第06讲 函数的概念及其表示讲义- 2027届高三数学一轮复习

第06讲　函数的概念及其表示 【知识梳理】 一、函数的概念与三要素 1．定义：设 、 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。其中 叫自变量， 的取值范围 叫函数的定义域，与 的值对应的 值组成的集合 叫函数的值域。 2．三要素：定义域、对应关系、值域。两个函数相同 定义域与对应关系完全一致（值域由前二者唯一确定，故判断时不必比较值域）。判断“ 与 ”是否相同，要同时看定义域与解析式化简后的对应关系。 3．区间：闭区间 、开区间 、半开半闭区间 、，以及 、、。、 不是实数，不能作为区间的闭端点。 4．表示方法：解析法（便于运算与推理）、图象法（直观，“一条竖线与图象至多一个交点”是其作为函数图象的判定依据）、列表法（不必计算即可直接查出函数值）。 5．分段函数：在定义域的不同部分上用不同解析式表示的函数。要点：① 分段函数是一个函数，不是几个函数；② 定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；③ 求分段函数的最大（小）值，先分别求各段上的最大（小）值再比较；④ 含绝对值的函数本质上是分段函数。 二、函数的定义域 1．使解析式有意义的常见限制：分母不为 ；偶次根式被开方数 ；对数的真数 且底数 且 ；零指数幂的底数 ； 要求 （）；实际问题的自变量还要受实际意义约束。 2．复合函数定义域的两条规则： 已知 的定义域为 ，求 的定义域，解不等式 ； 已知 的定义域为 ，求 的定义域，即求 在 上的值域。 3．求定义域时不能先化简解析式： 与 的定义域不同，前者要求 。 三、函数的值域 1．常用方法：观察法（直接看出）、配方法（二次型或可化为二次型）、判别式法（分式型，分子分母均为二次）、换元法（根式换元、三角换元）、单调性法（先确定单调区间）、图象法、基本不等式法、分离常数法、数形结合法。 2．分式型模型：（）用分离常数化为 ；（分子分母均为二次）用判别式法，化为 ，由 求 的范围，并须验证端点值能否取到。 3．含根式 的函数，令 化为二次函数求值域；形如 可用三角换元 。 4．值域的表示必须用集合或区间，不能只写不等式；求最值与求值域通常互相转化。 【题型归纳与方法点拨】 题型一　函数的概念（判断是否为同一函数） 【方法点拨】“两相同”看定义域与对应关系：先分别求定义域，再化简解析式比较；注意 、（）这类化简前后的差异。 【例1】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 【例2】（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）（多选）下列有关函数说法正确的是（    ） A．定义域和对应法则相同的两个函数是同一函数 B．定义域和值域相同的两个函数是同一函数 C．函数的图象与直线的交点至多有1个 D．式子不可表示自变量为、因变量为的函数 【答案】ACD 【分析】本题考查函数的核心概念，结合同一函数的判定规则、函数的映射定义、定义域求解逻辑逐一分析选项即可. 【详解】选项A：函数的值域由定义域和对应法则共同决定，若两个函数的定义域、对应法则均相同，对应的值域必然一致，符合同一函数的判定标准，A正确； 选项B：定义域和值域相同不能判定为同一函数，例如和，定义域和值域都为，但对应法则完全不同，不是同一函数，B错误； 选项C：根据函数定义，定义域内的任意一个只能对应唯一的， 若在的定义域内，则图象与有1个交点；若不在定义域内，则没有交点，因此交点至多1个，C正确； 选项D：要使根式有意义，需满足，即且，无实数解， 定义域为空集，因此该式子不能表示以为自变量、为因变量的函数，D正确. 【变式训练1】（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 【变式训练2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 【变式训练3】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 【题型强化练1】（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 【题型强化练2】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 【题型强化练3】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可． 【详解】对于①，，当时，，故①不满足题意； 对于②，，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故③满足题意； 对于④，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故④满足题意． 故选：C 【题型强化练4】（26-27高一上·广西·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于C，与的定义域均为，对应关系相同，故与是同一个函数，正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误. 【题型强化练5】（25-26高一上·河北保定·期中）（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 题型二　函数的解析式 【方法点拨】已知 求 用换元法（注意新元的范围）或配凑法；已知函数类型用待定系数法；已知 与 （或 与 ）的方程组用消元法。 【例1】（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】令，解得，再利用原式求解. 【详解】因为，令，解得， 所以． 故选：C. 【例2】（25-26高三上·湖北·期中）（多选）定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（    ） A．1 B．2 C．6 D．5 【答案】BD 【分析】根据函数的解析式作出图象，结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况. 【详解】，图象开口向下，对称轴为. 当时，由或； 由时，由， 依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象（包含边界）， 如图所示：， 当时，，符合题意， ，， 当，符合题意， 而，故选项BD正确. 故选：BD. 【变式训练1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域，逐步将自变量转化到已知解析式的区间上，再代入相应的解析式进行计算. 【详解】当时，， 则 当时，，则 当时，，所以，即 【变式训练2】（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 【变式训练3】（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先根据题意得到，再画出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，若函数， 所以， 如图所示：实线部分为函数的图象，，. 在区间上的值域为， 令，解得，即， ，解得或（舍去），即， 令，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 因为， 所以的长度的最小值为，的长度最大值为. 故选：ABC 【题型强化练1】（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 【题型强化练2】（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 【答案】A 【分析】通过计算求得函数的周期即可得到答案. 【详解】因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，，为3的倍数，则． 故选：A 【题型强化练3】（2026·江西·模拟预测）已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象结合列式解方程，数形结合得出范围. 【详解】作出的图象. 当，解得， 当，解得， 由结合函数图象，可得或. 当，解得，当，解得，由，可得； 当，解得，当，解得， 当，解得，当，解得， 由，可得或或. 综上，的取值范围为. 【题型强化练4】（2026·广东茂名·一模）已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用分段函数求值的方法进行求解. 【详解】因为， 所以，解得． 故选：A． 【题型强化练5】（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则 ，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则 ，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 题型三　分段函数 【方法点拨】求值时先看自变量落在哪一段；解方程、解不等式要分段讨论并检验解是否落在对应段内；含参数的分段函数最值问题要兼顾“段内”与“段间衔接”。 【例1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 【例2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）（多选）函数称为狄利克雷函数，关于的下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．的定义域为 C．， D．任意的，则有恒成立 【答案】BC 【分析】本题考查分段函数中狄利克雷函数的定义域、值域、函数值等性质，根据选项依次判断即可. 【详解】因为函数，所以只有两个函数值，所以的值域为 ，选项A错误； 函数定义域为两段上得并集，即全体有理数集并上全体无理数集为全体实数，所以的定义域为，选项B正确； ，的值为0或1都是有理数，所以，选项C正确； 任意，则是无理数，所以，此时，选项D错误； 故选：BC 【变式训练1】（26-27高一上·全国·课后作业）定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对不等式分类讨论，即，分别求出，然后由解不等式即可. 【详解】①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，，其图象如图所示： 结合图象，由可得， 当时，可得，解得； 当时，，不满足题意； 当时，可得，解得； 综上可知实数的取值范围是. 【变式训练2】（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 而，故，故， 而即为或，故或， 故不等式的解集为. 【变式训练3】（25-26高三上·云南曲靖·期中）（多选）下列说法正确的是（　　 ） A． B．已知函数，则 C．的最小值为4 D．若不等式恒成立，则 【答案】ABC 【分析】根据集合的相互关系、分段函数、基本不等式、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，空集是任何非空集合的真子集，所以A选项正确. B选项，，所以B选项正确. C选项，则， ，当且仅当（舍去）时等号成立， 所以C选项正确. D选项，对于不等式，当时， 不等式化为恒成立，所以D选项错误. 故选：ABC 【题型强化练1】（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 【详解】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 【题型强化练2】（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知函数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出的值，再将的值代入列出关于的方程求解. 【详解】由题意知， 可得，解得. 故选：C 【题型强化练3】（2025·江西南昌·一模）已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】A 【分析】求方程的所有根，然后相加即可. 【详解】若，由 ，所以； 若，由 . 因为，所以方程的所有根的和为1. 故选：A 【题型强化练4】（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知函数满足，，函数，若，则的值可以是（    ） A．149 B．151 C．199 D．300 【答案】A 【分析】根据抽象函数的特点观察的取值规律，再由函数的特点可知，当为正偶数时，，当为正奇数时，，所以只需判断中正奇数的个数为时的取值即可． 【详解】由，， 得的前项的值依次为， 观察规律可得：当时，为正偶数，， 当或时，为正奇数，， 故，易知为正偶数，故， 所以，同理可得，，， 结合选项可知n的值可为149， 故选：A． 【题型强化练5】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】AD 【分析】对于AB：直接代入运算即可判断；对于CD：分和两种情况，结合题意解方程或不等式即可判断. 【详解】因为， 对于选项AB：，，故A正确，B错误； 对于选项C：当时，，解得； 当时，，解得； 所以的解集为，故C错误； 对于选项D：当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的解集为，故D正确； 故选：AD. 题型四　函数的定义域 【方法点拨】按“分母、根号、对数、零次幂、三角、实际”逐项列不等式组取交集；复合函数定义域按“由外向内”或“由内向外”两条规则转化。 【例1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 可得集合， 又由函数，可得，解得，可得集合， 根据集合交集的定义与运算，可得 【例2】（24-25高一上·山东淄博·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数在上的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】利用复合函数求定义域的方法可得选项A正确；利用二次函数的性质可得选项B错误；利用分离常数法化简函数解析式可得选项C错误；利用换元法，结合二次函数性质求值域可得选项D正确. 【详解】A.∵的定义域为， ∴，解得， ∴的定义域为，选项A正确. B. ∵，对称轴为直线， ∴， ∴函数在上的值域为，选项B错误. C. ∵ , ∴，即函数的值域为，选项C错误. D.令，则， ∴， ∴当时，，即函数值域为，选项D正确. 故选：AD. 【变式训练1】（2025·陕西商洛·模拟预测）函数的定义域是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】求出使式子有意义的自变量的范围即得． 【详解】由题意，解得且， 故选：B． 【变式训练2】（2026·山东·一模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据具体函数的定义域的求解方法直接求解即可. 【详解】要使函数有意义，只需满足，解得且， 所以函数的定义域是 故选：A 【变式训练3】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【分析】结合基本不等式，可判定A错误；根据同一函数的判定方法，可判定B错误；根据函数的对应法则，以及函数值的运算法则，可得判定C正确；根据抽象函数定义的计算方法，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，由函数满足， 令，即，解得，则，即， 若，可得，所以C正确； 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 【题型强化练1】（2026·江苏苏州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，易知函数的值域为，即， 集合，即，， 因此. 【题型强化练2】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 【题型强化练3】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 【题型强化练4】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 【题型强化练5】（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）（多选）下列四个结论中，正确的结论是（ ） A．“”的充分不必要条件是“”． B．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C．已知，，则的取值范围是． D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【分析】利用充分不必要条件定义判断A；利用存在量词命题为假求出范围判断B；利用不等式的性质推理判断C；求出定义域判断D. 【详解】对于选项A：因为集合是集合的真子集， 所以“” 是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于选项B：由命题“”为假命题，得方程无实根， 则，解得，故B正确； 对于选项C：因为，则，可得， 且，则，所以，故C正确； 对于选项D：令，解得， 所以函数的定义域为，故D错误. 故选：BC. 题型五　函数的值域 【方法点拨】先判断函数类型再选方法：二次型用配方，分式型用分离常数或判别式，根式型用换元，单调明确的用单调性；求出值域后必须回验能否取到端点。 【例1】（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 【例2】（2026·陕西汉中·模拟预测）（多选）下列函数中，值域正确的是（     ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】本题考查了函数值域的求法，配方法、分离常数法和换元法的应用，掌握根据函数类型选择合适方法求值域的技巧是解题的关键． 对每个选项，使用配方法、分离常数法或换元法，结合函数单调性求值域，逐一判断正误． 【详解】对于A，（配方法），由，再结合函数的图象（如图①所示），可得函数的值域为． 对于B，（分离常数法），显然，． 故函数的值域为． 对于C，（换元法）设，则，且，， 由，再结合函数的图象（如图②所示），可得函数的值域为． 对于D，函数的定义域为， 与在上均单调递增， 在上为增函数， 当时，，即函数的值域为． 故选：ACD． 【变式训练1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】先把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案. 【详解】由题意得，， 故. 【变式训练2】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，可得出，利用基本不等式可求得函数的值域. 【详解】对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为， 因为， 且， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，当且仅当或时，等号成立， 所以，又因为，故，故原函数的值域为. 故选：C. 【变式训练3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 【题型强化练1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 【题型强化练2】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可. 【详解】由题意得，令， 可得，则，即原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，， 可得，即的值域为，故B正确. 故选：B 【题型强化练3】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，从而得到函数的值域为. 【详解】根据取整函数的定义，对任意实数，有，可得； 故函数的值域为. 故选：A 【题型强化练4】（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据取整函数的概念，求得函数的值域为，再分别求得选项中函数的值域，即可得到答案. 【详解】当时，的值域为． 对于A，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于B，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于C，由，则函数的值域为，与的值域不相同； 对于D，由，则函数值域为，与的值域相同. 故选：C． 【题型强化练5】（25-26高一上·福建·阶段检测）（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（   ） A．已知函数的值域为 B．关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C．函数，定义域，值域，则满足条件的有27个 D．若函数，存在实数a使得 【答案】AC 【分析】对于A，利用函数单调性即可判断；对于B，将问题等价于即可求解；对于C，定义域列举即可求解，对于D，求出，解方程即可求解. 【详解】对于A，在上单调递增，故其值域为，故A正确； 对于B，关于“的不等式有解”等价于， 即，可得是充分条件不是必要条件，故B错误； 对于C，函数，值域，由，解得：, 由，解得：，由，解得：, 所以定义域的情况有种， 则函数，定义域，值域，则满足条件的有27个，故C正确； 对于D，，故， 若，即，则，矛盾，故D错误． 故选：AC 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲　函数的概念及其表示 【知识梳理】 一、函数的概念与三要素 1．定义：设 、 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。其中 叫自变量， 的取值范围 叫函数的定义域，与 的值对应的 值组成的集合 叫函数的值域。 2．三要素：定义域、对应关系、值域。两个函数相同 定义域与对应关系完全一致（值域由前二者唯一确定，故判断时不必比较值域）。判断“ 与 ”是否相同，要同时看定义域与解析式化简后的对应关系。 3．区间：闭区间 、开区间 、半开半闭区间 、，以及 、、。、 不是实数，不能作为区间的闭端点。 4．表示方法：解析法（便于运算与推理）、图象法（直观，“一条竖线与图象至多一个交点”是其作为函数图象的判定依据）、列表法（不必计算即可直接查出函数值）。 5．分段函数：在定义域的不同部分上用不同解析式表示的函数。要点：① 分段函数是一个函数，不是几个函数；② 定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；③ 求分段函数的最大（小）值，先分别求各段上的最大（小）值再比较；④ 含绝对值的函数本质上是分段函数。 二、函数的定义域 1．使解析式有意义的常见限制：分母不为 ；偶次根式被开方数 ；对数的真数 且底数 且 ；零指数幂的底数 ； 要求 （）；实际问题的自变量还要受实际意义约束。 2．复合函数定义域的两条规则： 已知 的定义域为 ，求 的定义域，解不等式 ； 已知 的定义域为 ，求 的定义域，即求 在 上的值域。 3．求定义域时不能先化简解析式： 与 的定义域不同，前者要求 。 三、函数的值域 1．常用方法：观察法（直接看出）、配方法（二次型或可化为二次型）、判别式法（分式型，分子分母均为二次）、换元法（根式换元、三角换元）、单调性法（先确定单调区间）、图象法、基本不等式法、分离常数法、数形结合法。 2．分式型模型：（）用分离常数化为 ；（分子分母均为二次）用判别式法，化为 ，由 求 的范围，并须验证端点值能否取到。 3．含根式 的函数，令 化为二次函数求值域；形如 可用三角换元 。 4．值域的表示必须用集合或区间，不能只写不等式；求最值与求值域通常互相转化。 【题型归纳与方法点拨】 题型一　函数的概念（判断是否为同一函数） 【方法点拨】“两相同”看定义域与对应关系：先分别求定义域，再化简解析式比较；注意 、（）这类化简前后的差异。 【例1】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【例2】（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）（多选）下列有关函数说法正确的是（    ） A．定义域和对应法则相同的两个函数是同一函数 B．定义域和值域相同的两个函数是同一函数 C．函数的图象与直线的交点至多有1个 D．式子不可表示自变量为、因变量为的函数 【变式训练1】（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式训练3】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【题型强化练1】（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【题型强化练2】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【题型强化练3】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【题型强化练4】（26-27高一上·广西·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型强化练5】（25-26高一上·河北保定·期中）（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 题型二　函数的解析式 【方法点拨】已知 求 用换元法（注意新元的范围）或配凑法；已知函数类型用待定系数法；已知 与 （或 与 ）的方程组用消元法。 【例1】（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【例2】（25-26高三上·湖北·期中）（多选）定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（    ） A．1 B．2 C．6 D．5 【变式训练1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 【题型强化练1】（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 【题型强化练3】（2026·江西·模拟预测）已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2026·广东茂名·一模）已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 【题型强化练5】（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 题型三　分段函数 【方法点拨】求值时先看自变量落在哪一段；解方程、解不等式要分段讨论并检验解是否落在对应段内；含参数的分段函数最值问题要兼顾“段内”与“段间衔接”。 【例1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）（多选）函数称为狄利克雷函数，关于的下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．的定义域为 C．， D．任意的，则有恒成立 【变式训练1】（26-27高一上·全国·课后作业）定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高三上·云南曲靖·期中）（多选）下列说法正确的是（　　 ） A． B．已知函数，则 C．的最小值为4 D．若不等式恒成立，则 【题型强化练1】（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【题型强化练2】（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知函数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型强化练3】（2025·江西南昌·一模）已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【题型强化练4】（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知函数满足，，函数，若，则的值可以是（    ） A．149 B．151 C．199 D．300 【题型强化练5】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．的解集为 题型四　函数的定义域 【方法点拨】按“分母、根号、对数、零次幂、三角、实际”逐项列不等式组取交集；复合函数定义域按“由外向内”或“由内向外”两条规则转化。 【例1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·山东淄博·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数在上的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【变式训练1】（2025·陕西商洛·模拟预测）函数的定义域是（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式训练2】（2026·山东·一模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【题型强化练1】（2026·江苏苏州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）（多选）下列四个结论中，正确的结论是（ ） A．“”的充分不必要条件是“”． B．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C．已知，，则的取值范围是． D．函数的定义域为，则函数的定义域为 题型五　函数的值域 【方法点拨】先判断函数类型再选方法：二次型用配方，分式型用分离常数或判别式，根式型用换元，单调明确的用单调性；求出值域后必须回验能否取到端点。 【例1】（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·陕西汉中·模拟预测）（多选）下列函数中，值域正确的是（     ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【变式训练1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练2】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（25-26高一上·福建·阶段检测）（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（   ） A．已知函数的值域为 B．关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C．函数，定义域，值域，则满足条件的有27个 D．若函数，存在实数a使得 学科网（北京）股份有限公司 $