第3章 图形的初步认识 章节拔尖攻略-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第3章1 图形的初步认识 朝高频考点突破 考点一三视图 典例1[2026银川期中](1)如图①是由8个 相同的小正方体搭成的几何体，请在网格中 画出这个几何体的三视图， 主视图 左视图 俯视图 (典例1图①) (2)一个几何体由若干个大小相同的小正方 体搭成，该几何体的左视图和俯视图如图② 所示.该几何体最少由 个小正方体 搭成，最多由 个小正方体搭成.当 搭成该几何体所用的小正方体最多时，请在 如图③所示的网格中画出主视图， 左视图俯视图 主视图 ② ③ (典例1图) 分析 本题考查作三视图，解题的关键是掌握主 视图、左视图与俯视图分别是从物体的正面、左 面、上面观察得到的投影.(1)主视图从左往右 3列正方形的个数依次为3,1,2；左视图从左往 右2列正方形的个数依次为3,1；俯视图从左往 右3列正方形的个数依次为2,2,1.依此画出图 形即可.(2)根据左视图和俯视图，可确定搭成 这个几何体所需的小正方体个数的最少、最多 的情况，根据最多情况画出主视图即可. 解答：(1)如图④所示 聚焦高频考点，各个击破 (2)根据左视图和俯视图，可知搭成该几何 体所需的小正方体个数的最少、最多的情况 分别如图⑤⑥所示（均为俯视图，正方形中 的数字表示该位置上的小正方体的个数). 故该几何体最少由7个小正方体搭成，最多 由10个小正方体搭成.当搭成该几何体所 用的小正方体最多时，主视图如图⑦所示 主视图 左视图 俯视图 ④ 21 22 31 33 主视图 ⑤ ⑥ ⑦ (典例1图) 方法归纳 三视图与立体图形的互推关系 由立体图形画三视图，观察方向决定视图形 状，遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则.由三视 图推导立体图形，根据俯视图确定基础网格，每 个小方格代表该位置有立方体.主视图确定每列 的最大高度，左视图确定每行的最大高度。 对应练习 1.如图①，在平整的地面上，将若干个棱长 均为1cm的小正方体堆成一个几何体， 并放置在墙角 主视图 俯视图 ① ② (第1题) 19 数学（华师版）七年级上 (1)请在图②中画出这个几何体的主视 图和俯视图， (2)若将其露在外面的面涂上一层漆，则 其涂漆面积为 cm2. (3)在不移动其他小正方体的前提条件 下，添加若干个上述小正方体后，要求几 何体的主视图和俯视图不变，则有 种添加方式 2.[2026六盘水期末]已知有一个由几个小 立方块搭成的几何体，如图①是这个几何 体的俯视图，其中小正方形中的数字表示 在该位置的小立方块的个数， 31 21 主视图 左视图 ① ② (第2题) (1)在图②中分别画出这个几何体的主 视图和左视图 (2)若要保持该几何体的三视图都不变 则还能增加小立方块的个数为 考点二简单多面体的表面展开图 典例2[2026清远期末]一个正方体的平面 展开图如图①所示，原正方体可能是( (典例2图①) A B 分析 本题考查了含图案的正方体的展开图.根 据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动 手操作. 20 解答：观察该正方体的平面展开图，结合正 方体的表面图形的分布情况，得原正方体可 能如图②所示，故选A. (典例2图②) 方法归纳 将正方体展开图还原成正方体的方法 通过空间想象或找相对面的方法，将平面展 开图折叠成立体图形，再与选项逐一对照.步骤 如下：(1)确定一个基准面：选一个容易辨识的 面（如有图案或特殊标记）作为“前面”.(2)折叠 相邻面：按照展开图的布局，依次折叠上、下、左 右四个方向的相邻面.(3)确定相对面：记住“隔 一相对”的规律—在展开图中相隔一个面的两 个面是相对面；也可用“Z字型”法判断.(4)排除 法：根据选项中某个面的位置关系（如相邻、相 对)，逐一排除不符合的选项.(5)空间想象验 证：在脑海中或纸上简单折叠，确认最终结果 对应练习 3.[2025忻州三模]如图所示为一个正方体 纸盒，在下列四个图中只有一个是这个正 方体纸盒的展开图，那么这个展开图是 (第3题) 4.如图，BC是圆柱的底面圆的直径，AB是 圆柱的高，过点A,C嵌有一圈路径最短 的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所 得的圆柱侧面展开图是 (第4题) B. C D 考点三与线段有关的计算 典例3[2026衡水期末]综合与实践 【问题情境】图①为一款可伸缩自拍杆，自拍 杆共三段，三段可近似看作三条线段（线段 AB、线段CD和线段EF),长度分别为AB= 30cm,CD=20cm,EF=20cm,设计时为防 止脱落，两段自拍杆之间有重叠 ① CB ED F ② (典例3图) 【问题探究】如图②，当自拍杆延伸至最长状 态时，BC=DE=2cm. (1)自拍杆延伸至最长状态时，CE BD(填“>”“<”或“=”)】 (2)求自拍杆延伸至最长状态时的总长度 (AF的长) 【问题拓展】 (3)如图③，固定第一段AB不动，收缩自拍 杆第二段CD和第三段EF,使其总长度为 第3章图形的初步认识 55cm,此时D恰好为EF的中点.求BC 的长. CBE D F (典例3图③) 分析 本题主要考查线段的和差、中点的定义， (1)根据BC=DE=2cm,可得BC十BE= DE十BE,即可得出答案.(2)先根据BD= CD一BC求出BD的长，同理可得DF的长，然 后根据AF=AB+BD十DF得出答案.(3)先 根据中，点的定义得DF=l0cm,再求出CF= 30cm,然后求出AC=25cm,最后根据BC= AB-AC得出答案. 解答：(1)因为BC=DE=2cm, 所以BC+BE=DE+BE,即CE=BD (2)因为CD=20cm,BC=2cm,所以 BD=CD-BC=18cm.同理，可得DF= 18cm.所以AF=AB十BD+DF=30十 18十18=66(cm).所以自拍杆延伸至最长状 态时的总长度是66cm. (3)因为D为EF的中点， 所以DF=2EF=10cm. 所以CF=CD+DF=20+10=30(cm). 所以AC=AF-CF=55-30=25(cm). 所以BC=AB-AC=30-25=5(cm). 小结 抓住“重叠部分”的几何本质，将实际情境转 化为线段的和差关系.将自拍杆各段抽象为线段 AB,CD,EF,重叠部分用BC,DE等表示.分清 “实际长度”和“重叠后显示长度”重叠意味着两 段的长度之和减去重叠部分等于整体可见长度 对应练习 5.已知线段AB=10,C为AB的延长线上 的一点，D是线段AC的中点，且点D不 与点B重合， 21 数学（华师版）七年级上 (1)当线段BC=6时，求线段BD的长， (2)若线段BD=4,求线段BC的长. 考点四与角有关的计算 典例4如图①，∠AOB=102°，∠COD= 30°，∠COD在∠AOB的内部绕点O任意旋 转.若OE平分∠BC,则2∠AOE十∠BOD= ① ② (典例4图) 分析 这道题是角的和差与角的平分线的定义的 综合应用，我们可以通过设未知数、利用角的平 分线的定义和已知角度关系来推导计算，要注 意OE除了图①中在∠COD的内部的情况外， 还有可能在∠COD的外部，也应分析计算 解答：设∠BOD=a.因为∠COD在∠AOB 的内部绕点O任意旋转，所以有以下两种 情况： 如图①，当OE在∠COD的内部时，因为 ∠COD=30°，所以∠BOC=∠BOD+ ∠COD=30°+a.因为OE平分∠BOC,所 以∠B0R=∠C0R=∠B00=15+2. 因为∠AOB=102°，所以∠AOE=∠AOB ∠B0F=102-(15+2)=87°-2a.所 22 以2∠A0E=2×(87-2)=174-&.所 以2∠AOE+∠BOD=174°-a+a=174°. 如图②，当OE在∠COD的外部时，因为 ∠COD=30°，所以∠BOC=∠BOD+ ∠COD=30°+a.因为OE平分∠BOC,所 以∠BOE=∠C0E=2∠B0C=15+20. 因为∠AOB=102°，所以∠AOC=∠AOB ∠BOC=102°-(30°+&)=72°-.所以 ∠AOE=∠AOC+∠COE=72°-a+15°+ 包0=87-0.所以2∠2AE=2X(灯” 2)=17-a.所以2∠A0E+∠B0D- 174°-a+a=174°. 综上所述，2∠AOE+∠BOD=174. 小结 1.核心思路：通过设未知数表示角的关系， 利用角的平分线的定义和角的和差进行代数推 导，最终消去未知数得到定值， 2.关键技巧：遇到动态角问题时，优先用代 数方法表示各角，通过化简消去变量，从而得到 与旋转无关的定值， 3.易错点：角的和差关系容易混淆，画图时 要明确各角的位置，避免符号错误」 对应练习 6.如图①，在同一平面内，∠AOC=60°， ∠BOC=90°，OD平分∠AOC,射线OE 在∠BOC的内部. )当∠BOE=号∠COE时，求∠DOE 的度数， (2)如图②，当OE平分∠AOB时，求 ∠DOE的度数， (3)在(2)的条件下，若将题目中的条件 “∠AOC=60”改为“∠AOC=a(a< 90°)”，其他条件不变，试探究∠DOE的 度数是否发生变化.若发生变化，求 ∠DOE的度数；若不发生变化，请说明 理由。 D 0 B ① ② (第6题) 考点五基本尺规作图 典例5如图①，已知∠a和线段a,用尺规作 ∠MBN=∠a,并在夹这个角的两边BN, BM上分别截取长度为2a和a的线段BC, BA(保留作图痕迹，不写作法). L 人a (典例5图①) 第3章图形的初步认识 分析 先作∠MBN=Q,再在BN上截取BC= 2a,在BM上截取BA=a即可. 解答：如图②所示. M B C N (典例5图②) 小结 按“作角→截边”的顺序，依次作出已知角和 已知边.先作一个角等于已知角：作射线→以已 知角项，点为圆心画孤交两边→以相同半径以射 线端点为圆心画孤→以两个孤交点之间的距离 为半径画孤定交点.再在角的两条边上，用圆规 分别截取长度为2a和a的线段（以项，点为起 点).截取长度为2a的线段时，可连续截取两次 长度为a的线段. 对应练习 7.按要求进行尺规作图： (1)[2026吉林期末]如图①，已知线段 a,b,c,作一条线段，使它等于a十2b一c, 并简要说明作法 (2)如图②，已知∠1，∠2，画出∠AOB= 2∠1十∠2，并简要说明作法， a b ① ② (第7题) 23 数学（华师版）七年级上 考点六余角和补角 典例6[2026南昌期末]如图，∠AOC与 ∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余 角，且∠BOC=5∠BOD. (典例6图) (1)求∠BOC的度数. (2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数， 分析 本题考查余角、补角相关的计算、角的平分 线的应用以及几何图形中的角度计算，数形结 合是解题的关键.(1)根据题意得出∠BOC十 ∠BOD=90°，根据∠BOC=5∠BOD,得出 ∠BOD=15°，即可求出∠BOC的度数.(2)根 据题意得出∠AOC+∠BOC=180°，则 ∠AOC=105°.根据角的平分线的定义得出 ∠00E=2∠A0C=52.5,根据∠B0E- ∠BOC+∠COE即可求解. 解答：(1)因为∠BOC与∠BOD互为余角， 所以∠BOC+∠BOD=90°.因为∠BOC= 5∠BOD,所以6∠BOD=90°.所以∠BOD= 15°.所以∠BOC=5∠BOD=75°. (2)因为∠AOC与∠BOC互为补角，所以 ∠AOC+∠BOC=180°.因为∠BOC=75°，所 以∠AOC=105°.因为OE平分∠AOC,所以 ∠C0E=2∠A0C=52.5所以∠B0E= ∠BOC+∠COE=75°+52.5°=127.5°. 小结 补角、余角与倍数关系综合题的解法 先抓住倍数关系，把最小角看作1份，较大 角看作相应份数；再利用余角条件（两角之和为 24 90°)求出每份的度数，进而确定这两个角的具体 值；接着用补角条件（两角之和为180）求出另一 个大角；最后通过角平分线得到半角，用角的和 差关系计算目标角.整个推理过程不列方程，只 需按“份数→总和→每份值”的逻辑推进，每步只 用一个条件，层层递进即可求出所有角度， 对应练习 8.[2026凉山期末]如图①，有公共顶点O 的两个角∠AOB=a°，∠COD=3°，且a, 3满足a十3=180，a>3. (1)若a,3满足a-120|+(3-60)2=0, 则∠AOB= ,∠COD= ∠BOC与∠AOD的特殊关系是 (2)将图①中的∠COD绕点O逆时针旋 转至图②所示的位置时，∠BOC与∠AOD 是否还具有(1)中的特殊关系？请说明 理由 (3)在(1)的条件下，在旋转过程中，当 ∠AOC与∠BOD互余时，请直接写出 ∠AOC的度数 ② (第8题) 第3章图形的初步认识 閏综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.[2026烟台期中]如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体.若移走一个有编号的 小正方体，该几何体的左视图不发生变化，则移走的小正方体的编号是 () A.④ B.③ C.② D.① ④ ① ② ③ (第1题) (第2题)》 2.[2026周口二模]河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之 乡”的美誉.一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个 汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”对面的汉字是 () A.“国” B.“玉” C.“雕” D.“乡” 3.[2026扬州期末]已知∠AOC=110°，过点O作射线OB,OM,使∠AOB=20°，OM是 ∠BOC的平分线，则∠AOM的度数为 () A.35 B.45°或65 C.40 D.55°或65 4.如图，C是线段AB上一点，AB=21,AC=BC.以点C为圆心CB长为半径画弧， 交线段AC于点D.以点D为圆心，DA长为半径画弧，交线段DC于点E,则CE= A D E C B (第4题) (第5题)》 (第6题) 5.[2026南阳期末]如图，有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线M-P-N.若该 折线M-P-N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把Q叫做这条折线的折中 点.已知D是折线A-C-B的折中点，E为线段AC的中点，CD=2,CE=4,则线段BC的 长为 6.如图，∠AOB=90°，∠COD在∠AOB内部且∠COD=45°.有下列说法：①若∠AOC= ∠BOD,则图中有两对互余的角；②若作OE平分∠BOC,则∠AOC=2∠DOE;③若作 OM平分∠AOC,ON在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON;④若在 ∠AOB外部分别作∠AOC,∠BOD的余角∠AOP,∠BOQ,则∠AOP+∠BOQ= 3∠COD.其中，正确的共有 个 7.已知∠AOB=160°，∠COE=90°，OF平分∠AOE (1)如图①，若∠COF=32°，则∠BOE的度数为 25 数学（华师版）七年级上 (2)如图①，若∠COF=m°，则∠BOE的度数为 (用含m的代数式表示)； ∠BOE与∠COF之间的数量关系为 (3)在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点O按逆时针方向转动到如图②所示的位置 时，(2)中∠BOE与∠COF之间的数量关系是否仍然成立？请说明理由， 0 ① ② (第7题) 8.如图，数轴上有A,B两点，点A在点B的左侧，表示的有理数分别为a,b,已知AB=12, 原点O在线段AB上，且OA=2OB. (1)a= ,b= (2)若动点P,Q分别从点A,B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度， 点Q的速度为每秒1个单位长度.设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P,Q两点 停止运动.当t为何值时，2OP一OQ=4? (3)在(2)的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的 速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后 再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P,Q停止时，点M也停止运 动，求在此过程中点M运动的总路程和点M停止运动时在数轴上对应的有理数. A 0 B (第8题) 26价后的价格基础上降价5，即促销价格是加价后价格的 (1-号)所以促销价格是[(1-号)a+20)]元/件. ③A根据题意，得2A十B=2A-B十2B=9x2-2x十 7+2(x2+3x+2)=9x2-2x+7+2x2+6.x+4=11x2+ 4x+11. ④C如图，长方形A的面积为3(m一2)cm,长方形B的 面积为2(m一3)cm,所以涂色部分的面积的和为3(m 2)+2(m-3)=[3(m-2)+2m-6]cm2. cm (第4题) 6号因为单项式-3x2y1和4”2合并 后仍是单项式，所以一3.x2m+1ym+1和4x"+2y1m-2是同 类项.所以2m十1=n+2,-2m+1=4m-2,解得m=2, 1 n=0.所以m十n=2 0(日) 边长为1的正方形的面积为1×1=1，第1 次操作后右下角小正方形的面积为，第2次操作后右下 角小正方形的面积为子×4-()，第3次操作后右下 角小正方形的面积为()》…第n(m为正整数)次操作 后右下角小正方形的面积为（仁）”.所以重复这样的操作。 则经过2025次操作后右下角小正方无形的面积为() ⑦(1)由题意，可得窗户的面积为4个小正方形的面积加 半圆的面积，下部小正方形的边长和上部半圆的半径都为 u米，所以窗户的面积为4如2+号a2-(4什2)u2≈ (平方米).由题意，可得宜框的总长为所有小正方形 附：答案与解析 的边长之和十半个圆的弧长十三条半圆的半径，所以窗框 的总长为12a+号×2m十3a=(15+x)a≈18a(米). (2)因为玻璃每平方米b元，窗框每米c元，窗户的面积为 号。平方米，窗框的总长为1a米，所以制作一扇这种应 户的材料费是（侵a6+18ac)元当a=1时，号a6+ 18c-号b十18c,所以制作一扇这种窗户的材料费是 (b+18c)元。(3)由(2)，可得一扇这种窗户的面积为 号0-号（平方米）.窗框的总长为18a=18(米).在甲工 厂采购时，b=26,c=20,运输费为10元/扇，人工费为 120元/米，所以在甲工厂采购1扇这种窗户的采购费为 1 ×26+18×20+10+120× 2 =1173(元).在乙工厂采购 时，b=30,c=18,运输费为12元/扇，人工费为130元/米2， 所以在乙工厂采购1扇这种窗户的采购费为号×30十 18×18+12+130×号-1216（元）.因为1173<1216，在 同一家工厂采购的每一扇窗户的价格都相同，所以在甲工 厂采购100扇这种窗户所需采购费比在乙工厂采购100扇 这种窗户所需采购费少.所以去甲工厂采购更省钱。 第3章图形的初步认识 [高频考点突破] ①(1)如图所示.(2)16.因为小正方体的棱长为1cm, 所以小正方体每一个面的面积为1cm.据题图①可知，几 何体露在外面的面有16个，所以涂漆面积为16×1= 16(cm).(3)2.可以在左侧前排的小正方体上面加一 个或两个小正方体，故共有2种添加方式. 主视图 俯视图 (第1题) 41 数学（华师版）七年级上 ②(1)如图①所示.从正面看，左边有3个小正方形，中 间有2个，右边有1个；从左面看，左边有2个小正方形，中 间有3个，右边有2个.(2)1.因为在空白处添加会改 变从上面看到的形状，在前面的小立方块上添加会改变从 正面看到的形状，在左边的小立方块上添加会改变从左面 看到的形状，所以只能在最中间的一个小立方块上添加， 并且不能超过前面和左面的高度.所以还能增加1个小立 方块，如图②所示. 主视图 左视图 ① 2 31+1 21 俯视图 ② (第2题) ③C如图①，在三角形ATG中，A,T,G按逆时针排列， 在三角形DFT中，D,F,T按逆时针排列，在三角形BCE 中，B,C,E按逆时针排列，在三角形BEH中，B,E,H按 逆时针排列，故其展开图如图②所示 (① ② (第3题) ④B由题知，该圆柱的侧面展开图是长方形.根据“两点 之间，线段最短”可知，展开后过点A,C的金属丝应是两条 线段，且有公共点C,故B正确，ACD错误 ⑤(1)如图①，因为AB=10,BC=6,所以AC=AB+ BC=16.因为D是线段AC的中点，所以AD-号AC=& 42 所以BD=AB-AD=10-8=2.(2)分两种情况讨论： ①当点D在点B的右边时，如图②.因为AB=10,BD= 4,所以AD=AB+BD=10+4=14.因为D是线段AC的 中点，所以CD=AD=14.所以BC=BD+CD=4+14= 18.②当点D在点B的左边时，如图③.因为AB=10, BD=4,所以AD=AB一BD=10一4=6.因为D是线段 AC的中点，所以CD=AD=6.所以BC=CD一BD=6- 4=2.综上所述，线段BC的长为18或2 DB ① B D ② A D BC ③ (第5题) 6(1)因为∠AOC=60°，OD平分∠AOC,所以∠AOD= ∠00D=30,因为∠0C=-90,∠0E=号∠C0E.所以 ∠C0E=90°×号-75.所以∠0E=∠D0C+∠C0E= 30°+75°=105°.(2)因为∠AOC=60°，∠B0C=90°，所 以∠AOB=∠AOC+∠BOC=150°.因为OE平分 ∠AOB,所以∠AOE=∠BOE=75°.因为∠AOC=60°， OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD=30°.所以 ∠DOE=∠AOE-∠AOD=75°-30°=45°.(3)若将题 目中的条件“∠AOC=60”改为“∠AOC=a(a<90)”, ∠DOE的度数还是45°，不发生变化.理由：因为∠AOC= a(a<90).0D平分∠A0C,所以∠A0D=∠COD=2a. 因为∠AOC=a(a<90),∠BOC=90°，所以∠AOB= ∠AOC+∠BOC=90°+a.所以∠AOE=∠BOE=45°+ 2.所以∠DOE=∠A0E-∠A0D=45+2a 1 a=450. ⑦(1)如图①，先确定作图的基础直线1，再依次作线段 AB,BC,CD,表示线段的长度和a+2b,最后在线段AD 的内部作线段DE,得到线段AE,即为a十2b一c.线段AE 即为所求作.(2)如图②，作∠BOC=∠1；以O为顶点、 O℃为一边在∠BOC的外侧作∠COD=∠1，则∠BOD= ∠BOC+∠COD=2∠1；以O为顶点、OD为一边在 ∠BOD的外侧作∠DOA=∠2，则∠AOB=∠BOD+ ∠DOA=2∠1+∠2.∠AOB即为所求作. 。 1 D 0 B ② (第7题) 8(1)120°：60°；互补.因为a-120+(3-60)2=0,所 以a-120=0且B-60=0.所以a=120,B=60.所以 ∠AOB=a°=120°，∠COD=β°=60°.所以∠AOB+ ∠COD=180°.所以∠BOC+∠AOD=360°一（∠AOB+ ∠COD)=180°.所以∠BOC与∠AOD的特殊关系是互 补.(2)仍具有.理由：将题图①中的∠COD绕点O逆时 针旋转至题图②所示的位置时，有∠BOC=∠COD一 ∠BOD=B-∠BOD,∠AOD=∠AOB+∠BOD=a°+ ∠BOD.因为a+B=180,所以∠BOC+∠AOD=B° ∠BOD+a°+∠BOD=180°，即将题图①中的∠COD绕点 O逆时针旋转至题图②所示的位置时，∠BOC与∠AOD 的特殊关系是互补.(3)∠A0C=15°或75°.在(1)的 条件下，∠AOB=120°，∠COD=60°.当OC和OD都在 ∠AOB外部时，有两种情况：如图①，此时∠AOC> ∠AOB=120°，∠BOD>∠COD=60°，∠AOC与∠BOD 不可能互余；如图②，此时∠BOD>∠AOB=120°， 附：答案与解析 ∠AOC>∠COD=60°，∠AOC与∠BOD不可能互余.当 OC和OD都在∠AOB内部时，如图③，∠BOD+ ∠A0℃=∠AOB-∠COD=120°-60°=60°，不满足 ∠ACC与∠BOD互余.当OC在∠AOB内部，OD在 ∠AOB外部时，如图④，∠AOC=∠AOB一∠BOC= 120°-∠BOC,∠BOD=∠COD-∠BOC=60°-∠BOC. 假设∠AOC与∠BOD互余，则∠AOC+∠BOD=90°，即 120°-∠BOC+60°-∠BOC=90°.所以∠BOC=45°.所 以∠AOC=120°-∠B0C=120°-45°=75.当0℃在 ∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，如图⑤，∠AOC= ∠COD-∠AOD=60°-∠AOD,∠BOD=∠AOB- ∠AOD=120°-∠AOD.假设∠AOC与∠BOD互余，则 ∠AOC+∠BOD=90°，即60°-∠AOD+120°-∠AOD= 90°.所以∠AOD=45°.所以∠AOC=60°-∠AOD=60°- 45°=15°.综上所述，∠A0℃的度数为15°或75. B D C ① ② D B B D D 0 0 ③ ④ (第8题) [综合素养提升] ①B由题图可知，该几何体共有前、中、后三排，左、中、右 三列，上、中、下三层.左视图是从左侧观察得到的投影，因 为③号小正方体在中间一排，且不影响中间一排小正方体 的最多个数，而其余3个小正方体均会影响所在排小正方 体的最多个数，所以只有移走③号小正方体后该几何体的 左视图不发生变化 43 数学（华师版）七年级上 ②A由题意，可得“中”与“玉”“雕”“之”“乡”相邻，所以 “中”对面的汉字是“国”， ③B如图①，当射线OB在∠AOC内部时，因为∠AOC= 110°，∠AOB=20°，所以∠BOC=∠AOC一∠AOB=90°. 因为OM是∠B0C的平分线，所以∠COM=?∠B0C 45°.所以∠AOM=∠AOC-∠COM=65.如图②，当射线 OB在∠AOC外部时，因为∠AOC=110°，∠AOB=20°，所 以∠BOC=∠AOC+∠AOB=130°.因为OM是∠BOC 的平分线，所以∠BOM=号∠BOC=65.所以∠AOM= ∠BOM-∠AOB=45°.综上所述，∠AOM=65或45°. M (① B ② (第3题) O3因为AB=24,AC=号BC,AB=AC+BC,所以 BC+BC=24,所以BC=9.所以AC=AB-BC 9=15.由作图可知，CD=CB=9,所以AD=AC一CD= 15-9=6.由作图可知，DE=DA=6,所以CE=CD一 DE=9-6=3. ⑤4或12因为E为线段AC的中点，且CE=4,所以 AC=2CE=8.如图①，当点D在AC上时，因为CD=2, 所以AD=AC-CD=8-2=6.因为D是折线A-CB的 折中点，所以AD=CD+BC.所以6=2+BC.所以BC= 4.如图②，当点D在CB上时，因为D是折线A-CB的折 中点，所以AC+CD=DB.所以8+2=DB.所以DB= 44 10.所以BC=DB十CD=10+2=12.综上所述，线段BC 的长为4或12. C .B ⑦ D ② (第5题) 62因为∠AOB=90°，∠COD=45°，所以∠AOC+ ∠BOD=∠AOB-∠COD=45°.①因为∠AOC= ∠BOD,∠AOC+∠BOD=45°，所以∠AOC=∠BOD= 22.5°.所以∠AOD=∠COB=67.5°.所以∠AOD+ ∠DOB=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠AOC+∠AOD= 90°，∠BOD+∠BOC=90°.所以图中有4对互余的角，故 该结论错误.②设∠AOC=x,则∠BOD=45°一x.所以 ∠BOC=∠BOD+∠COD=45°-x+45°=90°-x.因为 OE平分∠OC,所以∠0E=2∠B0C=45°-2x.所 以∠D0E=∠B0E-∠0D=(45°-2x）-(45-x)= 合.所以∠A0C=2∠DOE,故该结论正确.@设 ∠AOC=x,则∠BOD=45°-x.因为OM平分∠AOC,所 以∠C0M-号∠A0c-号.所以∠coN-∠MON- ∠C0M=45°-2x.所以∠D0N=∠C0D-∠c0N- 45-(45°-2x)=2x.所以∠B0D不-定等于∠DON, 即OD不一定是∠BON的平分线，故该结论错误.④设 ∠AOC=x,则∠BOD=45°-x,∠AOP=90°-x.所以 ∠BOQ=90°-(45°-x)=45°+x.所以∠AOP+ ∠B○Q=90°一x+45°+x=135°.因为∠COD=45°，所以 ∠AOP+∠BOQ=3∠COD,故该结论正确.综上所述，正 确的共有2个. ⑦(1)44°.因为∠C0E=90°，∠C0F=32°，所以 ∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°.因为OF平分 ∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF=2×58°=116.因为 ∠AOB=160°，所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=160°- 116°=44°.(2)(2m-20)°；∠B0E=2∠C0F-20°.因 为∠COE=90°，∠COF=m,所以∠EOF=∠COE- ∠COF=(90-m)°.因为OF平分∠AOE,所以∠AOE= 2∠EOF=2(90-m)°.因为∠AOB=160°，所以∠BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-2(90-m)°=(2m-20)°，即 ∠BOE=2∠COF-20°.(3)成立.理由：设∠COF=x°. 因为∠COE=90°，∠COF=x°，所以∠EOF=∠COE ∠COF=(90-x)°.因为OF平分∠AOE,所以∠AOE= 2∠EOF=2(90-x)°.因为∠AOB=160°，所以∠BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-2(90-x)°=(2x-20)°.所以 ∠BOE=2∠COF-20°. 8 思路导引 (1) 数形 AB=12 结合 OA,0B的长a,b的值 0A=20B (2) 分类讨 点P在原点左侧 20P-0Q4列方程 求解 点P在原点右侧 (1)-8;4. 因为AB=12,OA=2OB,所以OA=8.OB= 4.所以点A表示的有理数为一8，点B表示的有理数为4 所以a=一8，b=4.(2)如图①，当0<t<4时，AP=2t, OP=8-2t,BQ=t,OQ=4+t.因为2OP一OQ=4,所以 28-21)-(4+)=4所以4=号-1.6如图②，当点P 追上点Q,即，点P与点Q重合时，2t=12十t,所以t=12. 如图③，当4<t<12时，OP=2t-8,OQ=4+t.因为 20P-OQ=4,所以2(2t-8)-(4十t)=4.所以t=8.综上 所述，当t为1.6或8时，2OP-OQ=4.(3)由题意，得 附：答案与解析 点M运动的时间为t秒，2t一t=12,所以t=12.此时，点 P表示的有理数为一8+12×2=16.所以点M停止运动时 在数轴上对应的有理数是16，点M运动的总路程为3× 12=36. ① →Q(P) ② 0 B P Q ③ (第8题) 第4章相交线和平行线 [高频考点突破] 0126∠BOD=72°，∴.∠AOC=∠BOD=72, :OE平分∠A0C.∠A0E-=2∠A0C=36.:EB01 FO,∴.∠EOF=90°..∠BOF=180°-∠AOE- ∠EOF=54°.∴.∠DOF=∠BOD+∠BOF=72°+ 54°=126° ②(1)：E0⊥AB,.∠AOE=90°.∠AOC= ∠BOD,∠EOC:∠BOD=7:11,∴.∠EOC:∠AOC= 7 7:11.六∠B0C=90°×11+7=35，∠A0C=90°× +7=55,÷∠D0E=180-∠C0E=180-35 145°.(2)∠BOC,∠AOD,∠MOE.'∠AOC+ ∠B0C=180°，∠A0C=55°，∴.∠B0C=180°-55°= 125°..∴.∠AOD=∠BOC=125°..MN⊥CD, ∴.∠CON=90°.∴.∠COE+∠EON=90°..∠COE= 35°，∴.∠E0N=90°-35°=55°..∠M0E=180°- ∠EON=125°.∴.图中所有度数为125的角为∠BOC, ∠AOD,∠MOE. ③A由题图可知，∠3与∠1互为同旁内角，且∠3与 ∠2，∠4，∠5不互为同旁内角.故A正确，B,C,D错误。 45