第12讲 相似三角形的性质（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第12讲 相似三角形的性质 （新教材北师大版） 知识点一．相似三角形的性质 2 知识点二．相似三角形的应用 2 【题型1 证明三角形的对应线段成比例】 3 【题型2 利用相似三角形的性质求解】 6 【题型3 相似三角形判定与性质综合】 9 【题型4 利用相似求坐标】 12 【题型5 在网格中画出与已知三角形相似的三角形】 18 【题型 6 相似三角形动点问题】 21 【题型 7 相似三角形的实际应用】 25 【题型 8 相似三角形的综合问题】 28 【探究式学习】 35 【课后检测】 39 【复盘笔记】 49 知识点一．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点二．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【题型1 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【变式1-1】已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 【变式1-2】如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， 又∵， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】本题属于相似形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法及性质． （1）根据平行四边形的性质，可知，，根据，，可知由此即可证得结论； （2）依据题意设则，在直角三角形中由勾股定理求得，再依据平行四边形的性质求得即可； （3）由勾股定理求得，根据（1）中的相似三角形，得出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 设， 则， 在直角三角形中， ， 由勾股定理得： ， 解得， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴； （3）解：在中， 由勾股定理得：， ， ，即 ， ． 【变式1-3】如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 【题型2 利用相似三角形的性质求解】 【例2】如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 【变式2-1】如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 【变式2-2】如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 【变式2-3】下列命题是真命题的是（    ） A．两底角相等的三角形是等腰三角形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于对应高的比 D．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形 【答案】D 【详解】解：A．底角是等腰三角形的特有概念，判定等腰三角形应为有两个角相等的三角形，该命题为假命题． B．对角线相等的平行四边形是矩形，等腰梯形对角线相等但不是矩形，该命题为假命题． C．相似三角形面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，即面积比等于对应高的比的平方，该命题为假命题． D．设四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点， 连接，． ∵，，，分别是四边形各边中点， ∴由三角形中位线定理得：，，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，该命题为真命题． 【题型3 相似三角形判定与性质综合】 【例3】如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行且相等的性质证明，结合中点定义得出相似比，进而推导线段与的数量关系． 【详解】解： 四边形是矩形， ，， ， ， 点是边的中点， ， ， ，即， ， ， ∴． 【变式3-1】如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得，由勾股定理求得，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由折叠知， 在矩形，， ， ． ∵， ，， ． 又， ， ∴， ． 【变式3-2】如图，在正方形中，对角线交于点将线段沿射线方向平移，点A，D的对应点分别为点E，F，线段分别与交于点G，当点G是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到， 等量代换即可得出结果. 【详解】解：四边形是正方形， ， 由平移的性质得：， ， 点G是的中点， ， ， ， ， 【变式3-3】如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 【题型4 利用相似求坐标】 【例4】有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【答案】(1)；两角分别相等的两个三角形相似； (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似得到，继而根据相似三角形对应线段成比例得到，即． （2）根据勾股定理得到，继而根据得到，继而得到点的坐标． （3）通过证明，得到，继而根据，得到，继而得到，得到，利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ， 由（1）可得， ， ， 点的坐标为； （3）解：，， ， ， ，                                 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)A的坐标是，C的坐标是； (2)； (3)存在，P的坐标是和. 【分析】（1）首先解方程求得方程的根，则A和C的坐标即可求得； （2）根据三角函数求得B的坐标，作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式； （3）根据题意可判断点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则．分成和两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：（1）解方程，即， 即或， 解得：， 又， ，， 的坐标是，的坐标是． （2）解：， ，则B的坐标是． . ， . 过点作轴于点F． 则， . ， ，. 则，则点E的坐标是 . 设直线的解析式是， ，    解得： . 则直线的解析式是. （3）解：当时，， 即， . ， . ， . 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则． ①当时，， 即， 解得：， 则点P的坐标是； ②当时，， 则， 解得：， 则点P的坐标是． 综上可知，点P的坐标是和． 【变式4-2】在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为__________． 【答案】 【分析】由点和点的坐标即可求得与的长，然后由勾股定理即可求得的长，继而求得正方形的面积，再利用相似可求得正方形的面积，观察可得规律，最终得到第个正方形的面积． 【详解】解：设正方形的面积为，，…，． 点的坐标为，点的坐标为， ，． 在中，， 正方形的面积． 四边形是正方形， ，． ，， ． ， ， ，即，解得． ， 正方形的面积． 同理可得正方形的面积， 第个正方形的面积为． 【变式4-3】如图，直线（）与轴、轴分别交于点、，平行于x轴的直线与轴、线段分别交于点、．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．先求出长度，然后根据线段比例关系求出长度，从而求得点坐标． 【详解】直线（k＜0）与y轴交于点A， 点横坐标为，纵坐标， ， ， ， ， ， ，， 点坐标是． 【题型5 在网格中画出与已知三角形相似的三角形】 【例5】如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 【变式5-1】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 由网格的特点可知，， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 【变式5-2】如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出A、B、C、D中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】的三边长分别为：，三边的比为， A中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； B中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； C中三角形的三边长分别为，三边的比为相似； D中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； 故选择：C． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 【变式5-3】如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． 【题型 6 相似三角形动点问题】 【例 6】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 【变式 6‑1】如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 【变式 6‑2】如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 【变式 6‑3】中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 【题型 7 相似三角形的实际应用】 【例 7】如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 【变式 7‑1】．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 【变式 7‑2】如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 【变式 7‑3】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 【题型 8 相似三角形的综合问题】 【例 8】如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可． 【详解】解：依题意补全图形，如图： 由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC， ∴GF∥BC， ∴∠GFP=∠FPC=45°， ∵∠C=90°， ∴∠PFC=∠FPC=45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， 设CP=CF=x，则， ∵AC=3， ∴AF=3-x， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABC， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【变式 8‑1】如图，D、E分别AB、AC上的点 （1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 【答案】（1）是位似图形，见解析；（2）平行，见解析 【分析】（1）根据DE∥BC，可得，则有，根据点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，可得和是位似图形； (2) 根据和是位似图形，可得，则有∠ADE=∠B，可得． 【详解】解：(1)和是位似图形． 理由是：, ∴，， ∴， ∴． 又∵点A是和的公共点，点和点是对应点，点和点是对应点，直线与交于点， ∴和是位似图形． (2) ． 理由是：∵和是位似图形， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了位似图形的判定和平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式 8‑2】（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．求证：； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ， ∴∠QAO+∠OAD＝90°， ∵AE⊥DQ， ∴∠ADO+∠OAD＝90°， ∴∠QAO＝∠ADO， ∴， ∴AE＝DQ， ∵DQ⊥AE，GF⊥AE， ∴DQ∥GF， ∵FQ∥DG， ∴四边形DQFG是平行四边形， ∴GF＝DQ， ∵AE＝DQ， ∴AE＝FG； （2）结论：．理由如下： 如图2中，过G作GM⊥AB于M， ∵AE⊥GF， ∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°， ∴∠BAE＝∠FGM， ∴， ∴， ∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°， ∴四边形AMGD是矩形， ∴GM＝AD， ∴， （3）． 【分析】（1）先证△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．再证四边形DQFG是平行四边形，即可解决问题． （2）过G作GM⊥AB于M．证明，即可解决问题． （3）过P作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM，即可解决问题． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）解：如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M． ∵，， ∴∠CGP＝∠BFE， ∴， ∴设，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴，，，， ∵， ∴BC＝4， ∴，， ∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°， ∴∠FEB＝∠EPM， ∴， ∴， ∴， ∴解之得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟悉相关知识点，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 【变式 8‑3】小强身高，他想求出校园内旗杆的高度．他从旗杆底部沿着旗杆的影子走了，此时他头顶的投影恰与旗杆顶端的投影重合，这时他距旗杆影子的末端是．旗杆的高度是多少？（精确到） 【答案】 【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用比例求解即可； 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴ ∴ ， 解得：． 答：旗杆的高度是． 【探究式学习】 1．如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 【答案】(1)①证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②．理由如下： ， ， ， 又∵， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ； (2) 【分析】（1）①由平分，得，结合题设，可得一组等角；再加上对顶角，满足两角分别相等，即可证；②由①的相似得比例式，变形为，结合证，得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）根据角平分线性质，与的面积比等于；又两三角形同高，面积比等于底，故．由、得，推出，则可得到． 【详解】（1）解：①略； ②略； （2）解：，平分， ∴点到和的距离相等， 的面积的面积， 又的面积的面积， ， ， 由（1）得，即， 又， ， ， ． 2．【操作发现】 (1)如图1，和是等边三角形，连接，交于点． ①的值为________；②的度数为________； (2)【类比探究】如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点．求的值及的度数； (3)【实际应用】在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长． 【答案】(1)①；② (2)的值为，的度数为 (3) 【分析】（1）根据证明，可得进而得到，再根据求得； （2）根据，证得，得到，再根据得到； （3）分两种情况讨论，可知点、重合时均为直角三角形，用勾股定理求出，再用（2）的相似比例算出． 【详解】（1）解：如图， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． （2）解：如图， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）解：如图，当点与重合时，， ∴， 由（2）知； 如图，当点与重合时，， 则， 同理可得， 综上，． 【课后检测】 1．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据证明，再运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 2．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 3．已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：∵，相似比为， ∴边上的中线与边上的中线的比为， ∵边上的中线长为， ∴边上的中线长为. 4．如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理判定且，从而证得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ． 5．如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 6．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用网格平行线性质证明，得出线段比例关系，结合勾股定理求解． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ， 由网格可知， ∴， ， 由勾股定理得 ， ． 7．如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ， 即的最小值为． 8．如图所示，矩形中，为边上与，两点不重合的任意一点．设到的距离为，则与的函数关系式为______，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】由四边形是矩形，则有，，，然后证明，则，然后代入，，即可求出与的函数关系式，再利用勾股定理求得的长，根据即可求出自变量的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴，即：， ∴， 连接，如图所示： 点是上与、不重合的任意一点，即， 又， ，即． 9．如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 【答案】2.4 【分析】设正方形的边长为，证明，，求出的长，作差即可. 【详解】解：设正方形的边长为． 四边形是正方形， ， ， ． ，，正方形的边长为， ， 解得， ． 又由得， ， 即， 解得， ． 10．如图，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即 ∵ ∴ ∴． 【分析】根据两角对应相等证明即可． 【详解】略 11．如图，为测量某建筑物的高度，在距该建筑物底部30.0m处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为1.5m．试利用相似三角形的知识，求出该建筑物的高度．（精确到0.1m） 【答案】该建筑物的高度为米． 【分析】构造，找出对应边，利用相似三角形对应边成比例求解即可， 【详解】解：如图：作，，，，测得， 由可得：， ∴，解得： 该建筑物的高度为：（米）． 答：该建筑物的高度为米． 12．【课本再现】 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】(1)证明：如图，作， 是的角平分线， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 即， 在与中， ， ， ． (2)①；② 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点P分别作，的垂线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．②借鉴第①问的方法，过点P作的平行线，构造相似三角形求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图所示，,过点P分别作，的垂线，交于点H，交于点N， 在平行四边形中，， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ； ②如图，作，作， ， ，， ， ， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 48 页 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第12讲 相似三角形的性质 （新教材北师大版） 知识点一．相似三角形的性质 2 知识点二．相似三角形的应用 2 【题型1 证明三角形的对应线段成比例】 3 【题型2 利用相似三角形的性质求解】 4 【题型3 相似三角形判定与性质综合】 5 【题型4 利用相似求坐标】 6 【题型5 在网格中画出与已知三角形相似的三角形】 9 【题型 6 相似三角形动点问题】 10 【题型 7 相似三角形的实际应用】 11 【题型 8 相似三角形的综合问题】 12 【探究式学习】 15 【课后检测】 17 【复盘笔记】 21 知识点一．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点二．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【题型1 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式1-1】已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下求的长． 【变式1-3】如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【题型2 利用相似三角形的性质求解】 【例2】如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 【变式2-3】下列命题是真命题的是（    ） A．两底角相等的三角形是等腰三角形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于对应高的比 D．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形 【题型3 相似三角形判定与性质综合】 【例3】如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-1】如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在正方形中，对角线交于点将线段沿射线方向平移，点A，D的对应点分别为点E，F，线段分别与交于点G，当点G是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【题型4 利用相似求坐标】 【例4】有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【变式4-2】在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为__________． 【变式4-3】如图，直线（）与轴、轴分别交于点、，平行于x轴的直线与轴、线段分别交于点、．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型5 在网格中画出与已知三角形相似的三角形】 【例5】如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【题型 6 相似三角形动点问题】 【例 6】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式 6‑1】如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【变式 6‑2】如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【变式 6‑3】中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【题型 7 相似三角形的实际应用】 【例 7】如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【变式 7‑1】．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式 7‑2】如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【变式 7‑3】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【题型 8 相似三角形的综合问题】 【例 8】如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 【变式 8‑1】如图，D、E分别AB、AC上的点 （1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 【变式 8‑2】（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．求证：； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长． 【变式 8‑3】小强身高，他想求出校园内旗杆的高度．他从旗杆底部沿着旗杆的影子走了，此时他头顶的投影恰与旗杆顶端的投影重合，这时他距旗杆影子的末端是．旗杆的高度是多少？（精确到） 【探究式学习】 1．如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 2．【操作发现】 (1)如图1，和是等边三角形，连接，交于点． ①的值为________；②的度数为________； (2)【类比探究】如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点．求的值及的度数； (3)【实际应用】在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长． 【课后检测】 1．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 3．已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 4．如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，矩形中，为边上与，两点不重合的任意一点．设到的距离为，则与的函数关系式为______，自变量的取值范围是______． 9．如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 10．如图，，求证：． 11．如图，为测量某建筑物的高度，在距该建筑物底部30.0m处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为1.5m．试利用相似三角形的知识，求出该建筑物的高度．（精确到0.1m） 12．【课本再现】 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 48 页 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $