1.3 探索三角形全等的条件 同步练习 2026--2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

鲁教版七年级上册数学1.3探索三角形全等的条件（附答案解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程，连接、，得出了，从而得到，其中小明作出判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（ ） A．斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 B．一款跑步鞋在进价的基础上提高标价，商场为了促销打八折销售，仍可获利元， 则这款跑步鞋的进价为元 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 D．甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差 3．在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接；②以A为圆心，以的长为半径作弧，以为圆心，以的长为半径作弧，两弧在右侧交于点；③连接，连接交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．下列图形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 5．下列图形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 6．下列图形具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论：_________（填序号）． 9．如图，在梯形中，，为的中点，过点作，垂足为，，，则梯形的面积为________． 10．如图，，若要使，请添加一个条件______．（只需填写一个正确条件） 三、解答题 11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图． (1)在图1中，画出与全等的格点．（画出一个即可） (2)在图2中，画出与面积相等，但不全等的格点．（画出一个即可） 12．如图，在的网格中，的顶点均在格点上，请作出一个格点，使与全等． 13．如图，，，求证： (1)． (2) 14．如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 15．如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是，是格点三角形（顶点在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）．    (1)在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形． (2)在图2中画出，使与全等，且顶点在同一个圆上． 16．如图，菱形的对角线，相交于点． (1)证明： (2)求作，使，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 17．在中，，D是的中点，过点A作，且，连结． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 18．已知：，，，，求的度数． 19．已知，，线段a如图所示．请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； 20．如图，已知与线段a，请用尺规作图法作，使得，，．（保留作图痕迹，不写作法） 21．如图，用直尺和圆规作，使． 22．如图，点、、、共线，，，．求证：． 23．如图，在中，，D、E、F分别在、、上，且，，问：和是否相等？并说明理由． 24．如图，已知，，． (1)试说明：． (2)设与交于点，连接，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（不包含（1）中的全等三角形）． 25．如图所示，为等腰三角形，，点D是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，点E为中点，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当取得最小值时，直接写出的值． 26．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《鲁教版七年级上册数学1.3探索三角形全等的条件（附答案解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C D A C D C 1．A 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由作法易得，，，由的判定定理可以得到三角形全等，从而求解． 【详解】解：由作法易得，，， 在与中， ， ∴． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了全等三角形，一元一次方程的应用，圆周角定理，方差与标准差，根据全等三角形，一元一次方程的应用，圆周角定理，方差与标准差逐一判断即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵斜边相等的两个等腰直角三角形， ∴直角边也对应相等， ∴这两个等腰直角三角形一定全等，原选项说法正确，不符合题意； 、设进价为元，则标价为（元），售价为（元）， ∴， 解得：， ∴原选项说法正确，不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补 ，原选项说法错误，符合题意； 、甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 3．D 【分析】由步骤②可知，，则可得四边形是平行四边形，根据平行线的性质可判断A、B、C选项都正确，故D选项错误． 本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由步骤②可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴,， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 4．A 【分析】三角形具有稳定性，四边形不稳定．根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】解： A、 有两个三角形，具有稳定性，故A符合； B、 是四边形，不具有稳定性，故B不符合； C、 是四边形，不具有稳定性，故C不符合； D、 下面是四边形，不具有稳定性，故D不符合． 5．C 【详解】解：选项A、B、D都是四边形，不具有稳定性，不符合题意； 选项C由两个三角形组成具有稳定性，符合题意． 6．D 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性逐项判断即可． 【详解】解：、图中含有四边形，不具有稳定性，不符合题意； 、图中含有四边形，不具有稳定性，不符合题意； 、图中含有四边形，不具有稳定性，不符合题意； 、图中都是三角形，具有稳定性，符合题意． 7．C 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 8．选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据，可知由①②④，可得出，由全等三角形的对应角相等可得出③，根据，可知由②③④，可得出，由全等三角形的对应边相等可得出①． 【详解】解：选择①②④，得出③， 在和中， ， ∴， ∴， 选择②③④，得出①， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 9． 【分析】延长 交 的延长线于点 ，连接，通过证明 将梯形面积转化为 的面积，利用三角形中线性质及面积公式求解． 【详解】解：延长交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， 是 的中线， ， ，，， ， ∴． 10．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法，可添加条件：，再有条件，可利用证明． 【详解】解：可添加条件：，理由如下： 在和中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 11．(1) 如图，即为所求， (2) 如图，即为所求，（答案不唯一，只需满足点E在过点C且平行于的直线的格点上即可． 【分析】本题主要考查了网格作图，全等三角形的判定，根据网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）取格点D，根据网格的特点可证明和全等； （2）根据网格的特点，只需满足点E在过点C且平行于的直线的格点上即可，注意需要排除C点和第（1）问的D点． 【详解】（1）略 （2）略 12． 如图如下图所示， 【分析】本题考查了作三角形，使与已知三角形全等；取格点D、E，依次连接A、D、E即可． 【详解】解：由图知，， ∴， 即为所作． 13．(1) 证明：在和中 ∴； (2) 证明：由（1）得，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，再根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 14．(1) 证明：，，， ． 四边形是平行四边形， ． 在和中， ． (2) 解：四边形为矩形． 理由如下： ， ． 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是矩形． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点． （1）根据题中的已知条件我们不难得出：，，又因为，那么两边都加上后，，因此就构成了全等三角形的判定中边边边的条件． （2）由于四边形是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求（答案不唯一）． 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）取格点，使，延长至点，延长至点，延长至点，使得，连接，，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、全等三角形的判定、点与圆的位置关系，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定、点与圆的位置关系是解答本题的关键． 16．(1) 证明：四边形为菱形， ，， 在和中， ， ； (2) 如图，四边形为所作． ． 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的性质和平行四边形的性质． （1）根据菱形的性质得到，，然后根据“”可得到结论； （2）分别以、点为圆心，、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形为平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 17．(1)证明:∵是的中点， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质等知识，证明 及是解题的关键． （1）由是的中点得，则，而，可证明四边形是平行四边形，因为, 所以，则四边形是菱形; （2）由菱形的性质得，而，可证明, 得，则求得即可解题． 【详解】（1）略 （2）∵四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴菱形的面积为． 18． 【分析】由题意可得，可得，利用三角形得内角和，可以求得，从而求得答案． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴, ∵， ， ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． 19．解：如图，即为所求. 【分析】先作射线，在射线上截取，再作，即可. 【详解】略 20．如图，即为所求．（作法不唯一） 【分析】根据作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段及线段的和的作法即可完成． 【详解】解：略． 21．如图，即为所求 【分析】根据尺规作图—作相等角：以角的顶点为圆心作圆，与角的两边分别交于一点，用圆规截取这两点间的距离，在射线上作同样的圆，与射线交于一点，以该点为圆心，以所截取的距离为半径作圆，与之前的圆交于一点，以所在射线上的端点和该交点作射线，即可得到相等角（原理：的全等三角形的判定和性质）和作相等线段，利用的全等三角形的判定方法确定． 【详解】解：略． 22． 证明：∵， ， 在和中， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】略 23．相等，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，掌握相关知识是解题的关键．先证明，再利用证明即可得到． 【详解】，， 24．(1)解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ (2)；；； 【分析】（1）由两边加上公共角得，结合已知两组等边可利用判定； （2）由已知条件可利用判定，可得，，由（1）全等得到，进而利用等式性质得，结合对顶角利用判定，可得，，结合已知两组等边可利用分别判定，． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 在和中， ， ∴； ∴，， ∵ ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴，， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴． 25．(1) (2) 证明：延长到F，使得，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； (3) 【分析】（1）证明，可以得到，然后过点A作于点F， 利用勾股定理解题即可； （2）延长到F，使得，连接，，证明，得到，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可； （3）过作交于点G，交于点H，设，可以得到，即可知道点在的垂直平分线上运动，当时，长最小，然后利用解直角三角形求出和长解题即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过点A作于点F， 则，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：过作交于点G，交于点H，设， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴点在的垂直平分线上运动，当时，长最小， 这时， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．(1) 证明：连接，过O作，垂足为E， 是小圆的切线，经过圆心O， ， 平分，， ，，， ， ， 是小圆的半径， 是小圆的切线； (2) 证明：切小圆于点A，切小圆于点E， ，，， ， ， ∵， ∴， ， ； (3)． 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）只要证明垂直即可得出是小圆的切线； （2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，从而得到，从而证明； （3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ，， ， ， ， 又， 圆环的面积为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $