第12讲 2.2一元二次方程的解法（第5课时） 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第12讲　2.2　一元二次方程的解法（第5课时） 【学习目标】 1. 理解因式分解法的理论依据——若 ，则 或 。 1. 掌握用提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法解一元二次方程。 1. 能根据方程的特征选择适当的因式分解方法。 1. 注意在解方程时不能两边同时除以含有未知数的式子，以免失根。 【知识梳理】 一、因式分解法的理论依据 若两个因式的乘积等于 ，那么这两个因式中至少有一个等于 。 即：若 ，则 或 。 核心思想：将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 二、因式分解法的一般步骤 1. 将方程右边化为 ； 1. 将左边因式分解； 1. 令每个因式分别为 ，得到两个一次方程； 1. 解这两个一次方程。 三、常见因式分解方法 方法 适用类型 示例 提公因式法 各项有公因式 平方差公式 型 完全平方公式 型 十字相乘法 型 重要提醒：解方程时不能两边同时除以含有未知数的式子，否则会失根。 做一做（即时练习）： 1. 方程 的解为______。 1. 方程 因式分解为______，解为______。 1. 方程 的解为______。 1. 方程 因式分解为______。 1. 用因式分解法解方程 时，不能两边同除以______，否则会失根。 1. 方程 因式分解为______，解为______。 【典例精讲】 【例1】（提公因式法） 解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 【分析】 将方程右边化为 ，再提公因式。 【解答】 （1） 提公因式 ，得 。 ∴ 或 ， ∴ ，。 （2） 提公因式 ，得 。 ∴ 或 ， ∴ ，。 （3） 移项，得 ， 提公因式 ，得 。 ∴ ，。 【反思】 解 型方程时，结果总有一个根为 。 【例2】（平方差公式法） 解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 【分析】 将方程化为 的形式，再用平方差公式分解。 【解答】 （1） 因式分解，得 。 ∴ 或 ， ∴ ，。 （2） 因式分解，得 。 ∴ 或 ， ∴ ，。 （3） 因式分解，得 ， 即 。 ∴ 或 ， ∴ ，。 【例3】（十字相乘法） 解下列方程： （1）　　（2） 【分析】 将二次三项式分解为 的形式。 【解答】 （1） 因式分解，得 。 ∴ 或 ， ∴ ，。 （2） 因式分解，得 。 ∴ 或 ， ∴ ，。 【跟踪练习1】 1. 用因式分解法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 用因式分解法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 用因式分解法解下列方程： （1）　　（2） 【举一反三】 1. 方程 的解为______。 1. 方程 因式分解为______，解为______。 1. 方程 的解为______。 1. 方程 因式分解为______，解为______。 1. 用因式分解法解方程 时，应化为______，解为______。 1. 方程 用因式分解法求解时，应化为______。 1. 方程 的解为（　　） · A. 或 　　B. 或 　　C. 或 　　D. 或 1. 若方程 因式分解为 ，则 ，。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 方程 的解为______。 1. 方程 的解为______。 1. 方程 的解为______。 1. 方程 的解为______。 1. 用因式分解法解方程 时，应先把方程化为______。 1. 方程 的解为______。 1. 方程 的解为______。 1. 方程 的解为______。 二、选择题。 1. 方程 的解为（　　） · A. 　　B. 　　C. 或 　　D. 无解 1. 方程 的解为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 方程 的解为（　　） · A. 或 　　B. 或 　　C. 或 　　D. 或 1. 下列解方程 的过程中，正确的是（　　） · A. 　　B. ，， 或 · C. 　　D. 两边同除以 ，得 ◆ B组·能力提升 1. 用因式分解法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 用因式分解法解下列方程： （1）　　（2） 1. 已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程 的两个根，求这个直角三角形的面积。 1. 用因式分解法解方程：。 ◆ C组·思维拓展 17. 用因式分解法解方程：。 18. 已知 的一个根为 ，不解方程，求另一个根。 19. 若方程 的两个根均为正整数，请写出所有可能的 的值。 20. 阅读下面的材料，回答问题。 在解某些一元二次方程时，我们可以先观察方程的特点，再选择合适的方法。 例如：解方程 时，我们可以设 ，则原方程化为 ，解得 或 。当 时，，；当 时，，。所以原方程的解为 ，。像这样，通过设辅助未知数将较复杂的问题转化为已学过的简单问题的方法，叫做换元法。 阅读后请回答： （1）用换元法解方程：； （2）若方程 的两个根为 和 ，求 的值。 21.观察下列因式分解的过程： ，对应的方程 的解为 ，； ，对应的方程 的解为 ，； ，对应的方程 的解为 ，。 （1）观察规律，写出方程 的解：______； （2）若方程 的解为 ，，则 ，； （3）若方程 的两个根均为正整数，求 的值。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：， 1. 答案：；， 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：；， 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（1），；（2），；（3）， 1. 答案：（1），；（2），；（3）， 1. 答案：（1），；（2）， 举一反三 1. 答案：， 1. 答案：；， 1. 答案： 1. 答案：；， 1. 答案：；， 1. 答案：，即 1. 答案：A 1. 答案：； A组·基础过关 1. 答案：， 1. 答案：， 1. 答案： 1. 答案：， 1. 答案： 1. 答案：， 1. 答案：， 1. 答案：， 1. 答案：C 1. 答案：C 1. 答案：A 1. 答案：B B组·能力提升 1. 答案：（1），；（2），；（3）， 1. 答案：（1），；（2）， 1. 答案：面积为 解析：，两根为 和 ，面积为 。 1. 答案：， 解析：，，，，。 C组·思维拓展 1. 答案：， 解析：当 时，，，，（ 舍去）；当 时，，，，（ 舍去）。，。 1. 答案：另一个根为 解析：由 ，可知另一个根为 。 1. 答案： 或 解析：设两根为 、（均为正整数），则 ，。 时 ； 时 。 20.（阅读理解） （1）答案：， 解析：设 ，则原方程化为 ，，解得 或 。当 时，，；当 时，，。，。 （2）答案： 解析：设 ，则原方程化为 ，，解得 或 。由 得 ，由 得 。两根为 和 。又两根为 和 ，，，解得 ，，符合。故 。 21.（规律探究） （1）答案：， 解析：由规律，，解为 ，。 （2）答案：， 解析：，，，故 ，。 （3）答案： 或 解析：设两根为 、（均为正整数），则 ，。 时 ，； 时 ，。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（6题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（12题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（5题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $