精品解析：四川绵阳市盐亭县盐亭四校联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋九年级上学期第一阶段学情调查 数 学 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．选出最符合题目要求的一项） 1. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 2. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 3. 已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 4. 已知二次函数的图象是常数与轴交于点A，点A与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： 下列结论：①点的坐标是；②这个函数的最大值大于；③有一个根在与之间；④当，时，其中正确的为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质数形结合逐一判断即可． 【详解】解：将，代入得， 解得， ， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 对称轴为直线，函数的最大值为， 点的坐标是；故正确，错误． 判断方程根的情况就是判断方程即方程的根的情况． 即研究二次函数与轴的交点情况， 把代入得，， 把代入得，， 抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间， 有一个根在与之间， 即有一个根在与之间，故正确； 当，时，如图， ， 故正确． 故选：． 5. 若点都在反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 6. 如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 7. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，根据二次函数的图象得出，结合一次函数关系式即可排除B，C，根据二次函数对称轴可得，根据二次函数经过得出，假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ，进行判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据二次函数图象得，根据一次函数关系式得出直线经过第一、三、四象限，排除 B，C； 根据对称轴是直线，得，即． 将代入二次函数关系式，得，即． 假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ， 整理得，即， 即 ， 因为，所以方程无实根， 即一次函数与反比例函数的图象无交点，故 A 符合题意， 故选：A． 8. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据杠杆平衡条件得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：由题意，木杆水平平衡，根据杠杆平衡条件：， 代入，， 得：， ， 由题意，弹簧秤示数，即：， ，不等式两边同乘，不等号方向不变， ， ， 又木杆长，为中点， 右侧最大力臂， 的取值范围是：． 9. 二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象关于直线对称 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 方程的两个根是， 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可确定系数的取值以及对称轴，根据对称轴确定抛物线与横轴的交点坐标，即可得出一元二次方程的解． 【详解】解：A、由抛物线与轴的交点位于轴的正半轴可得，，该选项正确； B、由抛物线可得，函数图象关于直线对称，该选项正确； C、由抛物线可得，当时，y随x的增大而增大，该选项错误； D、∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的其中一个交点坐标为， ∴假设抛物线与轴的另一个交点横坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两个根是，，该选项正确． 10. 定义：如果二次函数与满足，，则称它们互为“旋转函数”．已知二次函数与互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据“旋转函数”的定义求出未知二次函数的系数，再分别求出两个二次函数的顶点坐标，最后利用两点间距离公式计算顶点距离即可． 【详解】解：∵二次函数与互为“旋转函数”， 根据定义得，，， 解得，，， 即另一个函数为． 对配方得：， ∴该函数顶点坐标为， 对配方得：， ∴该函数顶点坐标为， 根据两点间距离公式，两个顶点的距离为：． 11. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若点，均在抛物线上，则．其中正确的结论有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程的关系． ①根据图象和对称轴判断的大小求解即可； ②根据图象可知抛物线与轴有两个交点，得到，进一步计算求解即可； ③由对称轴得出，结合求解即可； ④根据，判断出，观察图像求解即可； ⑤根据，，推出抛物线上离对称轴越近的点，函数值越大，进行比较即可． 【详解】解：结论①：∵由图象可知，， 又∵， ∴，即， ∵， ∴． ∴， 故结论①符合题意； 结论②：∵由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴， 故结论②符合题意； 结论③：由结论①可得，由结论②可得， ∴，即，， ∵图象得， ∴， ∴ 故结论③不符合题意； 结论④：当时，， 由图像可知， 故结论④符合题意； 结论⑤：由图象可知，对称轴为， ∴可知抛物线上离对称轴越近的点，函数值越大， ∵点离对称轴距离为：， 点对称轴距离为：， ∵， ∴ 故结论⑤符合题意； 综上，符合题意的有①、②、④、⑤，共4个． 故选：C． 12. 如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】判断点Q在上，求得，得到四边形是平行四边形，即可判断①正确；利用三角形面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可判断②错误；分两种情况讨论，可判断③正确． 【详解】解：①当时，点Q运动的距离为，则点Q在上， 此时，，如图， ， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，①正确； ②当时，点Q在上， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，不符合题意，②错误； ③当点Q在上时，的面积为时， 则， 解得（不符合题意，舍去）或； 当点Q在上时， ∵，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴③正确； 综上，正确的只有①③，共2个． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 14. 已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 15. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 16. 已知二次函数，当时，函数取得最值10，当时，，则函数解析式为________（一般式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 【详解】解：当时，函数取得最值10，即抛物线的顶点坐标为， 设， 当时，， 把代入， 得， ， ， 故答案为：． 17. 用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 【答案】## 【解析】 【分析】设围成矩形的一边长，根据周长得到邻边长，列出面积关于边长的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设围成矩形的一边长为米，则该矩形邻边长为米，其中， 因此矩形面积为， 因为二次项系数， 所以当时，S取得最大值， 所以所围成的最大面积为平方米． 18. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿向B以的速度移动，点Q从点B开始沿向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间_____时，的面积最大为． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意求出的取值范围，表示出的长度，然后列出三角形面积关于时间的二次函数，根据二次函数的顶点式，确定最值． 【详解】解：当点运动到点时，；当点运动到点时，， ∴， 根据题意得，，， ∴， ∴当时，的面积最大为． 三．解答题（共7小题，共46分，请考生将完整解答过程填写在答题纸上） 19. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 其中，，， ， 解得：，． 20. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 21. 已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出上述二次函数图象的草图； （3）从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最值？ 【答案】（1） （2）二次函数的图象如图所示： （3）从图象上观察，当时，y随x的增大而增大；当时，函数有最值． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴和经过点，直接求出和的值，得函数表达式； （2）由描点法直接画图即可； （3）由二次函数图像可得函数值的变化情况和最值． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线 ， 过点， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）, （2）3 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． 【小问2详解】 解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 23. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）运动开始后，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，当为何值时，的面积等于？ 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识． （1）根据题意得到，根据勾股定理列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 在中，根据勾股定理得， 解得（舍去），． 答：当为2时，的长度等于； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵的面积等于， ∴， 解得（不合题意，舍去）． 答：当为1时，的面积等于． 24. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是实数，）． （1）判断该函数图象与轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，为函数图象上的两点，其中．求当，为何值时，； 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴函数图象与轴的交点个数为个． （2） ， 【解析】 【分析】（1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）由对称轴为直线得，代入函数解析式结合得一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， ∵，且 ∴，． 25. 已知二次函数． （1）若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； （2）若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，n的最小值是，求b的值． 【答案】（1） （2）①证明：根据题意得，，则， 令得，， 判别式， 因此，二次函数的图象和x轴有两个交点； ② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将和代入中，求出解析式，即可求出函数的顶点坐标； （2）①令得到一元二次方程，利用判别式来证明二次函数的图象和x轴有两个交点即可； ②根据和，将代入，得到关于的二次函数，求出对称轴和顶点坐标，根据二次函数的增减性进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：当时，二次函数的解析式为, 将点代入二次函数的解析式，得：， 解得， 则该二次函数的解析式为， 因此，该二次函数顶点坐标为； 【小问2详解】 ①略 ②解：由于点在该二次函数图象上， 则， 由于，， 则，即， 所以， 当时，n的最小值是， 函数，开口向上，对称轴为， 所以当时，即， 当时，取最小值， 即， 整理得， 解得或（舍去）， 当，即时，，取最小值， 则， 解得，不符合题意，舍去 综上所述，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋九年级上学期第一阶段学情调查 数 学 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．选出最符合题目要求的一项） 1. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 2. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 3. 已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象是常数与轴交于点A，点A与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： 下列结论：①点的坐标是；②这个函数的最大值大于；③有一个根在与之间；④当，时，其中正确的为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 5. 若点都在反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象关于直线对称 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 方程的两个根是， 10. 定义：如果二次函数与满足，，则称它们互为“旋转函数”．已知二次函数与互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为（ ） A. B. 10 C. D. 11. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若点，均在抛物线上，则．其中正确的结论有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12. 如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若二次函数有最大值7，则的值为________． 14. 已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 15. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 16. 已知二次函数，当时，函数取得最值10，当时，，则函数解析式为________（一般式）． 17. 用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 18. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿向B以的速度移动，点Q从点B开始沿向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间_____时，的面积最大为． 三．解答题（共7小题，共46分，请考生将完整解答过程填写在答题纸上） 19. 解下列一元二次方程： （1） （2） 20. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 21. 已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出上述二次函数图象的草图； （3）从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最值？ 22. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 23. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）运动开始后，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，当为何值时，的面积等于？ 24. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是实数，）． （1）判断该函数图象与轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，为函数图象上的两点，其中．求当，为何值时，； 25. 已知二次函数． （1）若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； （2）若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，n的最小值是，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $