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，也考查了扇形统计图的意义．题目较长，但信息量不大，关键要认真审题，理清题意． 41．（2026春•苏州期中）苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． （1）估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是　0.75　 ； （2）如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入b枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求b的值． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】（1）利用频率估算概率，再根据概率之和为1，进行求解即可； （2）根据概率求出总数，再利用频率估算概率，利用概率求出数量即可． 【解答】解：（1）∵经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近， ∴摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴摸到“沧浪亭”卡片的概率是1﹣0.25＝0.75， 故答案为：0.75； （2）由（1）知，原来摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∵纸盒中原有3枚“狮子林”卡片， ∴原来卡片的总数量为3÷0.25＝12（张）； ∵放入b枚“狮子林”卡片，再经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近， ∴现在摸到“狮子林”卡片的概率为0.5， ∴（12+b）×0.5＝3+b， 解得b＝6． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 42．（2026春•常州期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数m 59 124 x 240 305 354 坏果频率 0.059 0.062 0.061 0.06 y 0.059 根据表格回答下列问题： （1）表中的x＝　183　 ，y＝　0.061　 ； （2）任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为　0.06　 （精确到0.01）； （3）若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【考点】利用频率估计概率． 【分析】（1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出x（利用3000批次的频率算坏果数）和y（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在0.06，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率． （3）先确定完好水蜜桃的概率（1﹣坏果概率），设准备水蜜桃总数为n，依据“完好水蜜桃数＝总数×完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解n的最小值． 【解答】解：（1）根据题意得； 解得：x＝183 ． 故答案为：183，0.061； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在0.06左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为0.06． 故答案为：0.06； （3）若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售， 设至少需要准备n颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为1﹣0.06＝0.94，要确保9400颗完好水蜜桃， 0.94n≥9400， 解得n≥10000， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 【点评】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记概率公式P(A)=m/n · 画树状图或列表列举所有结果，不重不漏 · 注意放回与不放回的区别 · 几何概率关键是找区域面积比 · 概率在0到1之间，必然事件为1，不可能事件为0 【作业1】（2026•西藏）现有一个质地均匀的正方体，六个面分别标有图案“●”“▲”“▲”“★”“★”“★”．卓玛投掷一次正方体，出现“★”的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的图案出现“★”的有3种结果， ∴朝上一面数字为“★”的概率是． 故选：C． 【点评】本题主要考查了概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是关键． 【作业2】（2026•蒙阴县一模）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率的意义；概率公式． 【分析】先根据概率公式分别求出数字1，2，3的面数，再结合选项判断，概率公式：某数字的面数＝总面数×该数字出现的概率． 【解答】解：抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字）， 正方体共有6个面， 数字1的面数：； 数字2的面数：； 数字3的面数：6﹣2﹣3＝1， 即木块上有2个面标1，3个面标2，1个面标3，只有D选项符合． 故选：D． 【点评】本题考查概率的意义，正确进行计算是解题关键． 【作业3】（2026•莱芜区模拟）为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两名同学都选择篮球项目的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两名同学都选择篮球项目的结果有1种， ∴小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是， 故选：A． 【点评】此题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键． 【作业4】（2025秋•文登区期末）小红上学需要经过两个十字路口，每个十字路口遇到红灯、绿灯的可能性都相等，小红上学经过两个路口全是绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】画出树状图，进而根据概率公式计算即可． 【解答】解：小红上学需要经过两个十字路口，每个十字路口遇到红灯、绿灯的可能性都相等，作树状图如下： 由树状图可知，共4种等可能的结果，其中全是绿灯的结果只有1种． ∴全是绿灯的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解题的关键是明确所有等可能的结果数与符合条件的结果数． 【作业5】（2026•重庆）已知整式M：a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n，an为正整数，a0，a1，a2，…，an﹣1为整数，a0＜a1＜a2＜…＜an，且n+|a0|+|a1|+…+|an|＝6．下列说法： ①当n＝1时，满足条件的所有整式M的和为22x﹣7； ②当n＝2时，若函数y＝M+x的图象关于y轴对称，则满足条件的整式M有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】规律型：数字的变化类；多项式；因式分解的意义． 【分析】根据题意和n的取值，分别确定相应a0，a1，a2的值，进而可得M的值，然后计算整式的加减、因式分解逐个判断即可． 【解答】解：①当n＝1时，1+|a0|+|a1|＝6，即|a0|+|a1|＝5， ∵a0＜a1，a1为正整数， ∴|a0|+a1＝5， 当a1＝1时，则|a0|＝4，解得a0＝﹣4或a0＝4＞a1（舍去），此时M＝﹣4+x； 当a1＝2时，则|a0|＝3，解得a0＝﹣3或a0＝3＞a1（舍去），此时M＝﹣3+2x； 当a1＝3时，则|a0|＝2，解得a0＝﹣2或a0＝2，此时M＝﹣2+3x或M＝2+3x； 当a1＝4时，则|a0|＝1，解得a0＝﹣1或a0＝1，此时M＝﹣1+4x或M＝1+4x； 当a1＝5时，则|a0|＝0，解得a0＝0，此时M＝5x， 则满足条件的所有整式M的和为（﹣4+x）+（﹣3+2x）+（﹣2+3x）+（2+3x）+（﹣1+4x）+（1+4x）+5x＝22x﹣7，说法①正确； ②当n＝2时，，2+|a0|+|a1|+|a2|＝6，即|a0|+|a1|+|a2|＝4， 由题意可知，a2为正整数，a0，a1为整数，且a0＜a1＜a2， ∴|a0|+|a1|+a2＝4， ∵函数的图象关于y轴对称， ∴a1+1＝0，即a1＝﹣1， ∴|a0|+|﹣1|+a2＝4， 解得|a0|＝3﹣a2， ∵a0＜a1＜a2， ∴a0＜﹣1＜a2， ∴|a0|＞1， ∴3﹣a2＞1，解得a2＜2， 又∵a2为正整数， ∴a2＝1，|a0|＝3﹣1＝2， ∴a0＝﹣2或a0＝2＞﹣1（舍去）， ∴满足条件的整式M＝﹣2﹣x+x2，有且仅有1个，说法②正确； ③∵整式M是二次二项式， ∴n＝2，且M只有两个非零项，同②可得：|a0|+|a1|+a2＝4，a2为正整数， ∴在这个二次二项式中，a1＝0或a0＝0， （Ⅰ）当a1＝0时，，|a0|+a2＝4，a0＜0＜a2， ∴a2＝4﹣|a0|＝4+a0＞0， ∴a0＞﹣4， ∴当a0＝﹣1，a2＝3时，M＝3x2﹣1，不能在有理数范围因式分解，舍去； 当a0＝﹣2，a2＝2时，M＝2x2﹣2＝2（x﹣1）（x+1），能在有理数范围因式分解； 当a0＝﹣3，a2＝1时，M＝x2﹣3，不能在有理数范围因式分解，舍去； （Ⅱ）当a0＝0时，，|a1|+a2＝4，0＜a1＜a2， ∴a1+a2＝4， ∴只有a1＝1，a2＝3符合，此时M＝3x2+x＝x（3x+1），能在有理数范围因式分解； 综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个；说法③正确； 所以说法正确的个数是3个． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【作业6】（2026•紫金县校级二模）某班设立了一个可以自由转动的积分抽奖转盘（如图），转盘被等分成12个扇形．根据学生平时表现，可获得积分，每积累10个积分，就可以获得一次转动转盘的机会．转动转盘，转盘停止后，若指针正好对准红色、黄色、蓝色区域（指针停在分界线上，重新转动），则可以分别获得文具套装、书签、减压小玩具、小华决定用10个积分换取转动一次转盘，他获得文具套装的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】先判断文具套装对应红色区域的区域个数，再用文具套装的概率即可求解． 【解答】解：∵转盘被等分成12个扇形，指针停在红色区域可获得文具套装，且红色区域一共有3个扇形， ∴小华获得文具套装的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 【作业7】（2025秋•兴隆台区期末）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是　　 ． 【考点】概率公式． 【分析】直接利用概率公式计算可得． 【解答】解：∵一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球， ∴3+2+1＝6（个）， ∴从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查的是概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【作业8】（2026•宣汉县校级开学）在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为　16　 ． 【考点】概率公式． 【分析】根据概率公式列出关于n的方程，求解即可得到结果． 【解答】解：∵摸到红球的概率为， ∴， 4+n＝20， 解得n＝16， 经检验，n＝16是原方程的解且符合题意． 故答案为：16． 【点评】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 【作业9】（2026•漳州模拟）在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，若每个电子元件都处于通电状态，则A、B之间电流能够正常通过．在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种， ∴A、B之间电流能够正常通过的概率为． 故答案为：． 【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；正确画出树状图是解题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 【作业10】（2026•龙岗区校级模拟）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．两次都摸到白球的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】画树状图，共有9种都可能出现的结果，其中两次都摸到白球的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种都可能出现的结果，其中两次都摸到白球的结果有4种， ∴两次都摸到白球的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【作业11】（2026•让胡路区校级模拟）如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡L3亮起来的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及灯泡L3亮起来的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：由电路图得，随机闭合开关S1和S3、S2和S3，灯泡L3亮起来． 列表如下： S1 S2 S3 S1 （S1，S2） （S1，S3） S2 （S2，S1） （S2，S3） S3 （S3，S1） （S3，S2） 共有6种等可能的结果，其中灯泡L3亮起来的结果有：（S1，S3），（S2，S3），（S3，S1），（S3，S2），共4种， ∴灯泡L3亮起来的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【作业12】（2026•西湖区校级三模）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当位于格子A时，小明连续点击两次钮，到格子E的概率是　　 ． 【考点】概率公式． 【分析】根据概率公式解答即可． 【解答】解：当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有等可能四种结果， ①两次都向左移动，则“”落在E处； ②先向左再向右，则“”回到格子A； ③先向右再向左，则“”回到格子A； ④两次都向右移动，则“”落在C处； 所以当“”位于格子E时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子E的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【作业13】（2026秋•同步）一个不透明袋子中装有10个球，编号分别为1，2，…，10，这些球除编号外无其他差别．李明和张华进行摸球游戏，请分别按下列要求设计游戏规则： （1）李明和张华获胜的概率相等； （2）李明获胜的概率为，张华获胜的概率为． 【考点】概率公式． 【分析】根据概率公式设计游戏规则即可． 【解答】解：（1）从不透明袋子中任意摸出一球，若球的编号为奇数，李明获胜，若球的编号为偶数，张华获胜； （2）从不透明袋子中任意摸出一球，若球的编号不大于4，李明获胜，若球的编号大于4，张华获胜． 【点评】本题考查了游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【作业14】（2026•东昌区校级二模）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 　　 ； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是数学家刘徽邮票图案的结果有1种，结合概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果以及小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果，再利用概率公式可得答案． 【解答】解：（1）∵有A，B，C，D四张卡片， ∴卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． 【作业15】（2026•南通）为强化劳动观念，弘扬劳动精神，学校倡导同学们积极承担家庭日常劳动．小明随机调查了该校50名学生一周家庭日常劳动时间，并绘制出如下未完成的统计图表． 50名学生一周家庭日常劳动时间频数分布表 组别 一周家庭日常劳动时间t/h 频数 A 3≤t＜4 4 B 4≤t＜5 16 C 5≤t＜6 22 D 6≤t＜7 m 合计 50 根据上述信息，解答下列问题． （1）m＝　8　 ，并将频数分布直方图补充完整． （2）这50名学生一周家庭日常劳动时间的中位数落在C 组． （3）若该校共有800名学生，根据以上调查结果，估计该校学生中一周家庭日常劳动时间不少于5h的学生有多少人． 【考点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表． 【分析】（1）根据各组的频数之和等于50可求得m的值；根据所求m的值直接补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解； （3）根据用样本估计总体，用800乘以样本中一周家庭日常劳动时间不少于5h的频率之和，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得，m＝50﹣4﹣16﹣22＝8， 故答案为：8； 补全频数分布直方图如图所示． （2）样本容量为50，故中位数应该是第25和26个数据的平均数， A、B组的频数之和为4+16＝20， 故这50名学生一周家庭日常劳动时间的中位数落在C组， 故答案为：C； （3）800×（）＝480（名）． ∴估计该校学生中一周家庭日常劳动时间不少于5h的学生有480人． 【点评】本题考查频数（率）分布直方图、频数（率）分布表、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． 【作业16】（2026•新城区校级模拟）甲、乙两人用如图的两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏规则如下：转动A，B两个转盘各一次，用指针所指的两个数相乘，若积为正数，则甲获胜；若积为负数，则乙获胜（若指针指在扇形的边界上，则重新转动转盘）． （1）转动A转盘一次，指针指向的数是负数的概率是　　 ； （2）利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法． 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，求出积为正数和负数的概率，进行判断即可． 【解答】解：（1）转动A，B两个转盘各一次，用指针所指的两个数相乘，若积为正数，则甲获胜；若积为负数，则乙获胜（若指针指在扇形的边界上，则重新转动转盘）． 由题意，转动A转盘一次，指针指向的数是负数的概率是； 故答案为：； （2）游戏不公平，理由如下： 由题意，列表如下： 1 ﹣2 3 2 1 1 ﹣2 3 2 2 2 ﹣4 6 4 ﹣1 ﹣1 2 ﹣3 ﹣2 共有12种等可能的结果，其中积为正数的结果有7种，积为负数的结果有5种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【点评】本题考查列表法求概率，利用概率解决游戏公平性问题，正确的求出概率是解题的关键． 【作业17】（2026•武进区校级一模）中国空间站已搭载多种生物进行空间生命科学研究．生物活动课上，小晨所在小组的成员将5种上过太空的生物依次写在五张完全相同的卡片正面，随机选择一张进行讨论学习．现将卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．（A，B，C是动物，D，E是植物） （1）若小晨随机抽取一张卡片，抽中动物的概率是　　 ； （2）若小轩从中随机抽取一张，不放回，小宇再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求他们两人都抽中植物的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）先确定总卡片数和动物卡片数，再根据概率公式计算抽中动物的概率； （2）用树状图列出不放回抽样的所有等可能结果，再找出两人都抽中植物的结果数，最后代入概率公式计算． 【解答】解：（1）总卡片数＝5，动物卡片数＝3， ∴P（抽中动物）， 故答案为：； （2）小轩从中随机抽取一张，不放回，小宇再从剩余的卡片中随机抽取一张，作树状图如下： 由树状图可知共有20种等可能的结果，其中两人都抽中植物的有2种结果， 故所求概率． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解答本题的关键． 【作业18】（2026•溧阳市校级模拟）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余均完全相同．将球搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率（精确到0.001） 0.520 0.690 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为　0.6　 （精确到0.1）； （2）盒子里的白球可能有　18　 个； （3）若在上述基础上，又将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】（1）根据表格的统计数据进行估计即可； （2）黑、白两种颜色的球共30个，根据求出的概率进行计算即可； （3）加入m个白球后，一共有（18+m）个白球，总共有（30+m）个球，根据随机摸出1个球是白球的概率是0.8进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）由表格数据得知，当摸球次数≥500时，摸到白球的频率稳定在0.6左右， 故若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为0.6， 故答案为：0.6； （2）30×0.6＝18个， 盒子里的白球可能有18个， 故答案为：18； （3）∵将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8， ∴加入m个白球后，一共有（18+m）个白球，总共有（30+m）个球， ∴， 解得m＝30， 检验：将m＝30代入，原分式方程成立， m＝30． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $