专题05分式及其性质 暑假预习讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题05分式及其性质暑假预习讲义 1. 识记：理解分式定义，明确分式为（A、B均为整式，分母B含字母），区分整式与分式，知晓有理式包含整式与分式两类。 2. 判定：熟练掌握分式三类取值条件，精准求解：分式有意义（分母≠0）、分式无意义（分母=0）、分式值为0（分子=0且分母≠0）时字母取值范围。 3. 理解：类比分数基本性质，熟记分式基本性质，牢记分子、分母同乘（除）的整式不能为0，明晰该性质是分式变形的核心依据。 4. 掌握：吃透分式符号法则，分子、分母、分式自身三者符号，任意改变两个，分式数值保持不变，规范处理负号变形题目。 5. 实操：运用分式基本性质完成两类变形，一是将分子分母各项系数化为整数，二是把分子、分母最高次项系数统一化为正数。 6. 运算：掌握约分完整步骤，单项式分式直接找公因式约分，多项式分式先因式分解再约分，最终结果化为最简分式。 7. 求值：代入数值计算分式结果，求值前优先判定字母取值能否让分式有意义，规避分母为零的无效代入。 8. 辨析：区分分式恒等变形与方程变形，警惕运用基本性质时遗漏“整式不为0”的限制条件。 9. 题型：能解决分式值为正数、负数时自变量范围，以及分式值为整数时求整数解两类高频题型。 10. 避错：梳理高频易错点，约分不彻底、忽略分母不为零、符号变换出错、系数整数化时漏乘单项。 预习必备 知识梳理 1.分式的定义 2.分式有无意义及值为0的条件 3.分式的基本性质 4.分式的变号法则 5.约分与通分 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.分式的判断 2.分式规律探究 3.按要求构造分式 4.分式有意义的条件 5.分式无意义的条件 6.分式值为零的条件 7.分式的求值 8.由分式正负求未知数取值范围 9.分式取整求未知数整数值 10.分式变形的判断 11.分式变形成立的条件 12.分式值变化判断 13.分式最次项系数转正 14.分式系数化为整数 15.最简分式 16.约分 强化题型 解答题6题 知识点 01 分式的定义 1. 分式概念 如果两个整式A、B相除，可以写成的形式； 当分母B中含有字母，且\(B≠0\)时，叫做分式。 其中：A叫分子，B叫分母。 2. 整式与分式区分表 代数式 类型 判断依据 整式（单项式） 分母无字母 分式 分母含字母x 整式 分母是常数 分式 分母含字母 5、3a-1 整式 无分母 知识点02:分式有意义、无意义及值为零的条件 情况 满足条件 解题要点 分式有意义 分母 B 0 只限制分母，与分子无关 分式无意义 分母 B = 0 令分母等于 0 求解 分式的值为 0 分子 A=0且 分母 B 0 两步缺一不可，必须检验分母 典型例题 分式 有意义：x+1≠0 x≠-1 值为 0： x=3\) 知识点 03 分式的基本性质 1. 文字法则 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2. 字母公式 3. 核心三点注意 1.分子、分母同时乘 / 除，不能只单独变分子或分母； 2.乘除的整式M不能为 0，否则分式无意义； 3.性质是分式约分、通分的理论依据。 知识点04:分式的变号法则（性质延伸） 1. 法则内容 分式的分子、分母、分式本身这三个符号中，改变其中任意两个，分式的值不变；改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数。 2. 字母表示 ​ 3. 应用 用于统一分式符号、化简分式，是分式运算的基础。 知识点 05约分（分式基本性质直接应用） 1. 约分定义 把分式分子、分母的公因式同时约去，这种变形叫约分。 2. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 分式化简最终结果必须化为最简分式。 3. 约分完整步骤 （1）因式分解：分子、分母分别分解因式（多项式先分解）； （2）找公因式：找出分子分母全部相同因式； （3）约去公因式，化为最简分式。 举例 4. 找分子分母公因式方法 （1）系数：取分子分母系数最大公因数； （2）字母 / 多项式因式：取相同因式最低次幂。 知识点 06通分（分式基本性质拓展应用） 1. 通分定义 把几个异分母分式，利用分式基本性质化为同分母分式，分母取各分母的最简公分母。 2. 最简公分母确定方法 组成部分 选取规则 系数 取各分母系数的最小公倍数 字母 / 因式 所有分母中出现的不同字母、因式全部选取 相同字母 / 因式 取最高次幂 举例 分式、 最简公分母：系数最小公倍数6，字母最高次x2，即6x2 知识点 07本节高频易错点 1.求分式值为 0 时，只令分子等于 0，忽略分母不能为 0 的限制条件，会算出使分式无意义的错误解。 2.混淆分式基本性质，误以为分子分母同时加、减同一个数，分式值不变，性质只适用于同乘、同除，加减法不成立。 3.遇到分子分母是多项式的分式，不先因式分解就直接约分，无法找出隐藏公因式，化简不彻底。 4.分式变号时只单独修改分子或分母一处符号，违背 “两处同时变号值不变” 的规则，导致分式数值改变。 5.约去含字母公因式后，忘记标注字母不能等于该因式的取值，忽略原式隐含的取值限制。 6.找最简公分母时，系数取最大公约数而非最小公倍数，导致公分母不是最小，通分计算繁琐。 7.判断分式时混淆数字字母，把分母含常数的式子误判为分式，把分母带字母的整式除法误判为整式。 8.运用基本性质乘除时，只给分子乘对应整式，分母不做同步变换，等式直接不成立。 题型1.分式的判断 【典例】下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式的定义为：两个整式、（），若中含有字母，则式子是分式． 【详解】解：A、的分母为，是常数，不含字母，属于整式，不是分式； B、的分母含有字母，符合分式定义； C、的分母为，是常数，不含字母，属于整式，不是分式； D、是多项式，属于整式，不是分式． 【跟踪专练1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤ ②⑥⑦ 【分析】根据整式和分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据整式和分式的定义可知， 是分式的有：，，，， 是整式的有：，，． 故答案为：①③④⑤，②⑥⑦． 【跟踪专练2】下列各式：，，，，其中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：在，，，中，其中分式有：、共2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 题型2.分式规律探究 【典例】已知，，，，（为正整数）．像，，，这样分子为1，分母是正整数的分数叫作单位分数．借助上述思路解决以下问题： 对于任意正整数，将写成两个不同的单位分数相加，即___________．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题．理解题意，结合，得，则令，代入，即可作答． 【详解】解：由已知条件中的等式 ，可得． 令，代入，得． ∴对于任意正整数 ，有 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】按一定规律排列的分式：，，，，，…，则第10个分式是________． 【答案】 【分析】根据题干中的分式总结规律即可． 【详解】解：由题可得，符号规律为：奇数项为负、偶数项为正，符号可表示为； 分子的规律为：的指数是连续奇数，可表示为，分子为； 分母规律为：分母恒含，系数依次是，因此分母可表示为； ∴第n个分式是， 则第10个分式是． 【跟踪专练2】观察代数式4，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析每个代数式中分母的指数、分子与代数式的个数之间的规律，从而确定答案． 【详解】第一个代数式可化为：， 第二个代数式可化为：， 第三个代数式可化为：， 第四个代数式可化为：，…， 故第个式子为． 题型3.按要求构造分式 【典例】写出一个分式，使它满足：①含有字母，；②分子是一个单项式；③分母是一个多项式，你写的这个分式是________（只要求写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题目给出的三个条件，结合分式、单项式、多项式的定义，构造符合要求的分式即可． 【详解】解：根据要求：①含有字母，；②分子为单项式；③分母为多项式， 可构造出分式，该分式满足所有条件． 【跟踪专练1】甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出公交车的实际行驶时间，再利用速度=路程÷时间列代数式即可 【详解】∵甲、乙两地相距，原计划用时，公交车提前到达， ∴公交车实际用时为， ∵速度=路程÷时间， ∴公交车的速度为， 【跟踪专练2】已知，则可用含、的式子表示为________． 【答案】 【详解】解：， 两边同乘去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 提取公因式，得， ， ，系数化为，得． 【跟踪专练3】学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本元，共花费600元，很快借阅一空；第二次又花费600元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“数量=总花费÷单价”，分别求出两次购进读物的数量，再用第二次的数量减去第一次的数量，即可得到结果． 【详解】∵第一次采购单价为每本元，总花费为元， ∴第一次购进读物的数量为本， ∵第二次每本价格比第一次降低元，总花费仍为元 ∴第二次采购单价为每本元，第二次购进读物的数量为本 ∴第二次购进的读物数量比第一次多本． 题型4.分式有意义的条件 【典例】若分式有意义，则的值可以是________．（只写一个） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据分式有意义时分母不为，可得到的取值要求，任写一个符合要求的的值即可． 【详解】解：根据题意可得， 解得， 所以任取一个不等于的数，此处取（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为， ， 解得，． 【跟踪专练2】若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件可得，再求出解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 所以实数x的取值范围是． 【跟踪专练3】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，从表格提取信息得到条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：从表格信息可得到三个条件： ① 时，无意义，即时分母为； ② 时，无意义，即时分母为； ③ 时，，即时分子为且分母不为． A、，时，分母，有意义，不符合条件①，排除A； B、，时，分母，有意义，不符合条件②，排除B； C、，时，分子，，不符合条件③，排除C； D、，时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，D符合要求． 题型5.分式无意义的条件 【典例】若分式在实数范围内无意义，则的值是________． 【答案】 【分析】分式无意义的条件是分母等于零，据此列方程求解即可． 【详解】分式在实数范围内无意义， ，解得：． 【跟踪专练1】当______时，分式无意义． 【答案】 【详解】解：根据分式无意义的条件，当分母为时，分式无意义． ∴， ∴. 【跟踪专练2】当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据分式无意义的条件求出的值，再根据分式值为的条件求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义 ， 使得分母等于0，即 ， 解得， 当时，分式的值为， ， 将代入得，满足条件， 解得， ． 【跟踪专练3】根据下列表格中的信息（*表示被覆盖的数字），代表的分式可能是（     ） … 0 1 2 … … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质，分式值为0时满足分子为0且分母不为0，分式无意义时满足分母为0，结合表格给出的已知条件，逐一排除错误选项即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，时无意义，即分式的分母在时的值为， 选项A分母为，时，，排除A选项； 选项C分母为，时，，排除C选项； 又由表格得，时，即分式的分子在时为，且此时分母不为， 选项B分子为，时，，分母，满足，符合条件； 选项D分子为，时，，不满足，排除D选项． 题型6.分式值为零的条件 【典例】若分式的值为0，则x的值为_____ ． 【答案】 【分析】本题根据分式值为的条件，即分子为且分母不为，列条件求解即可. 【详解】解：分式的值为， 需满足： 解得， 当时，分母，满足分母不为的条件， 因此符合要求． 【跟踪专练1】若分式的值等于0，则x的值为（     ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】分式值为0需同时满足分子为0，分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得， 解得， ∴． 【跟踪专练2】若分式的值为零，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件：需满足分子为零，同时分母不为零，进行解答即可． 【详解】解：分式的值为零， ，且， 解得，，且，且， ． 【跟踪专练3】若分式的值为0，则实数x的值为（     ） A．3 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】先求解分子为0时x的取值，再排除使分母为0的不符合取值，即可得到结果. 【详解】解：∵分式的值为0 ∴满足两个条件：，且 解得 对分母因式分解得 由得 ∴综上，. 题型7.分式的求值 【典例】若，则__________． 【答案】 【详解】解：， ∴. 【跟踪专练1】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用代入消元法，将代入所求分式，约分后即可得到结果． 【详解】， 若，则分式分母无意义， ， 将代入得， ． 【跟踪专练2】若，则的值___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】已知，则分式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的关系，再整体代入所求分式化简求值即可． 【详解】解：，即， ， 将代入得 ， 故选：C． 题型8.由分式正负求未知数取值范围 【典例】若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：分式的值为正数， 分子与分母同号， 对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数， ． 【跟踪专练1】若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 【跟踪专练2】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 题型9.分式取整求未知数整数值 【典例】若的值为整数，则满足条件的的整数值可以为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先对原式的分子分母分别因式分解，约分得到化简结果，再根据分式的值为整数，结合分式有意义的条件，即可得到满足要求的整数． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母不为零， ∴， 解得且， ∴ ∵原式的值为整数，为整数， ∴为整数，即为的因数，符合条件的整数可以为，任取一个即可． 【跟踪专练1】已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 【跟踪专练2】已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或2 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 【跟踪专练3】已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先对分式变形分离常数，再根据代数式的值为整数得到是的约数，求出所有符合条件的后求和即可． 【详解】解：对分式变形得， ∵代数式的值为整数，为整数，分式有意义要求， ∴是的整数约数， 即或或或， 解得， 解得， 解得， 解得， ∴所有符合条件的的和为． 题型10.分式变形的判断 【典例】填空：，括号里应该填_______． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】∵分母 乘 得到 ， ∴分子 也要同乘 ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列分式变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分子分母同时改变符号，分式值不变． 【详解】解：A、，A错误； B、 该变形给分子乘，分母乘，不符合分式基本性质，B错误； C、 该变形给分子分母同时减去同一个数，不符合分式基本性质， C错误； D、，符合分式基本性质，D正确． 【跟踪专练2】在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 【跟踪专练3】下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：A．该变形为分子分母同时减，不符合分式基本性质，变形错误． B．该变形分子分母同乘，未保证，当时变形无意义，变形错误． C．原式分母，分式有意义可推出且，∴分子分母同除以，可得，变形正确． D．，变形错误． 题型11.分式变形成立的条件 【典例】．运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质，观察分母的变化，给分子做相同的变形即可求出A 【详解】解：∵ 原等式左边分母为，右边分母为， ∴分母乘了， ∴ 分子也需要同乘， ∴ 【跟踪专练1】若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型12.分式值变化判断 【典例】将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的________． 【答案】10倍 【分析】本题属于考查了分式的基本性质，将和都扩大10倍后代入分式，化简即可． 【详解】解：设原分式为， 当和都扩大10倍时，新分式为： ， 因此分式的值变为原来的10倍． 故答案为：10倍． 【跟踪专练1】分式中的a，b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（     ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的2倍 【答案】C 【分析】用扩大后的字母替换原分式中的a和b，化简后将新分式与原分式对比，即可得到分式值的变化． 【详解】解：原分式为，将a，b都扩大为原来的2倍后，得到新分式： 所以新分式与原分式相等，分式的值不变． 【跟踪专练2】若，则________． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，设参数表示出和，再代入所求分式化简计算即可得到结果． 【详解】解：设，其中， 则，， ∴． 【跟踪专练3】将下列分式中a，b的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将扩大后的，替换原分式中的，，化简后与原分式比较，值相等的即为正确选项． 【详解】解：A、，分式值变为原来的，不符合要求； B、，与原分式值相等，符合要求； C、，分式值变为原来的倍，不符合要求； D、，分式值变为原来的倍，不符合要求． 题型13.分式最次项系数转正 【典例】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【跟踪专练1】不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练2】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①=___________；   ②=__________________； ③=_________；④=______________． 【答案】 【详解】①= ; ②=; ③= ④=.故答案为  (1).     (2).     (3).     (4). 题型14.分式系数化为整数 【典例】不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同乘5即可． 【详解】解：， 故选A． 【跟踪专练1】不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质让分子分母同扩大10倍即可． 【详解】解：． 【跟踪专练2】某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店m笔交易中，手机支付笔数占；乙店n笔交易中，手机支付笔数占．该连锁超市这一天的交易中，手机支付笔数所占的比例是______． 【答案】 【分析】先分别求出甲店和乙店的手机支付笔数，再计算两店总的手机支付笔数与总交易笔数，最后根据比例的定义，用总手机支付笔数除以总交易笔数得到结果． 【详解】解：根据题意，甲店手机支付笔数为 ， 乙店手机支付笔数为 ， 两店总手机支付笔数为 ， 两店总交易笔数为 ， 因此手机支付笔数所占比例为． 【跟踪专练3】下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 题型15.最简分式 【典例】要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式约分中公因式的确定，公因式由分子分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂组成，利用公因式的确定方法解题． 【详解】解：分子与分母中， 系数和的最大公约数为， 两个式子共有的字母为和， 相同字母的最低次幂分别为和， 仅出现在分子中，不属于公因式的组成部分， 因此可得公因式为． 【跟踪专练1】下列分式是最简分式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，即分子分母没有公因式的分式，对各选项逐一判断即可． 【详解】∵ 最简分式的定义为分子分母不含公因式的分式． 选项A：，分母无法分解因式，分子分母没有公因式，是最简分式； 选项B：，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子分母有公因式，不是最简分式； 选项D：，分子分母有公因式，不是最简分式． 【跟踪专练2】在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 【跟踪专练3】下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各选项分子进行因式分解，判断分子分母是否存在公因式，无公因式的即为最简分式． 【详解】解：选项：分子分母中不含有能约分的式子，是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式． 题型16.约分 【典例】化简：__________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】化简时，应约去的分子分母的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：分子为，分母为，先确定系数部分：和的最大公约数是， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂，仅出现在分子中，不纳入公因式， 分子分母的公因式为． 【跟踪专练2】，括号内应填_________． 【答案】 【分析】先对原式的分母因式分解，再约去分子分母的公因式，即可得到括号内的结果； 【详解】解：． 【跟踪专练3】已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【详解】解：∵， ∴括号中应填． 解答题 1．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 2．已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【答案】5 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式无意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母为是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算求出、的值，然后代入求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得， 解得 ． 3．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)， ， (2)的值为或 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）仿照例题得到，则可推出是整数，结合x为正整数得到或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∵分式的值为正整数， ∴为正整数， ∴一定是整数， ∵x为正整数， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去，此时的值为负数）． 4．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 5．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 6．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小，减小 (2)的值无限接近 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． （）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小，即的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 由于，则当时，随着的增大，的值随之减小，从而的值随之减小，即的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05分式及其性质暑假预习讲义 1. 识记：理解分式定义，明确分式为（A、B均为整式，分母B含字母），区分整式与分式，知晓有理式包含整式与分式两类。 2. 判定：熟练掌握分式三类取值条件，精准求解：分式有意义（分母≠0）、分式无意义（分母=0）、分式值为0（分子=0且分母≠0）时字母取值范围。 3. 理解：类比分数基本性质，熟记分式基本性质，牢记分子、分母同乘（除）的整式不能为0，明晰该性质是分式变形的核心依据。 4. 掌握：吃透分式符号法则，分子、分母、分式自身三者符号，任意改变两个，分式数值保持不变，规范处理负号变形题目。 5. 实操：运用分式基本性质完成两类变形，一是将分子分母各项系数化为整数，二是把分子、分母最高次项系数统一化为正数。 6. 运算：掌握约分完整步骤，单项式分式直接找公因式约分，多项式分式先因式分解再约分，最终结果化为最简分式。 7. 求值：代入数值计算分式结果，求值前优先判定字母取值能否让分式有意义，规避分母为零的无效代入。 8. 辨析：区分分式恒等变形与方程变形，警惕运用基本性质时遗漏“整式不为0”的限制条件。 9. 题型：能解决分式值为正数、负数时自变量范围，以及分式值为整数时求整数解两类高频题型。 10. 避错：梳理高频易错点，约分不彻底、忽略分母不为零、符号变换出错、系数整数化时漏乘单项。 预习必备 知识梳理 1.分式的定义 2.分式有无意义及值为0的条件 3.分式的基本性质 4.分式的变号法则 5.约分与通分 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.分式的判断 2.分式规律探究 3.按要求构造分式 4.分式有意义的条件 5.分式无意义的条件 6.分式值为零的条件 7.分式的求值 8.由分式正负求未知数取值范围 9.分式取整求未知数整数值 10.分式变形的判断 11.分式变形成立的条件 12.分式值变化判断 13.分式最次项系数转正 14.分式系数化为整数 15.最简分式 16.约分 强化题型 解答题6题 知识点 01 分式的定义 1. 分式概念 如果两个整式A、B相除，可以写成的形式； 当分母B中含有字母，且\(B≠0\)时，叫做分式。 其中：A叫分子，B叫分母。 2. 整式与分式区分表 代数式 类型 判断依据 整式（单项式） 分母无字母 分式 分母含字母x 整式 分母是常数 分式 分母含字母 5、3a-1 整式 无分母 知识点02:分式有意义、无意义及值为零的条件 情况 满足条件 解题要点 分式有意义 分母 B 0 只限制分母，与分子无关 分式无意义 分母 B = 0 令分母等于 0 求解 分式的值为 0 分子 A=0且 分母 B 0 两步缺一不可，必须检验分母 典型例题 分式 有意义：x+1≠0 x≠-1 值为 0： x=3\) 知识点 03 分式的基本性质 1. 文字法则 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2. 字母公式 3. 核心三点注意 1.分子、分母同时乘 / 除，不能只单独变分子或分母； 2.乘除的整式M不能为 0，否则分式无意义； 3.性质是分式约分、通分的理论依据。 知识点04:分式的变号法则（性质延伸） 1. 法则内容 分式的分子、分母、分式本身这三个符号中，改变其中任意两个，分式的值不变；改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数。 2. 字母表示 ​ 3. 应用 用于统一分式符号、化简分式，是分式运算的基础。 知识点 05约分（分式基本性质直接应用） 1. 约分定义 把分式分子、分母的公因式同时约去，这种变形叫约分。 2. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 分式化简最终结果必须化为最简分式。 3. 约分完整步骤 （1）因式分解：分子、分母分别分解因式（多项式先分解）； （2）找公因式：找出分子分母全部相同因式； （3）约去公因式，化为最简分式。 举例 4. 找分子分母公因式方法 （1）系数：取分子分母系数最大公因数； （2）字母 / 多项式因式：取相同因式最低次幂。 知识点 06通分（分式基本性质拓展应用） 1. 通分定义 把几个异分母分式，利用分式基本性质化为同分母分式，分母取各分母的最简公分母。 2. 最简公分母确定方法 组成部分 选取规则 系数 取各分母系数的最小公倍数 字母 / 因式 所有分母中出现的不同字母、因式全部选取 相同字母 / 因式 取最高次幂 举例 分式、 最简公分母：系数最小公倍数6，字母最高次x2，即6x2 知识点 07本节高频易错点 1.求分式值为 0 时，只令分子等于 0，忽略分母不能为 0 的限制条件，会算出使分式无意义的错误解。 2.混淆分式基本性质，误以为分子分母同时加、减同一个数，分式值不变，性质只适用于同乘、同除，加减法不成立。 3.遇到分子分母是多项式的分式，不先因式分解就直接约分，无法找出隐藏公因式，化简不彻底。 4.分式变号时只单独修改分子或分母一处符号，违背 “两处同时变号值不变” 的规则，导致分式数值改变。 5.约去含字母公因式后，忘记标注字母不能等于该因式的取值，忽略原式隐含的取值限制。 6.找最简公分母时，系数取最大公约数而非最小公倍数，导致公分母不是最小，通分计算繁琐。 7.判断分式时混淆数字字母，把分母含常数的式子误判为分式，把分母带字母的整式除法误判为整式。 8.运用基本性质乘除时，只给分子乘对应整式，分母不做同步变换，等式直接不成立。 题型1.分式的判断 【典例】下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【跟踪专练2】下列各式：，，，，其中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2.分式规律探究 【典例】已知，，，，（为正整数）．像，，，这样分子为1，分母是正整数的分数叫作单位分数．借助上述思路解决以下问题： 对于任意正整数，将写成两个不同的单位分数相加，即___________．（结果用含的代数式表示） 【跟踪专练1】按一定规律排列的分式：，，，，，…，则第10个分式是________． 【跟踪专练2】观察代数式4，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为（     ） A． B． C． D． 题型3.按要求构造分式 【典例】写出一个分式，使它满足：①含有字母，；②分子是一个单项式；③分母是一个多项式，你写的这个分式是________（只要求写一个）． 【跟踪专练1】甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则可用含、的式子表示为________． 【跟踪专练3】学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本元，共花费600元，很快借阅一空；第二次又花费600元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C． D． 题型4.分式有意义的条件 【典例】若分式有意义，则的值可以是________．（只写一个） 【跟踪专练1】若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【跟踪专练3】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 题型5.分式无意义的条件 【典例】若分式在实数范围内无意义，则的值是________． 【跟踪专练1】当______时，分式无意义． 【跟踪专练2】当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值为______． 【跟踪专练3】根据下列表格中的信息（*表示被覆盖的数字），代表的分式可能是（     ） … 0 1 2 … … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 题型6.分式值为零的条件 【典例】若分式的值为0，则x的值为_____ ． 【跟踪专练1】若分式的值等于0，则x的值为（     ） A．3 B． C． D．0 【跟踪专练2】若分式的值为零，则的值为_______ 【跟踪专练3】若分式的值为0，则实数x的值为（     ） A．3 B． C． D．不存在 题型7.分式的求值 【典例】若，则__________． 【跟踪专练1】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则的值___________． 【跟踪专练3】已知，则分式的值为（     ） A． B． C． D． 题型8.由分式正负求未知数取值范围 【典例】若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【跟踪专练1】若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【跟踪专练2】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 题型9.分式取整求未知数整数值 【典例】若的值为整数，则满足条件的的整数值可以为________．（写出一个即可） 【跟踪专练1】已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【跟踪专练2】已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【跟踪专练3】已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 题型10.分式变形的判断 【典例】填空：，括号里应该填_______． 【跟踪专练1】下列分式变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【跟踪专练3】下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型11.分式变形成立的条件 【典例】．运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则的值为__________． 【跟踪专练2】若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型12.分式值变化判断 【典例】将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的________． 【跟踪专练1】分式中的a，b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（     ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的2倍 【跟踪专练2】若，则________． 【跟踪专练3】将下列分式中a，b的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 题型13.分式最次项系数转正 【典例】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【跟踪专练2】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①=___________；   ②=__________________； ③=_________；④=______________． 题型14.分式系数化为整数 【典例】不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 【跟踪专练2】某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店m笔交易中，手机支付笔数占；乙店n笔交易中，手机支付笔数占．该连锁超市这一天的交易中，手机支付笔数所占的比例是______． 【跟踪专练3】下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 题型15.最简分式 【典例】要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为_______． 【跟踪专练1】下列分式是最简分式的是（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】在分式，，，，中，最简分式有__个． 【跟踪专练3】下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 题型16.约分 【典例】化简：__________． 【跟踪专练1】化简时，应约去的分子分母的公因式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】，括号内应填_________． 【跟踪专练3】已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 2．已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 3．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 4．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 5．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 6．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $