第一章 有理数 章节拔尖攻略-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

本册知识结构 正数和负数 概念 有理数、数轴、相反数、绝对值 有理数 大小比较 加法 减法 乘法 法则 除法 一元 乘方 一次 方程 加法交换律 加法 加法结合律 有理数 运算律 的运算 乘法交换律 乘法结合律 乘法 分配律 七年级 上册 倒数、科学记数法、近似数 概念 几何 代数式的意义 图形 初步 列代数式 代数式 反比例关系 代数式 代数式的值 单项式 整式 多项式 整式的 加减 同类项 合并同类项 整式的加减 去括号 化简求值 定义 方程的解 等式的性质 去分母 去括号 解一元一次方程 移项 合并同类项 系数化为1 实际问题与一元一次方程 从不同方向看 立体 图形 立体图形的展开与折叠 点、线、面、体 直线 两点确定一条直线 射线 两点之间，线段最短 平面 中点 图形 线段 画法 比较与运算 角的比较与运算 角 角的平分线 余角和补角 第一章有理数 P]高频考点突破 考点 用正、负数表示具有相反 意义的量 典例1新情境热点信息北京时间2025年 8月25日凌晨，WTT(世界乒乓球职业大联 盟)欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战 胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单 冠军按照规定，乒乓球的标准质量为2.7g, 误差为士0.081g.某品牌乒乓球的产品参数 如下表所示： 型号颜色 质量 规格 3星级 黄色 2.7g士0.081g10个/盒 下列四个乒乓球的直径均符合产品参数标 准，但有一个乒乓球的质量是不合格的，它 的质量是 A.2.71g B.2.733g C.2.782g D.2.681g 分析 先求出乒乓球合格质量的范围，再进行判 断即可. 解答：因为2.7十0.081=2.781(g),2.7 0.081=2.619(g),所以质量在2.619g 2.781g范围内的乒乓球都是合格的.在各 选项给出的乒乓球的质量中，因为2.782g 2.781g,所以选项C中乒乓球的质量是不合 格的.故选C。 小结 这类“误差范围”问题的核心是： (1)确定标准值和误差值； (2)计算合格范围：标准值十负误差值≤合 格值≤标准值十正误差值； (3)逐一验证选项是否在该范围内，超出范 围的即为不合格 聚焦高频考点，各个击破 对应练习， 1.通常近视超过200度时就需要持续戴眼 镜进行视力矫正，验光师经常以“XXD” 的方式记录近视程度，例如，将近视50度 记录为“一0.50D”,近视100度记录为 “一1.00D”等.下列4个验光记录中，需 要持续戴眼镜矫正视力的是 () A.-2.00D B.-1.50D C.-1.00D D.-2.50D 2.新境传统文化《浮生六记》中写道：“佛 手乃香中君子.”佛手闻起来沁人心脾，泡 茶喝能止咳润肺，备受人们喜爱.某果农 采摘了5个佛手，每个佛手的质量以0.5kg 为标准，超过的千克数记为正数，不足的 千克数记为负数，记录如图所示. (1)这5个佛手中质量最大的佛手为多 少千克？它与质量最小的佛手相差多少 千克？ (2)这5个佛手的总质量为多少千克？ 0.1kg0kg-0.05kg-0.25kg0.15kg (第2题) 考点二有理数的排列规律 典例2舒考向探究题将一串有理数按如图 所示的规律排列，并回答下列问题： (1)在A位置的数是正数还是负数？ (2)A,B,C,D中哪个位置的数是正数？ (3)第2026个数是正数还是负数？排在A, B,C,D中的哪个位置？ 10 (典例2图) 分析 (1)根据A是向上箭头的上方对应的数 解答； (2)根据箭头的方向与所对应的数的正、 负情况解答； (3)根据4个数为一个循环组依次循环的 规律，用2026除以4，根据余数的情况确定所 对应的位置即可 解答：(1)A是向上箭头的上方对应的数， 与一4的符号相同，在A位置的数是负数. (2)通过观察，不难发现：向下箭头的上方的 数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是 正数，上方是负数，所以B和D的位置的数 是正数. (3)因为2026÷4=506…2，所以第2026个 数是负数，排在C的位置 小结 本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图 形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的 正、负情况考虑求解是解题的关键 对应练习 3.观察下列数：一1,2，一3,4，一5,6，一7， 8,-9,… (1)请写出这一列数中的第99个数和第 2026个数 (2)在前2026个数中，正数和负数分别 有多少个？ (3)2027和一2027是否都在这一列数 中？若在，请指出它们分别是第几个数； 第一章有理数 若不在，请说明原因。 考点三相反数与绝对值 典例3下列各组数中，互为相反数的是( A.1+31与|-31 C.1-30%1与--30%1 D.-+36.28与+(-36.28) 分析 先根据绝对值的意义及多重符号的化简方 法将各选项中的两个数分别化简，然后进行 判断. 解答：十31|=31，-31=31，选项A错 误：一(）-日，选项B错误：1-30%1= 30%,一|一30%=一30%，选项C正确 -+36.28=-36.28,+(-36.28)= 一36.28，选项D错误.故选C. 小结 判断两个数是否互为相反数，核心是抓住 “绝对值相等、符号相反”这两个条件： (1)先化简各数（如去绝对值、去括号），得 到最简形式； (2)对比化简后的两个数，同时满足“绝对 值相等”和“符号相反”，才互为相反数； 注意：“同一个数（除0外）”“不确定的数（如 带士的数)”都不满足相反数的定义 3 数学（人教版）七年级上 对应练习 4.下列各组数中，互为相反数的是() A.-(-2026)与|-2026 取+5 C.+1-3.14|与-3.14 D.-与=(+》 5.判断下列各组数中两个有理数的关系： (1)-(--2323|)与+[-(-2323)]. 2)--(+与-(+-) 考点四数轴与绝对值的综合 典例4如图，M,N,P,R分别是数轴上四 个整数所对应的点，其中有一点是原点，并 且MN=NP=PR=1.数a对应的点在点 M与N之间，数b对应的点在点P与R之 间，a十|b=2,则原点是 M N (典例4图) A.M或R B.N或P C.M或N D.P或R 分析 根据数轴判断出a,b两个数之间的距离范 围，然后根据绝对值的性质解答即可、 解答：因为MN=NP=PR=1,所以a,b两 个数对应点之间的距离大于1且小于3.因 为a+|b=2,当原点在点M处时，b>2, 当原点在点R处时，a|>2,所以M与R都 不是原点.所以原点只能是N或P.故选B. 小结 这类“数轴十绝对值”的题目，解题关键是： (1)利用数轴确定点的距离关系：先根据线 段长度确定，点与点之间的距离； (2)分析数的范围：结合数在数轴上的位 置，确定数对应的点到相关点的距离范围； (3)结合绝对值的几何意义推理：绝对值表 示数对应的点到原，点的距离，通过“距离之和”的 条件，排除不符合的原点位置， 对应练习 6.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示 (1)根据数轴化简： ①la|= ②1b1= ③c1= ④|-a|= ⑤1-b|= ⑥|-c|= (2)若|a=5.5,b|=2.5,c|=5,求 a,b,c的值 0 b c (第6题) 考点五有理数的大小比较 典例5用符号[a,b]表示a,b两个有理数 中较大的数，用符号(a,b)表示a,b两个有 理数中较小的数，如[1,2]=2，(3,4)=3. [ （0,-填>”<” 或“=”). 分析 先根据符号的定义求出 )的值，然后比较这两个值的大小 (0,-3 解答：因为一1<- 20>- 所以根据定 义，可得 1.=2o.-)= 四为合<号即<引所 2 以->-子所以1>0，》 小结 对于这类“新定义符号”题目，解题关键是先 准确理解符号的含义，再根据定义分别计算对应 式子的值，最后按照常规数的大小比较规则（如 负数比较：绝对值大的反而小)完成比较.核心是 “翻译”新符号，转化为熟悉的数的运算与比较 对应练习， 7.舒考向新定义题用符号《a,b》表示a,b 中绝对值较大的数，用符号「a,b」表示a, b中绝对值较小的数，如《1，一2》=一2， 「2，-1」=-1.《-3,2》 「-4,1 (填“>”“<”或“=”). 8.已知x|=2,y|=3,x|=4,且x>y 之.求x,y,之的值 第一章有理数 考点六有理数在生活中的应用 典例6新青境科技创新某快递分拣仓库使 用快递分拣机器人进行分拣，快递分拣机器 人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确 放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自 动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电 桩充电.每台分拣机器人每小时可以分拣 1.8万件包裹，大大提高了分拣效率.该仓库 计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每 天的分拣量与计划相比会有出入.下表是该 仓库某周分拣包裹的情况（超过计划量记为 正，未达到计划量记为负)： 星期 一二 三 四五六 日 分拣情况/万件十6-3一4十5一1+7一8 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天 是星期几？最少的一天是星期几？最多的 一天比最少的一天多分拣多少万件包裹？ (2)该仓库本周实际一共分拣包裹多少 万件？ 分析 (I)根据正负数的意义分别求出各天的实 际分拣量，然后进行比较运算； (2)求出每天实际分拣量的总和即可. 解答：(1)从表格可知，星期一分拣包裹数量 比计划量多6万件，为26万件；星期二分拣 包裹数量比计划量少3万件，为17万件；星 期三分拣包裹数量比计划量少4万件，为 16万件；星期四分拣包裹数量比计划量多 5万件，为25万件；星期五分拣包裹数量比 计划量少1万件，为19万件；星期六分拣包 裹数量比计划量多7万件，为27万件；星期 日分拣包裹数量比计划量少8万件，为12万 件.所以分拣包裹数量最多的一天是星期 5 数学（人教版）七年级上 六，最少的一天是星期日，最多的一天比最 (3)请计算这10轮的总环数. 少的一天多分拣27一12=15（万件）包裹， 序号 环数 相对环数 (2)26+17+16+25+19+27+12=142(万 ① 20.7 -0.3 件)，所以该仓库本周实际一共分拣包裹 ② 0.2 142万件. ③ 0 小结 ④ 21.0 本题考查正负数的实际应用，通过“计划量士 ⑤ 21.2 出入量”可计算实际量；要注意区分“出入量”和 ⑥ 20.6 “实际量”，出入量是实际量与计划量的差值，实 ⑦ 20.7 际量需结合计划量计算. ⑧ 20.8 -0.2 对应练习， ⑨ -0.3 9.2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米 0 21.5 气步枪混合团体比赛中，我国选手黄雨婷 和盛李豪获得巴黎奥运会的首枚金牌.若 以21环为基准，记录相对环数，超过的环 数记为正数，不足的环数记为负数，其中 最后10轮的环数记录如表所示. (1)请补全表中的空格 (2)这10轮中，与21环偏差最大的那轮 射击的序号为 盟综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图所示的圈分别表示负数、整数和正数，其中有甲、乙、丙三部分，关于这三部分的数， 下列说法中，正确的是 A.甲、丙两部分有无数个数，乙部分只有一个数且是0 丙 B.甲、乙、丙三部分都有无数个数 C.甲、乙、丙三部分都只有一个数 负数 整数 正数 D.甲部分只有一个数，乙、丙两部分有无数个数 (第1题) 2.有下列说法：①一a一定是负数；②一一a一定是负数；③相反数等于它本身的数是 0;④绝对值大于它本身的数是负数.其中，正确的是 () A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 3.一题多解已知a<0,b>0,且a>|b|,则a,b,-a,-b的大小关系是 A.-6<a<-a<b B.<-a<a<-b C.6<-a<-<a D.a<-<<-a 6 第一章有理数 4.如图，将数轴上一6与6对应两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为α1， a2,a3,a4,a5,则下列说法中，正确的是 () a az as as as -6 6→ (第4题) A.a3>0 B.a=a C.la+la21=a+las D.as<a 5.在数轴上，点A,B表示的数互为相反数，且两点之间的距离是12，点A沿着数轴先向右 运动2秒，再向左运动5秒到达点C的位置.设点A的运动速度为每秒1.5个单位长度， 则点C表示的数的相反数为 6.如图，若数轴上α的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 或点 处.（填“A”“B”“C”或“D”) AB C D (第6题) 7.青境生活实际某食品厂从生产的袋装食品中随机抽样检测20袋的质量是否符合标准 质量（每袋的标准质量为500克），超过或不足的质量分别用正、负数表示，例如十3克表 示该袋食品超过标准质量3克，现记录如下表： 与标准质量的误差/克 -4 -2 0 +1 +2 +3 袋数 5 3 4 3 (1)在抽取的样品中，任意挑选两袋，它们的质量最大相差多少克？ (2)食品包装袋中标有“净重500士2克”，这批样品中有几袋质量不合格？请你计算出这 20袋食品的合格率是多少？[产品的合格率=（一批产品中的合格产品数量÷这批产品 总量)×100%] (3)这次抽样检测的20袋食品的总质量是多少克？附：答案与解析 第一章有理数 [高频考点突破] ①D根据题意，可知一2.00D表示近视200度， 不需要持续戴眼镜矫正视力；一1.50D表示近视 150度，不需要持续戴眼镜矫正视力；一1.00D表 示近视100度，不需要持续戴眼镜矫正视力； 一2.50D表示近视250度，需要持续載眼镜矫正 视力. ②(1)由题意，可得这5个佛手中质量最大的佛手 为0.5十0.15=0.65(kg),质量最小的佛手为0.5十 (-0.25)=0.25(kg),则0.65-0.25=0.4(kg), 所以质量最大的佛手为0.65kg,它与质量最小的 佛手相差0.4kg.(2)0.5×5十0.1十0-0.05 0.25十0.15=2.45(kg),所以这5个佛手的总质 量为2.45kg ③(1)观察可知，这一列数正负相间，从左往右绝 对值依次增加1，且第一个数为一1，所以第99个 数为一99，第2026个数为2026.(2)根据数的 排列特征可知，前偶数个数中，正数和负数各占一 半.所以前2026个数中，正数有1013个，负数有 1013个.(3)2027不在，一2027在.因为这一 列数正负相间，所有的负数都是奇数，所有的偶数 都是正数，所以2027不在这一列数中，一2027在 这一列数中，且一2027是第2027个数 ④C-(-2026)=2026,-2026|=2026,选 项A误+()=8一=选 项B错误；十-3.14=3.14，-3.14=-3.14 选项C正确：引=号±(+号)=±号选 项D错误， 6(1)因为-(-1-23231)=-(-2323) 2323,+[-(-2323)]=2323,所以 -(-|-2323)=+[-(-2323)].(2)因为 --(+2】=,-(+-3)=-(+2) ·所以-[一(+】与-（什-）互为相 反数 6(1)①-a.②b.③c.④-a.⑤b. ⑥c.由数轴，可得a<0<b<c,所以①|a=一a; ②lb=b;③lc=c;④|-a=-a;⑤|-b=b; ⑥|-c|=c.(2)因为a<0<b<c,a=5.5, 1b=2.5,1c|=5,所以a=-5.5,b=2.5,c=5. ⑦<因为-3|=3，|2|=2,3>2，所以《-3， 2》=-3.因为|-4|=4,11=1,1<4，所以「-4， 1」=1.因为-3<1，所以《-3,2》<-4,1. ⑧因为|x=2,|y|=3,之|=4，所以x=±2， y=士3，之=士4.因为x>y>之，所以x=2,y= -3,之=-4或x=-2,y=-3,之=一4. ⑨(1)补全表格如下表所示： 序号 环数 相对环数 ① 20.7 -0.3 ② 21.2 0.2 ③ 21.0 0 ④ 21.0 0 ⑤ 21.2 0.2 ⑥ 20.6 -0.4 ⑦ 20.7 -0.3 ⑧ 20.8 -0.2 ⑨ 20.7 -0.3 ⑩ 21.5 0.5 (2)⑩ 根据题意，得|0.5=0.5，该绝对值比其 他相对环数的绝对值大，所以21.5环是偏离21环 最大的一次射击.(3)20.7+21.2十21.0十 21.0+21.2+20.6+20.7+20.8+20.7+21.5= 209.4,所以这10轮的总环数为209.4. [综合素养提升] ①A由题意知，乙部分只有一个数且是0.因为 正整数和负整数均有无数个，所以甲、丙两部分都 有无数个数. 45 数学（人教版）七年级上 2D当a=0时，-a是0，当a是负数时，一a是 正数，故①错误；当a=0时，一|一a|=0,故②错 误；相反数等于它本身的数只有0，故③正确；正数 与0的绝对值都是其本身，负数的绝对值是正数， 所以绝对值大于它本身的数是负数.故④正确。 ③D解法一：因为a<0,b>0,所以|a|=-a, |b|=b.又因为a|>b|,所以-a>b>0.所以 a<一b<0.所以a<-b<b<-a.解法二：（数 形结合)：因为a<0,b>0,且a|>|b,所以a是 负数，b是正数，且在数轴上，a对应的点到原点的 距离比b对应的点到原点的距离大.a,b,一a,一b 对应的点在数轴上表示如图所示，由图可知， a<-b<b<-a.解法三：（特殊值法）：因为 a<0,b>0,且a|>|b|,可设a=-4,b=3,所 以-a=4,-b=-3.因为-4<-3<3<4，所以 a<-6<b<-a. a-b 0 b-a (第3题) ④C数轴上一6与6对应两点之间的线段长度 为12，六等分后每段线段的长度为12÷6=2，所以 a1a2a3a4,a5分别为-4，-2,0,2,4.故选项A 错误.-4|≠|2.故选项B错误.a1|+a2|= 6,a4|+|a5=6,所以|a1|+|a2|=|a41+ |a5.故选项C正确.因为4>2，所以a;>a4故 选项D错误 ⑤一1.5或10.5因为点A,B表示的数互为相 反数，且两点之间的距离是12，所以点A表示的数 为6或-6.因为点A运动的距离为1.5×(5 2)=4.5,且点C在点A的左侧，所以点C在数轴 上表示的数为1.5或-10.5.所以点C表示的数 的相反数是-1.5或10.5. ⑥CD当原点在a,b对应的点之间时，因为a 的绝对值是b的绝对值的3倍，所以原点在点C 的位置.当原点在b对应的点的右侧时，因为a的 绝对值是b的绝对值的3倍，所以原点在点D的 位置.当原点在a对应的点的左侧时，因为a的绝 对值是b的绝对值的3倍，所以这种情况不存在 综上所述，数轴的原点在点C或点D处， 46 ⑦(1)一4克表示比标准质量少4克，实际质量为 500-4=496(克)；一2克表示比标准质量少2克， 实际质量为500一2=498（克）；0克表示等于标准 质量，实际质量为500克；十1克表示超过标准质量 1克，实际质量为500十1=501（克）；+2克表示超过 标准质量2克，实际质量为500十2=502（克）： 十3克表示超过标准质量3克，实际质量为500十 3=503(克).所以抽取的样品中，最大质量为503克， 最小质量为496克.因为503一496=7（克），所以 它们的质量最大相差7克.(2)“净重500士2克” 表示实际质量应该在498克~502克之间，由此可 知实际质量为496克的和503克的不合格，不合格 的有5+3=8（袋），(20-8)÷20×100%=60%. 所以这批样品中有8袋质量不合格，这20袋食品 的合格率是60%.(3)496×5+498×3+500× 3+501×4+502×2+503×3=2480+1494+ 1500+2004+1004+1509=9991(克).所以这 次抽样检测的20袋食品的总质量是9991克. 第二章有理数的运算 [高频考点突破] ①C观察数轴，可知a>b,|a<b,所以b- a<0,la|-|b|<0.故A,B错误.因为a>0,b< 0,所以一b>0,一a<0.因为一b一a=一b十 (一a),所以一b+(一a)取绝对值较大的数一b的 符号，即-b-a>0.故C正确.因为a十b取绝对 值较大的数b的符号，所以a十b0.故D错误 2D观察题图，可知-1<b<0,a>1,a|>|b, 所以ab<0,a十b>0.故A,B错误.因为a>1, -1<b<0,所以a-1>0,b-1<0.所以(a 1)(b-1)<0.故C错误.因为a>1,-1<b<0,所 以a+1>0,b+1>0.所以(a+1)(b+1)>0.故D 正确. ③A由题意，得2的个位上的数字以4个数字为 一个周期按照2,4,8,6的顺序进行循环.因为2026 4=506…2,2+4十8十6=20，所以每一组的4个 数相加以后，和的个位上的数字为0.所以2十