精品解析：四川大竹县石河中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州市大竹县石河中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，熟记一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程”是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简得，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的最高次数为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理以及定义即可作出判断． 【详解】解：．一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，故该选项符合题意； ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（ ） A. 原方程的一次项系数为3 B. 原方程的常数项为 C. 1是原方程的一个根 D. 是原方程的一个根 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据两人写错系数的情况，分别得到正确的一次项系数和常数项，结合已知二次项系数得到原方程，再逐一判断选项，用到一元二次方程因式分解形式的初中知识点． 【详解】解：设原一元二次方程为 ，题目已知二次项系数为． ∵ 小冀写错常数项，一次项系数 正确，且小冀得到的两根为 和 ， ∴ 小冀写的方程为 ，展开得 ， ∴ 可得正确的一次项系数 ． ∵ 小豫写错一次项系数，常数项 正确，且小豫得到的两根为 和 ， ∴ 小豫写的方程为 ，展开得 ， ∴ 可得正确的常数项 ． 因此原方程为 ，因式分解得 ，原方程的根为 ． 逐一判断选项： A.原方程一次项系数为 ，A 错误． B.原方程常数项为 ，B 错误． C. 是原方程的一个根，C 正确． D. 不是原方程的根，D 错误． 4. 如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用等积法可求得的长，在中，利用勾股定理可求得，设，则，在中，由勾股定理列方程求出x，再由勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，可得， ∴，即， 解得， 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理可得． 5. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 6. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等进行解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 7. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 8. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，根据是根，代入即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，矩形的对角线和相交于点，直线经过点，交于点，于点，若，，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：15． 11. 已知：如图所示，是正方形边延长线一点，若，交于，则__度． 【答案】112.5 【解析】 【分析】根据正方形的性质可先求得，由，可得，再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得， ，计算即可得出的度数． 【详解】解：， ， 四边形是正方形，为正方形的对角线， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角与外角关系，掌握正方形的每条对角线平分一组对角的性质及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键． 12. 在一元二次方程的研究中，小明发现 ，；小红发现，．小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个根，则这个方程的根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次项系数为的一元二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，结合题目给出的和与积即可得到方程的根． 【详解】解：∵对于一元二次方程，若两根为，则满足， 对比方程，得，， ∴两根满足， ∵题目给出，， ∴这个方程的根为． 13. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据、两点坐标求出菱形边长，利用勾股定理在中求出长从而确定点坐标，最后根据菱形对边平行且相等的性质求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点在轴上，且由图可知在轴正半轴， 在中，，  ∴， ∴， ∵，在轴上，轴， ∴点的纵坐标与点相同，为，  ∵在的左侧，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法即可解答； （2）利用公式法即可解答； 【小问1详解】 解：因式分解得， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：，，， ， ∴ 解得，． 15. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的2倍，求的值. 【答案】（1）证明：∵关于的方程， 其中，，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的意义即可证明； （2）先利用公式法解得方程的两个根，然后结合已知条件列出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解方程得， ∴，， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴或， ∴或． 16. 已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； （1）求证：四边形为矩形； （2）已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论； （2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 17. 某农场要建一个饲养场矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门不用木栏．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场矩形的一边CD长为x米，则另一边______米． （2）若饲养场矩形的面积为180平方米，求边CD的长． 【答案】（1） （2）边CD的长为10米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由木栏总长为45米，列出代数式即可； 设米，则米，根据饲养场矩形的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设米，则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，米米，不合题意，舍去； 当时，米米，符合题意； 答：边CD的长为10米． 18. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． （1）判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 （2）操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； （3）推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 【答案】（1）①③ （2）如图所示，四边形即为所求； 由勾股定理可知：． （3）证明：如图，连接，， ∵与是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是等对四边形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形与正方形的性质得其对角线相等，由等对四边形的定义即可求解； （2）画一个对角线等于，顶点在格点的矩形即可； （3）连接，，证明，得到，即可由等对四边形的定义得出结论． 【小问1详解】 解：∵①矩形和③正方形的对角线相等，②菱形和④平行四边形对角线不一定相等， ∴①矩形和③正方形是等对四边形，②菱形和④平行四边形不一定是等对四边形， 故答案为：①③ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查新定义，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解新定义，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若p，q是方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，然后根据方程根的定义表示出，最后代入代数式即可求解． 【详解】解：∵p，q是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 20. 如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则________ 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要查了正方形的性质，等边三角形的性质．根据正方形的性质可得，，再由等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 21. 如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，连接，点G在线段上，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及解直角三角形的计算，利用三角形的面积的关系式求得线段的长度是解题的关键．连接，，过点作于点，利用正方形的性质和勾股定理求得线段，的长度，利用列出等式求得，再利用三角函数求得的长． 【详解】解：连接，，过点作于点，如图， 四边形为矩形，、分别是、的中点， ，，． ，， ， ， ． ，， ， 故答案为：． 22. 若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出方程的根，再根据方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可．本题主要考查了一元二次方程根的判别式及应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键． 【详解】解：方程， 解得或． 因为方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可． 当时，方程变为，解得，此时方程有三个不同实数解，，． 当时，方程是一元二次方程． 若方程有两个相等的实数根，则，解得，此时方程的根为，与，不同，方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 综上，的值有个． 故答案为：． 23. 如图，在菱形中，，，垂足分别为，，，是的边，且的长是一元二次方程的一个根，则菱形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，先由菱形的性质得出是等边三角形，再根据的长是一元二次方程的一个根求出，最后在中求出，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在与中 ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵的长是一元二次方程的一个根， 又可因式分解为， ∴的两个根为，（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即 解得：， ∴， ∴菱形的周长为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1）证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 25. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：． 26. 根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________． 27. 【迁移探究】 如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 【拓展探索】 如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长 【答案】（1）①45°；②； （2）． 证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中， ， ， ，， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）2.5 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出，从而可求得； ②证明，由全等三角形的性质得出； （2）将绕点A顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，证明，得，再证，然后由勾股定理得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图（1），延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转可得， ，，，， ， ，， ． ． ， ． 设，则． 在中， 解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市大竹县石河中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3. 小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（ ） A. 原方程的一次项系数为3 B. 原方程的常数项为 C. 1是原方程的一个根 D. 是原方程的一个根 4. 如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 7. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 10. 如图，矩形的对角线和相交于点，直线经过点，交于点，于点，若，，则阴影部分的面积为______． 11. 已知：如图所示，是正方形边延长线一点，若，交于，则__度． 12. 在一元二次方程的研究中，小明发现 ，；小红发现，．小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个根，则这个方程的根为__________． 13. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的2倍，求的值. 16. 已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； （1）求证：四边形为矩形； （2）已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 17. 某农场要建一个饲养场矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门不用木栏．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场矩形的一边CD长为x米，则另一边______米． （2）若饲养场矩形的面积为180平方米，求边CD的长． 18. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． （1）判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 （2）操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； （3）推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若p，q是方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 20. 如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则________ 21. 如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，连接，点G在线段上，若，则的长为______． 22. 若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为_______． 23. 如图，在菱形中，，，垂足分别为，，，是的边，且的长是一元二次方程的一个根，则菱形的周长为__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 25. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：． 26. 根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________． 27. 【迁移探究】 如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 【拓展探索】 如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $