专题 13.1 分式及其性质 讲义 2026-2027 学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题13.1 分式及其性质 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，掌握分式有意义及值为零的条件 · 掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的恒等变形和符号变化 · 掌握约分的方法和步骤，能正确找出分子分母的公因式并约分 · 理解最简分式的概念，能判断一个分式是否为最简分式 · 能运用分式的概念和性质解决化简求值、阅读理解等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式 分式有意义的条件：分母不等于零（B≠0） 分式无意义的条件：分母等于零（B=0） 分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零（A=0且B≠0） 概念辨析例题：下列代数式中，属于分式的是（　　）A． B． C． D． 解析：A、C、D的分母都是常数（3、π、5），不含字母，是整式；B的分母x+1含有字母x，是分式。故选B。 ☆ 2.分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变 即==（C≠0） 分式的变号法则：分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变 分式中分子分母同时扩大或缩小相同倍数，需代入具体式子计算后判断 概念辨析例题：若把分式中的m和n都扩大2倍，那么分式的值（　　）A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 解析：m、n都扩大2倍后变为==，值不变。故选A。 ☆ 3.约分与最简分式 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去 约分的关键：先对分子分母因式分解，再找出公因式 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 约分的结果必须是最简分式或整式 概念辨析例题：下列分式中，是最简分式的是（　　）A． B． C． D． 解析：A可约分为；C中x^2-1=(x+1)(x-1)，可约去(x-1)；D可变为-=-1；B中x^2+1在实数范围内不能因式分解，与分子无公因式，是最简分式。故选B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 分式 形如（B中含字母）的式子 分母B≠0；π是常数不是字母 分式有意义 分母B≠0 只看分母，与分子无关 分式值为零 分子A=0且分母B≠0 必须同时满足两个条件 基本性质 =（C≠0） 乘除的必须是同一个非零整式 约分 约去分子分母的公因式 先因式分解再找公因式 最简分式 分子分母无公因式 约分的最终结果 ⚠️ 核心考点 【考点1】分式的定义（第1-4题） · 判断分式关键看分母是否含有字母，π是常数不是字母 · 分式有意义只看分母是否为零 · 分式值为零需分子为零且分母不为零，两者缺一不可 · 找规律题注意观察分子分母的指数和符号变化规律 1．（2026秋•沧县校级月考）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•龙口市期末）下列各式：，，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026•鲁山县一模）一组按规律排列的式子：，，，，…．若ab≠0，则第9个式子是____________________ ． 4．（2026•海口开学）已知（其中n≠0，m≠﹣2），则A表示的分式是____________________ ． 【考点2】分式的基本性质（第5-16题） · 运用性质时必须注意所乘除的整式不为零 · 分子分母扩大倍数后，代入新分式化简，与原分式比较 · 分式变形判断：逐项验证是否符合基本性质，注意同加同减不保持值不变 · 整体代入求值：利用已知条件求出字母间关系，代入目标式化简 5．（2025秋•普陀区月考）下列式子从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•浦东新区期末）若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 7．（2025秋•奉贤区期末）分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 8．（2025秋•浦东新区校级期末）分式中的a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值是原来的（　　） A． B．2倍 C．4倍 D．无法确定 9．（2025秋•闵行区期末）下列式子从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025秋•浦东新区校级月考）已知，则 _____ ． 11．（2025秋•奉贤区期末）若，当0＜x＜2时，M_____ 0（选填“＞”“＜”或“＝”）． 12．（2025秋•浦东新区校级期末）已知：a2+4a+1＝0，且3，则m的值为_______ ． 13．（2025秋•虹口区校级月考）分式的值是0.2，且xy＝2，则x+y的值为_______ ． 14．（2024秋•浦东新区校级期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为___________ ． 15．（2026秋•同步）阅读材料： 已知，c均不为0），求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k，① 所以．② （1）上述解题过程中，第①步运用了_______ 的基本性质； 第②步中，由求得结果运用了_______ 的基本性质． （2）参照上述材料解题：已知（x，y，z均不为0），求分式的值． 16．（2024秋•长宁区期末）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 _______ （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 _______ （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 【考点3】约分（第17-30题） · 约分前先对分子分母因式分解（提取公因式、公式法、十字相乘法） · 约分时约去的是公因式（乘积式），不是同一项 · 新定义题型（友好分式/和谐分式）：先读懂定义，再按定义逐一判断 · 化简结果必须是最简分式，注意符号处理 17．（2025秋•浦东新区期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025秋•黄浦区校级月考）以下分式化简：①；②；③；④．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2025秋•江汉区期末）下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 20．（2026•东兴市模拟）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 21．（2025秋•虹口区校级期中）约分：____________________ ． 22．（2025秋•闵行区校级月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若a为整数，且关于x的分式是“友好分式”，则a的值为 _____________ ． 23．（2024秋•青浦区校级月考）化简： ____________________ ． 24．（2023秋•青浦区校级期中）约分：___________________ ． 25．（2025秋•汉阴县期末）约分： （1）； （2）． 26．（2026秋•同步）约分： （1）； （2）； （3）． 27．（2026秋•同步）设a+b+c＝abc（abc≠0），化简：． 28．（2026春•浚县月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是_____ （填写序号即可）； （2）在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n． （3）若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为_____ ． 29．（2026•宁夏）【回顾】整式乘法运算： （x+3）（x+8） ＝x2+3x+8x+3×8 ＝x2+（3+8）x+3×8 ＝x2+11x+24． 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：x2+11x+24＝（x+3）（x+8）． 【猜想】具有某种特征的二次三项式x2+px+q能化成两个一次因式乘积的形式，即x2+px+q＝（x+a）（x+b）． 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究． （1）根据x2+px+q＝（x+a）（x+b）的特征，补全下表： p 7 1 ﹣11 … q 6 ﹣12 30 … a 1 _______ ﹣5 … b 6 4 _______ … （2）当x2+px+q＝（x+a）（x+b）恒成立时，写出p，q与a，b满足的数量关系，并说明理由． 【应用】若分式能约分，请利用探究得到的结论，求m的值． 30．（2024秋•普陀区期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下： ① ＝（a﹣b）2② ＝a2﹣b2③ （1）小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第 _____ 步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） （2）小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当a＝﹣2，b＝1时，按照上述错误的化简方法所求得a2﹣b2的值与的值相等，他将满足这一情况的数对a、b称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：a＝ _______ ，b＝ _____ ． （3）小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【考点4】最简分式（第31-38题） · 最简分式判断：先因式分解分子分母，看是否有公因式 · 分子分母互为相反数时可通过变号约分（如=-1） · 卡片组分式题：列举所有可能组合，逐一判断是否有公因式 · 化最简分式时，每个小问独立约分，结果必须最简 31．（2025秋•闵行区期末）下列分式中是最简分式的为（　　） A． B． C． D． 32．（2025秋•浦东新区期末）下列分式中哪个是最简分式（　　） A． B． C． D． 33．（2025秋•虹口区校级期中）若分式是最简分式，则整式A可以是（　　） A．1 B．8 C．4x D．x2 34．（2024秋•闵行区期末）下列分式中最简分式是（　　） A． B． C． D． 35．（2025秋•奉贤区期末）在分式.，，，中，最简分式有_____ 个． 36．（2025秋•高安市期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是 _____ （填序号即可）． ①；②；③；④． 37．（2025春•同步）已知四张卡片上面分别写着6，x+1，x2﹣1，x﹣1，从中任意选两张卡片，则由这两张卡片上的整式组成的分式中，是最简分式的有 _____ 个． 38．（2025秋•同步）把下列分式化成最简分式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 📝 随堂检测 【练习1】（2026春•平顶山期中）下列分式中，最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2026秋•沧县校级月考）若把分式中的x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【练习3】（2025秋•绥化校级期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习4】（2026秋•同步）已知当x＝﹣2时，分式无意义：当x＝4时，分式的值为零．求a+b的值． 【练习5】（2026春•同步）约分： （1）； （2）； （3）． 💯 课后巩固 复习建议 · 分式概念与整式的区别核心在于分母是否含字母，做题时先看分母 · 基本性质是分式恒等变形的依据，注意同乘除必须是同一个非零整式 · 约分时务必先因式分解，再约去公因式，不可漏项 · 判断最简分式要彻底分解因式，注意互为相反数的因式可约 · 新定义题先仔细读题理解定义，再逐项验证，不要凭直觉判断 【作业1】（2025秋•浦东新区校级期末）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2025秋•虹口区期末）如果把分式中a和b的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 【作业3】（2025秋•普陀区期末）下列式子从左往右的变形，错误的是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2025秋•杨浦区期末）下列各式从左到右变形错误的是（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2025秋•宝山区校级期中）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2026春•上海校级月考）把分式中的分子、分母的x、y同时变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不改变 【作业7】（2025秋•黄浦区校级月考）已知三张卡片上面分别写有6，x﹣1，x2﹣1，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 ____________________ ．（写出一个分式即可） 【作业8】（2025秋•宝山区校级期中）若分式的值为3，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为_____ ． 【作业9】（2025秋•宝山区校级月考）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为__________________ ． 【作业10】（2024秋•闵行区校级期中）化简：____________________ ． 【作业11】（2024秋•闵行区校级月考）已知，求分式的值． __________________ 【作业12】（2025秋•诸城市校级月考）计算（约分）： （1）； （2）； （3）4a2b÷（6ab2）； （4）（3x2+x）÷（x2﹣x）． 【作业13】（2026春•同步）约分： （1）； （2）； （3）． 【作业14】（2026春•渠县期末）【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：g），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质）/g 水（溶剂）/g 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：a＝1，b＝3， ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度x＝________ ； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量d＝4.5g，同学丙准备氯化钠的质量e＝2g，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且a+b+c≠0，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1 分式及其性质 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，掌握分式有意义及值为零的条件 · 掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的恒等变形和符号变化 · 掌握约分的方法和步骤，能正确找出分子分母的公因式并约分 · 理解最简分式的概念，能判断一个分式是否为最简分式 · 能运用分式的概念和性质解决化简求值、阅读理解等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式 分式有意义的条件：分母不等于零（B≠0） 分式无意义的条件：分母等于零（B=0） 分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零（A=0且B≠0） 概念辨析例题：下列代数式中，属于分式的是（　　）A． B． C． D． 解析：A、C、D的分母都是常数（3、π、5），不含字母，是整式；B的分母x+1含有字母x，是分式。故选B。 ☆ 2.分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变 即==（C≠0） 分式的变号法则：分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变 分式中分子分母同时扩大或缩小相同倍数，需代入具体式子计算后判断 概念辨析例题：若把分式中的m和n都扩大2倍，那么分式的值（　　）A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 解析：m、n都扩大2倍后变为==，值不变。故选A。 ☆ 3.约分与最简分式 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去 约分的关键：先对分子分母因式分解，再找出公因式 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 约分的结果必须是最简分式或整式 概念辨析例题：下列分式中，是最简分式的是（　　）A． B． C． D． 解析：A可约分为；C中x^2-1=(x+1)(x-1)，可约去(x-1)；D可变为-=-1；B中x^2+1在实数范围内不能因式分解，与分子无公因式，是最简分式。故选B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 分式 形如（B中含字母）的式子 分母B≠0；π是常数不是字母 分式有意义 分母B≠0 只看分母，与分子无关 分式值为零 分子A=0且分母B≠0 必须同时满足两个条件 基本性质 =（C≠0） 乘除的必须是同一个非零整式 约分 约去分子分母的公因式 先因式分解再找公因式 最简分式 分子分母无公因式 约分的最终结果 ⚠️ 核心考点 【考点1】分式的定义（第1-4题） · 判断分式关键看分母是否含有字母，π是常数不是字母 · 分式有意义只看分母是否为零 · 分式值为零需分子为零且分母不为零，两者缺一不可 · 找规律题注意观察分子分母的指数和符号变化规律 1．（2026秋•沧县校级月考）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分式的定义． 【分析】根据分式定义，分母含有字母的代数式是分式，依次判断各选项，A、C、D分母不含字母为整式，B分母含有字母，是分式． 【解答】解：根据分式定义，分母含有字母的代数式是分式， ∴A选项分母是常数3，属于整式（单项式），不是分式； B选项分子分母都是整式，分母含有字母x，是分式； C选项分母是常数2，属于整式（多项式），不是分式； D选项是常数，整个式子是多项式，属于整式，不是分式； 故选：B． 【点评】本题考查分式，掌握分式的定义是解题的关键． 2．（2025秋•龙口市期末）下列各式：，，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】分式的定义． 【分析】根据分式的定义即可求出答案． 【解答】解：，，是分式， 故选：C． 【点评】本题考查分式，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型． 3．（2026•鲁山县一模）一组按规律排列的式子：，，，，…．若ab≠0，则第9个式子是　　 ． 【考点】分式的定义． 【分析】观察可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，其中分子中字母a的指数等于序号，分母中字母b的指数等于序号的3倍减去1，据此可得答案． 【解答】解：由题意可知，第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， …， 故第n个式子为， ∴第9个式子为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式是解题的关键． 4．（2026•海口开学）已知（其中n≠0，m≠﹣2），则A表示的分式是　　 ． 【考点】分式的定义． 【分析】利用等式的性质表示A，再根据分式的除法运算法则化简计算即可得到A的表达式． 【解答】解：根据等式的性质，得， ∴， 解得． 【点评】根据分式的定义可得，正确记忆相关知识点是解题关键． 【考点2】分式的基本性质（第5-16题） · 运用性质时必须注意所乘除的整式不为零 · 分子分母扩大倍数后，代入新分式化简，与原分式比较 · 分式变形判断：逐项验证是否符合基本性质，注意同加同减不保持值不变 · 整体代入求值：利用已知条件求出字母间关系，代入目标式化简 5．（2025秋•普陀区月考）下列式子从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：A、当y≠﹣1时，，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．熟练掌握该知识点是关键． 6．（2025秋•浦东新区期末）若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的基本性质，将m和n都扩大2倍后代入分式计算即可． 【解答】解：若把分式中m和n的值都扩大2倍， ∴新分式 ， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，解题时注意代数式的化简，正确进行计算是解题关键． 7．（2025秋•奉贤区期末）分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的基本性质可把x，y都扩大到原来的5倍代入原式进行求解． 【解答】解：根据题意可知，， ∴分式的值缩小到原来的． 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 8．（2025秋•浦东新区校级期末）分式中的a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值是原来的（　　） A． B．2倍 C．4倍 D．无法确定 【考点】分式的基本性质． 【分析】把原分式中的a，b分别用2a，2b替换，计算出新分式的结果，再与原分式比较即可得到答案． 【解答】解：当a和b同时扩大2倍时，新分式为： ＝4， ∴得到的分式的值是原来的4倍， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 9．（2025秋•闵行区期末）下列式子从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的基本性质，分子和分母同时乘或除以同一个非零数，分式的值不变，逐一判断各选项即可求解． 【解答】解：A．分子分母同时减2，式子从左到右变形错误，不符合题意； B．分子分母同时除以4a2（a≠0），式子从左到右变形正确，符合题意； C．分子乘a，分母乘b，式子从左到右变形错误，不符合题意； D．分母乘2，分子不是乘2，式子从左到右变形错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键． 10．（2025秋•浦东新区校级月考）已知，则 　2　 ． 【考点】分式的基本性质；代数式求值． 【分析】由可得2b＝3a，然后代入约分即可． 【解答】解：根据分式的基本性质， ∵， ∴2b＝3a， ∴， 所以2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了代数式求值，分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质成为解题的关键． 11．（2025秋•奉贤区期末）若，当0＜x＜2时，M　＜　 0（选填“＞”“＜”或“＝”）． 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据题意分别判断出分子和分母的符号即可得到答案． 【解答】解：∵x﹣2＜0， ∴， ∴M＜0， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键． 12．（2025秋•浦东新区校级期末）已知：a2+4a+1＝0，且3，则m的值为　19　 ． 【考点】分式的基本性质． 【分析】由a2+4a+1＝0，得a2＝﹣4a﹣1，代入所求的式子化简即可． 【解答】解：∵a2+4a+1＝0，∴a2＝﹣4a﹣1， 3 即（﹣56﹣4m）a﹣14﹣m＝（﹣12m+96）a﹣3m+24， ∴﹣56﹣4m＝﹣12m+96，﹣14﹣m＝﹣3m+24， 解得m＝19． 故答案为19． 【点评】解题关键是两次用到了整体代入的思想，它在解题中起到了降幂，从而化难为易的作用． 13．（2025秋•虹口区校级月考）分式的值是0.2，且xy＝2，则x+y的值为　﹣5　 ． 【考点】分式的基本性质． 【分析】将分式进行分子，分母同乘10，进行化简，分式值不变，再对分式进行整理，得出y＝4x，求出x，y 的值． 【解答】解：将分式分子，分母同时乘10得到分式的值不变， ∴0.2， ∵xy＝2， ， ∴﹣5y＝2+y2， ∴y2+5y+2＝0， 解得y， ∵xy＝2， 当y ∴x， ∴x+y＝﹣5 当y， x， ∴x+y＝﹣5， 故答案为：﹣5 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的性质是解题的关键． 14．（2024秋•浦东新区校级期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为　12x+2y ． 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【解答】解：． 故答案为：12x+2y． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 15．（2026秋•同步）阅读材料： 已知，c均不为0），求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k，① 所以．② （1）上述解题过程中，第①步运用了　等式　 的基本性质； 第②步中，由求得结果运用了　分式　 的基本性质． （2）参照上述材料解题：已知（x，y，z均不为0），求分式的值． 【考点】分式的基本性质；等式的性质． 【分析】（1）观察所给解题过程，分别得出步骤①和②的依次即可； （2）结合材料中所给解题方法进行求解即可． 【解答】解：（1）由题知， 上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质， 第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质． 故答案为：等式，分式； （2）设k， 则x＝2k，y＝3k，z＝6k， 所以． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质及等式的性质，熟知分式及等式的基本性质是解题的关键． 16．（2024秋•长宁区期末）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　减小　 （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　减小　 （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 【考点】分式的基本性质；多项式；分式的定义． 【分析】（1）由、的变化情况，判断1、1的变化情况即可； （2）由2，即可求解； （3）由5，再结合x的取值范围即可求解． 【解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小， ∴随着x的增大，1的值减小； ∵当x＜0时随着x的增大而减小， ∵1， ∴随着x的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）∵2， ∵当x＞1时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2； （3）∵5， 又∵0≤x≤2， ∴﹣13， ∴﹣8． 【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 【考点3】约分（第17-30题） · 约分前先对分子分母因式分解（提取公因式、公式法、十字相乘法） · 约分时约去的是公因式（乘积式），不是同一项 · 新定义题型（友好分式/和谐分式）：先读懂定义，再按定义逐一判断 · 化简结果必须是最简分式，注意符号处理 17．（2025秋•浦东新区期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】约分． 【分析】约去分式的分子与分母的公因式即可． 【解答】解：A、是最简分式，不能化简，不符合题意． B、原式＝x+y，不符合题意． C、原式＝﹣m+1，符合题意． D、原式，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 18．（2025秋•黄浦区校级月考）以下分式化简：①；②；③；④．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】约分；分式的基本性质． 【分析】通过代入具体数值或代数变形检验每个分式的化简是否正确，发现所有四个分式化简均错误． 【解答】解：代入具体数值或代数变形逐项分析判断如下： ①∵当x＝1时，左边，右边，右边≠左边， ∴①错误，符合题意； ②∵当x＝1，a＝2，b＝3时，左边，右边，右边≠左边， ∴②错误，符合题意； ③∵当x＝1，y＝1时，左边，右边＝1+1＝2，右边≠左边， ∴③错误，符合题意； ④∵，但右边＝x+y，除非y＝0，否则不相等， ∴④错误．符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质和分式的约分．熟练掌握以上知识点是关键． 19．（2025秋•江汉区期末）下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】约分． 【分析】根据约分的约分法则计算，判断即可． 【解答】解：A、是最简分式，故本选项约分错误，不符合题意； B、是最简分式，故本选项约分错误，不符合题意； C、b﹣a，约分正确，符合题意； D、是最简分式，故本选项约分错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 20．（2026•东兴市模拟）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【考点】约分． 【分析】根据分式的基本性质约分即可． 【解答】解：原式． 故选：B． 【点评】本题考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是关键． 21．（2025秋•虹口区校级期中）约分：　　 ． 【考点】约分． 【分析】先分子与分母分解因式，再进行约分即可得． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题关键． 22．（2025秋•闵行区校级月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若a为整数，且关于x的分式是“友好分式”，则a的值为 　6或10或﹣10　 ． 【考点】约分；因式分解的意义． 【分析】根据“友好分式”的定义及a为整数，可得x2+ax+9＝（x+3）2或x2+ax+9＝（x+1）（x+9）或x2+ax+9＝（x﹣1）（x﹣9），即可求出a的值． 【解答】解：根据“友好分式”的定义可知，x2+ax+9可以因式分解，且不含因式x﹣3， ∵a为整数， ∴x2+ax+9＝（x+3）2或x2+ax+9＝（x+1）（x+9）或x2+ax+9＝（x﹣1）（x﹣9）， ∴a＝6或a＝10或a＝﹣10； 故答案为：6或10或﹣10． 【点评】本题考查约分及因式分解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“友好分式”的定义． 23．（2024秋•青浦区校级月考）化简： 　　 ． 【考点】约分． 【分析】先把分式的法则提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式，然后把分母利用十字相乘法分解因式，最后约分即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的约分，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法和分式的通分与约分． 24．（2023秋•青浦区校级期中）约分：　　 ． 【考点】约分． 【分析】先分解因式，再进行约分即可得． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题关键． 25．（2025秋•汉阴县期末）约分： （1）； （2）． 【考点】约分． 【分析】（1）分子分母都约去公因式2mn即可； （2）先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式（a﹣3b）即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分；确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． 26．（2026秋•同步）约分： （1）； （2）； （3）． 【考点】约分． 【分析】（1）找出分式的分子、分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可得到结果； （2）分式的分子分母分解因式后，利用分式的基本性质约分即可得到结果； （3）分式的分子分母分解因式后，利用分式的基本性质约分即可得到结果； 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ＝2（x﹣y） ＝2x﹣2y． 【点评】此题考查了约分，约分的关键是找出分式的分子、分母的公因式． 27．（2026秋•同步）设a+b+c＝abc（abc≠0），化简：． 【考点】约分． 【分析】先将分子a（1﹣b2）（1﹣c2）+b（1﹣c2）（1﹣a2）+c（1﹣a2）（1﹣b2）化简分解，尽量往（a+b+c）和abc方面靠拢，进而代入求解． 【解答】解：分子＝a（1﹣b2）（1﹣c2）+b（1﹣c2）（1﹣a2）+c（1﹣a2）（1﹣b2） ＝a（1﹣b2﹣c2+b2c2）+b（1﹣c2﹣a2+a2c2）+c（1﹣a2﹣b2+a2b2） ＝（a+b+c）﹣ab（a+b）﹣bc（b+c）﹣ac（c+a）+abc（ab+ac+bc）， ∵a+b+c＝abc， ∴分子＝abc﹣ab（abc﹣c）﹣bc（abc﹣a）﹣ac（abc﹣b）+abc（ab+ac+bc） ＝abc﹣abc（ab﹣1+bc﹣1+ac﹣1）+abc（ab+ac+bc） ＝abc+3abc ＝4abc， ∴4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了约分，解决此题的关键是化简分式的分子． 28．（2026春•浚县月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是　②　 （填写序号即可）； （2）在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n． （3）若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为　4　 ． 【考点】约分；因式分解的意义． 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐一判断即可； （2）先将题中给出的三个整式中，能够因式分解的进行因式分解，再根据题意“这个分式不可约分”进行构造即可； （3）根据“和谐分式”的定义，考虑分母能够因式分解，结合a为正整数，可得a的值为4． 【解答】解：（1）根据“和谐分式”的定义，逐项分析判断如下： 对于①：，分子和分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于②：，分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”，符合题意； 对于③：，分母可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于④：，分子可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 综上，“和谐分式”是②． 故答案为：②； （2）∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）， m2+2mn+n2＝（m+n）2， ∴“和谐分式”有：和． （3）由条件可知x2+ax+4能够因式分解， ∵a为正整数，x2+ax+4能够因式分解， ∴a＝4或a＝5． ∵分式不可约分， 又∵当a＝5时，分母为x2+5x+4＝（x+1）（x+4），分式可约分，不满足“和谐分式”定义， 当a＝4时，分母为x2+4x+4＝（x+2）2，分式不可约分，满足“和谐分式”定义， ∴a＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了约分，熟练掌握分式的运算法则是关键． 29．（2026•宁夏）【回顾】整式乘法运算： （x+3）（x+8） ＝x2+3x+8x+3×8 ＝x2+（3+8）x+3×8 ＝x2+11x+24． 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：x2+11x+24＝（x+3）（x+8）． 【猜想】具有某种特征的二次三项式x2+px+q能化成两个一次因式乘积的形式，即x2+px+q＝（x+a）（x+b）． 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究． （1）根据x2+px+q＝（x+a）（x+b）的特征，补全下表： p 7 1 ﹣11 … q 6 ﹣12 30 … a 1 　﹣3　 ﹣5 … b 6 4 　﹣6　 … （2）当x2+px+q＝（x+a）（x+b）恒成立时，写出p，q与a，b满足的数量关系，并说明理由． 【应用】若分式能约分，请利用探究得到的结论，求m的值． 【考点】约分；多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法等． 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解得到答案； （2）利用十字相乘法因式分解即可证明； （3）设x2+mx﹣12＝（x﹣2）（x+b），求出b，进而求出m． 【解答】解：（1）x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3），x2﹣11x+30＝（x﹣5）（x﹣6）， 故答案为：﹣3；﹣6； （2）p＝a+b，q＝ab． 理由如下：∵x2+px+q＝（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab， ∴p＝a+b，q＝ab； （3）分式能约分， 设x2+mx﹣12＝（x﹣2）（x+b）， ∴﹣2b＝﹣12，b＝6， ∴m＝b﹣2， ∴m＝4． 【点评】本题考查的是分式的约分，掌握十字相乘法因式分解的一般步骤、约分法则是解题的关键． 30．（2024秋•普陀区期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下： ① ＝（a﹣b）2② ＝a2﹣b2③ （1）小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第 　①　 步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） （2）小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当a＝﹣2，b＝1时，按照上述错误的化简方法所求得a2﹣b2的值与的值相等，他将满足这一情况的数对a、b称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：a＝ 　﹣4　 ，b＝ 　2　 ． （3）小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【考点】约分． 【分析】（1）根据立方差公式，可以发现小普从第 ①步开始出现错误． （2）只要符合即可，a、b的值不止一组，比如a＝﹣4，b＝2． （3）将合化简，可得即a2+ab+b2＝a2﹣b2，化简得b（a+2b）＝0， 即b＝0，或a+2b＝0，即当b＝0，a≠0时，或a＝﹣2b时，可以找到“巧数对”． 【解答】解：（1）因为， 所以小普从第 ①步开始出现错误． 故答案为：①． （2）将a＝﹣4，b＝2代入可得：， a2﹣b2＝16﹣4＝12， 即， 所以a＝﹣4，b＝2． 故答案为：﹣4，2．（答案不唯一） （3）， 即， 即a2+ab+b2＝a2﹣b2， 得ab+2b2＝0， b（a+2b）＝0， 即b＝0，或a+2b＝0， 得b＝0或a＝﹣2b． 即当b＝0，a≠0时，或a＝﹣2b时，可以找到“巧数对”． 【点评】本题考查了约分，解决本题的关键是将分式进行化简． 【考点4】最简分式（第31-38题） · 最简分式判断：先因式分解分子分母，看是否有公因式 · 分子分母互为相反数时可通过变号约分（如=-1） · 卡片组分式题：列举所有可能组合，逐一判断是否有公因式 · 化最简分式时，每个小问独立约分，结果必须最简 31．（2025秋•闵行区期末）下列分式中是最简分式的为（　　） A． B． C． D． 【考点】最简分式． 【分析】最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，公因式包括变量和数字系数．据此逐项判断，即可求解． 【解答】解：A：的分子与分母有公因式3x，可约分为，不是最简分式，不符合题意； B：，分子与分母有公因式x﹣2，可约分为，不是最简分式，不符合题意； C：分子与分母无变量公因式，数字系数有公因数3，但变量无公因式，因此是最简分式，符合题意； D：，分子与分母有公因式x+y，可约分为x﹣y，不是最简分式，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了最简分式的定义，正确进行计算是解题关键． 32．（2025秋•浦东新区期末）下列分式中哪个是最简分式（　　） A． B． C． D． 【考点】最简分式． 【分析】利用约分和最简分式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A． ，所以A选项不符合题意； B． ，所以B选项不符合题意； C． ，所以C选项不符合题意； D． 为最简分式，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 33．（2025秋•虹口区校级期中）若分式是最简分式，则整式A可以是（　　） A．1 B．8 C．4x D．x2 【考点】最简分式． 【分析】直接利用最简分式的定义判断即可． 【解答】解：A、当整式A是1时， 原式，不是最简分式，故不符合题意； B、原式是最简分式，故符合题意； C、当整式A是4x时， 原式，不是最简分式，故不符合题意； D、当整式A是x2时， 原式，不是最简分式，故不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 34．（2024秋•闵行区期末）下列分式中最简分式是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简分式． 【分析】利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可． 【解答】解：A、分子、分母含有公因数2，所以不是最简分式，不符合题意； B、分子、分母含有公因式（x+1），所以不是最简分式，不符合题意； C、分子、分母含有公因式（x+2y），所以不是最简分式，不符合题意； D、分子不能分解因式，分子分母没有非零次的公因式，所以是最简分式，符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查最简分式的定义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可． 35．（2025秋•奉贤区期末）在分式.，，，中，最简分式有　3　 个． 【考点】最简分式． 【分析】根据最简分式的定义分别对每一个式子进行判断，即可得出答案． 【解答】解：，，是最简分式，的分子分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式． 故答案为：3． 【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 36．（2025秋•高安市期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是 　②　 （填序号即可）． ①；②；③；④． 【考点】最简分式． 【分析】根据最简分式，“和谐分式”的定义，即可判断． 【解答】解：①的分子、分母都不能因式分解，故该分式不是“和谐分式”， ②的分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，故该分式是“和谐分式”， ③的分母可以因式分解，但是分子、分母中都含有x+y，可以约分，故该分式不是“和谐分式”， ④的分子可以因式分解，但是分子、分母中都含有a+b，可以约分，故该分式不是“和谐分式”， 所以，上列分式中，是“和谐分式”的是：②， 故答案为：②． 【点评】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式，“和谐分式”的定义是解题的关键． 37．（2025春•同步）已知四张卡片上面分别写着6，x+1，x2﹣1，x﹣1，从中任意选两张卡片，则由这两张卡片上的整式组成的分式中，是最简分式的有 　5　 个． 【考点】最简分式． 【分析】根据最简分式的定义写出最简分式，即可解答． 【解答】解：能组成的最简分式是：，，，，， 共有5个， 故答案为：5． 【点评】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键． 38．（2025秋•同步）把下列分式化成最简分式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【考点】最简分式． 【分析】（1）根据分式的约分法则计算； （2）先把分子因式分解，再根据分式的约分法则计算； （3）先把分子因式分解，再根据分式的约分法则计算； （4）先把分子因式分解，再根据分式的约分法则计算； （5）先把分子因式分解，再根据分式的约分法则计算． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）x+y﹣z； （5）． 【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 📝 随堂检测 【练习1】（2026春•平顶山期中）下列分式中，最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简分式． 【分析】最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断． 【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下： ∵A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式，不符合题意； B： ，分子分母有公因式a，可约分为，不是最简分式，不符合题意； C： ，分子分母有公因式x+1，可约分为，不是最简分式，不符合题意； D：，分母x2+1在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简分式的判断，熟练掌握该知识点是关键． 【练习2】（2026秋•沧县校级月考）若把分式中的x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【考点】分式的基本性质． 【分析】设，根据分式的性质，得，解答即可． 【解答】解：设， ∵把分式中的x、y都扩大为原来的3倍， ∴， 故分式的值不变， 故选：C． 【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【练习3】（2025秋•绥化校级期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分式的基本性质． 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【练习4】（2026秋•同步）已知当x＝﹣2时，分式无意义：当x＝4时，分式的值为零．求a+b的值． 【考点】分式的值为零的条件；分式有意义的条件． 【分析】分式无意义是，分母等于零．所以﹣2+a＝0，由此可以求得a＝2；分式等于零，分子等于零，即4﹣b＝0，则b＝4．所以易求a+b的值． 【解答】解：∵当x＝﹣2时，分式无意义， ∴﹣2+a＝0，解得a＝2． ∵x＝4时，分式的值为零， ∴4﹣b＝0，则b＝4． ∴a+b＝2+4＝6，即a+b的值是6． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件、分式有意义的条件． （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． 【练习5】（2026春•同步）约分： （1）； （2）； （3）． 【考点】约分． 【分析】（1）利用分式的基本性质把分子分母都约去2ab即可； （2）利用分式的基本性质把分子分母都约去3a（a﹣1）即可； （3）利用分式的基本性质把分子分母都约去6（a﹣b）即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 💯 课后巩固 复习建议 · 分式概念与整式的区别核心在于分母是否含字母，做题时先看分母 · 基本性质是分式恒等变形的依据，注意同乘除必须是同一个非零整式 · 约分时务必先因式分解，再约去公因式，不可漏项 · 判断最简分式要彻底分解因式，注意互为相反数的因式可约 · 新定义题先仔细读题理解定义，再逐项验证，不要凭直觉判断 【作业1】（2025秋•浦东新区校级期末）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简分式． 【分析】最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，要判断哪个分式是最简分式，需依次分析每个选项的分子与分母是否有公因式，若没有公因式则为最简分式． 【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下： A、，不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了最简分式的定义．熟练掌握该知识点是关键． 【作业2】（2025秋•虹口区期末）如果把分式中a和b的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 【考点】分式的基本性质． 【分析】先将a和b都扩大2倍代入分式，再根据分式的基本性质进行化简，最后与原分式进行比较即可． 【解答】解：∵a和b都扩大2倍， ∴， ∴如果把分式中a和b的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业3】（2025秋•普陀区期末）下列式子从左往右的变形，错误的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的基本性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．∵a2+1＞0， ∴，故选项A正确； B．分式的分子和分母同时乘2，得，故选项B正确； C．当a+1≠0时，，故选项C错误； D．∵原式中a≠0， ∴a2≠0， ∴，故选项D正确． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【作业4】（2025秋•杨浦区期末）下列各式从左到右变形错误的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，需逐一分析选项是否符合该性质． 【解答】解：A选项，（因a2﹣4可因式分解为（a+2）（a﹣2）），分子分母同除以a+2（a≠﹣2时），得到，变形正确； B选项，，当x≠y且x≠﹣y时，分子分母同乘x﹣y，但右边的前提是x2﹣y2≠0，若x2﹣y2＝0（即x＝y或x＝﹣y），则变形无意义，变形错误； C选项，（分子分母同加4b和6a，相当于分子分母同乘3后化简），变形正确； D选项，（分子分母同除以2x，x≠0时），变形正确． 故选：B． 【点评】本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练运用分式的基本性质． 【作业5】（2025秋•宝山区校级期中）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简分式． 【分析】根据最简分式的概念判断即可． 【解答】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【作业6】（2026春•上海校级月考）把分式中的分子、分母的x、y同时变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不改变 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的基本性质即可得出答案． 【解答】解：把分式中的分子、分母的x、y同时变为原来的3倍， 得， 故分式的值不变． 故选：D． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题的关键． 【作业7】（2025秋•黄浦区校级月考）已知三张卡片上面分别写有6，x﹣1，x2﹣1，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 　或．　 ．（写出一个分式即可） 【考点】最简分式． 【分析】根据最简分式的概念解答即可． 【解答】解：和都是符合题意的最简分式， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是最简分式的概念，分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【作业8】（2025秋•宝山区校级期中）若分式的值为3，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为　3　 ． 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的基本性质，把x，y都扩大2倍，代入原式，化简即可得出答案． 【解答】解：∵分式的值为3， ∴， ∵x，y都扩大2倍， ∴ ＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【作业9】（2025秋•宝山区校级月考）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为　　 ． 【考点】分式的基本性质． 【分析】将分式中的a和b同时扩大2倍后，新分式是原分式的2倍，据此即可求解． 【解答】解：∵， 把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍， ∴新分式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题关键． 【作业10】（2024秋•闵行区校级期中）化简：　　 ． 【考点】约分． 【分析】先将分子和分母分别进行因式分解，再运用分式的性质化简即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了约分，解题的关键是掌握分式的基本性质和因式分解． 【作业11】（2024秋•闵行区校级月考）已知，求分式的值． 　　 【考点】分式的基本性质． 【分析】先将整理变形，转化为，再将分式化简，求出分式的值． 【解答】解：已知等式两边取倒数：x+13， ∴， ∴x2+1（x）2﹣2+1＝4﹣1＝3， ∴． 故答案为：． 【点评】解决本题的关键是将式子整理变形，对分式进行化简． 【作业12】（2025秋•诸城市校级月考）计算（约分）： （1）； （2）； （3）4a2b÷（6ab2）； （4）（3x2+x）÷（x2﹣x）． 【考点】约分；整式的除法． 【分析】（1）分子分母都约去公因式5a2bc即可； （2）先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式（a﹣2b）即可； （3）先写成分式的形式，然后分子分母都约去公因式2ab即可； （4）先写成分式的形式，再把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式x即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． 【作业13】（2026春•同步）约分： （1）； （2）； （3）． 【考点】约分． 【分析】（1）找出分子与分母的公因式，约去公因式即可； （2）找出分子与分母的公因式，约去公因式即可； （3）找出分子与分母的公因式，约去公因式即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式 ． 【点评】本题考查的是约分，熟知约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分是解题的关键． 【作业14】（2026春•渠县期末）【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：g），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质）/g 水（溶剂）/g 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：a＝1，b＝3， ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度x＝　25%　 ； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量d＝4.5g，同学丙准备氯化钠的质量e＝2g，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且a+b+c≠0，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 【考点】分式的基本性质；多项式乘多项式． 【分析】（1）根据题意，结合已知条件的溶液浓度公式，代入数值，即可得到结果； （2）根据题意，把条件转化为a＝（a+b）x，c＝（c+d）x，e＝（e+f）x，代入到需证明的等式的左边，化简整理，可证得结果； （3）仿照（2）的证明过程，先求得k＝1，再代入到条件中得到a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，即可得到结果． 【解答】（1）解：①∵甲配制的溶液浓度， ∴当a＝1，b＝3时，x25%， 故答案为：25%； ②∵依题意，， ∴当d＝4.5时，， 解得c＝1.5； ∵， ∴当e＝2g时，， 解得f＝6； （2）证明：∵，a，b，c，d，e，f均为正数， ∴a＝（a+b）x，c＝（c+d）x，e＝（e+f）x， ∴a+c+e＝（a+b）x+（c+d）x+（e+f）x， ∴ ＝x， 即； （3）解：∵设k， ∴a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka， ∴（a+b﹣c）+（a﹣b+c）+（﹣a+b+c）＝ka+kb+kc， ∴a+b+c＝k（a+b+c）， ∵a，b，c均不为0且a+b+c≠0， ∴k＝1， ∴a+b﹣c＝kc＝c，a﹣b+c＝kb＝b，﹣a+b+c＝ka＝a， ∴a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a， ∴ ＝8． 【点评】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 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