精品解析：四川省双流棠湖中学2026-2027学年九年级上学期9月数学定时练习

棠湖中学初三定时练习 一、单选题（每小题4分，共计32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 5. 根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 6. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若线段的长为，则的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 15 D. 21 二、填空题（每小题4分，共计20分） 9. 如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 10. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 11. 如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 13. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．题意为：有一块长方形的田地，面积是864平方步．只知道它的宽比长少了12步．请问这块田地的宽和长分别是多少步？设宽为x步，根据题意可列方程为__________． 三、解答题 14. 解方程及计算： （1）； （2）． 15. 根据题目要求，回答相应问题． （1）如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； （2）根据（1）中所作图形，可得_______； （3）如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 16. 【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角． 【问题解决】如图②，为测量信号塔的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为米，其眼睛到地面的距离为米，同时测得小明到镜子的水平距离米，信号塔到镜子的水平距离米．请根据以上数据，求信号塔的高度． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 18. 在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． （1）如图，求证：． （2）如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． （3）如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． B卷 一、填空题（每小题4分，共计20分） 19. 如图，、分别是的边、上的点，，若与交于点，，则__________． 20. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 21. 黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形…，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为____． 22. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为______；若，则的值为______． 23. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 二、解答题 24. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点． （1）求点，的坐标； （2）点在直线上，是否存在平面内一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标； （3）平面内一动点满足（a为常数），过、两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 26. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 棠湖中学初三定时练习 一、单选题（每小题4分，共计32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、化简得，整理为，不是一元二次方程； B、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、含两个未知数，不是一元二次方程． 2. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 3. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 4. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵平行四边形具有对角线互相平分、对角相等的性质，故C、D不符合题意． ∵菱形是特殊的平行四边形，对角线互相垂直，该性质平行四边形不一定具有，故A符合题意． ∵对角线相等不是菱形和平行四边形的必然性质，故B不符合题意． 5. 根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 6. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两年的产量和是，分别表示、年的每公顷产量后相加列方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 7. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，得到，根据题意无法证明出． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，故D正确， 根据题意无法证明出，故C错误． 故选：C． 8. 如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若线段的长为，则的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 15 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求出的长，进而求出正方形边长和，利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线性质得出，最后计算周长； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴的周长． 二、填空题（每小题4分，共计20分） 9. 如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：． 10. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 11. 如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ，  ， 与是以点为位似中心的位似图形，  ，， ∴， ∴，  ，   的面积是4，  ，  ． 13. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．题意为：有一块长方形的田地，面积是864平方步．只知道它的宽比长少了12步．请问这块田地的宽和长分别是多少步？设宽为x步，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知宽为步，根据宽比长少12步可得长的表达式，再结合长方形面积公式即可列出方程． 【详解】解：宽为步，宽比长少12步， 长方形的长为步, 长方形面积为长乘宽，且面积为864平方步， 列方程得． 三、解答题 14. 解方程及计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分别利用零次幂、负整数指数幂、算术平方根、绝对值的运算法则化简每一项，再合并计算； （2）整理后利用因式分解解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 因式分解得， 解得，． 15. 根据题目要求，回答相应问题． （1）如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； （2）根据（1）中所作图形，可得_______； （3）如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据是边长为1的小正方形的对角线，根据相似比为2，延长到，使得为边长是2的小正方形的对角线，类似地可画出，以此画出三角形即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求解即可； （3）根据，得，利用相似的性质证明即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，且， ∴； 【小问3详解】 解：根据平行线间的距离处处相等，得到， 根据， ∴， ∴， ∴； 16. 【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角． 【问题解决】如图②，为测量信号塔的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为米，其眼睛到地面的距离为米，同时测得小明到镜子的水平距离米，信号塔到镜子的水平距离米．请根据以上数据，求信号塔的高度． 【答案】信号塔的高度为20米． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用．证明，利用对应边之比，即可求出的高度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴（米）． 答：信号塔的高度为20米． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 18. 在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． （1）如图，求证：． （2）如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． （3）如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：在菱形中，，， ， ． ， ， ． （2）证明：在菱形中，，， 为中点， ． ， ． ， ， ． ， ，． ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质证明即可； （2）利用菱形的性质证明即可； （3）取中点，连接，连接交于点，由及菱形的性质可得，和均为等腰直角三角形，；证明四边形为平行四边形，得E为中点；再证明，则得；在中，由勾股定理求得，即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接，连接交于点， ，， ， 由（1）知， ∴， ， 由（1），， ，， ∴和均为等腰直角三角形，． ，， ∴四边形为平行四边形， ， 为中点， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ，，， ． B卷 一、填空题（每小题4分，共计20分） 19. 如图，、分别是的边、上的点，，若与交于点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由推出，得到，再由得，推出，得到，两个三角形与同高，面积之比等于底边长之比． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 与同高， ． 20. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程有两个实数根得到判别式非负，再利用根与系数的关系表示和，代入已知等式求解，最后根据判别式舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴ 判别式， 即， 根据根与系数的关系得，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，不存在两个实数根，舍去， 当时，，符合条件， 因此． 21. 黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形…，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，理解黄金矩形的定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义可得的长，从而得到的长，再由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是黄金矩形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 22. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为______；若，则的值为______． 【答案】 ①. 9 ②. 144 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，， 故当时，， 故答案为：9，144． 23. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点，连接，由折叠可得，，，根据矩形性质和勾股定理可得，则，，利用，可得，所以，然后证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， 由折叠可知：，，， 在矩形中，，，，， 又，， ，则，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 即的长是． 二、解答题 24. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准 （2）每个车位月租金上涨25元 【解析】 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． 【小问2详解】 解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点． （1）求点，的坐标； （2）点在直线上，是否存在平面内一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标； （3）平面内一动点满足（a为常数），过、两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】（1）， （2）平面内存在一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或 （3）3或 【解析】 【分析】（1）联立直线与直线解析式，求解即可确定点坐标，对于直线，令，求解即可确定点的坐标； （2）设，，分为对角线，为对角线和为对角线三种情况，结合菱形的性质求解即可； （3）设点，则，结合相似三角形的性质易得，进而解得，可确定点D的坐标；利用待定系数法确定直线的表达式，并将点代入，可得关于的一元二次方程，结合“有且只有一点C，使得与相似”可得该方程有且只有一个实数根，进而计算a的值． 【小问1详解】 解：由，得， ∴， 对于直线，令，可得， 解得 ∴； 【小问2详解】 解：平面内存在一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，， ①若为对角线，则的中点重合，且，如下图， ∴，解得， ∴； ②若为对角线，则的中点重合，且，如下图， ∴，解得或， ∴或； ③若为对角线，则的中点重合，且，如下图， ∴， 解得（此时P，A重合，舍去）或， ∴． 综上所述，Q的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：如图，设点，则， ∵与相似， ∴E只能在点B左侧， ∴， 可知，则， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将点A，点D的坐标代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 把代入，得， ∴， ∵有且只有一点C，使得与相似， ∴方程有且只有一个实数根，即该方程有两个相等的实数根， ∴，解得或． ∴满足条件的a值为3或． 26. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴ ， ∴． （2） （3） ①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出． （3）①设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ②根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由①可得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 ①略 ②解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由①得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由①可得， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $