专题03 图形的初步认识（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材华东师大版

专题03 图形的初步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 认识常见的立体图形及其分类 能够判别常见的立体图形，能够准确的进行分类 基础常考题，经常出现在选填题中 立体图形的视图 能够正确画出立体图形的三视图和已知三视图还原出立体图形。 高频考点，在选择题中出现在前三道，也在解答题中出现 求立体图形的表面积和体积 掌握立体图形的表面积和体积的计算方法，能够利用三视图计算立体计算的表面积 高频考点，经常出现在解答题中，结合立体图形的三视图进行考查 对平面图形的认识 掌握多边形并能够准确的对多边形进行分类，能正确的解决与多边形相关的问题 易考点，常出现在选填中 与线段有关的计算 掌握与线段和差有关系的计算，掌握与线段中点相关的计算 期中常考题，往往出现在解答题中 角的运算 掌握角度在三角板中，在几何图形中等等的应用 常考在解答题中，角的综合应用是考试的重点 知识点01 常见的立体图形 表示的立体图形叫做圆柱； 所表示的立体图形叫做锥体； 所表示的立体图形叫做球体； 其中 表示的图形称为棱柱， 所表示的图形称为圆柱， 表示的图形称为圆锥， 表示的图形称为棱锥。 在棱柱和棱锥中，相邻两个面的交线叫做 ，两条棱的交点叫做 。 知识点02 投影、平行投影、中心投影 ①一般地，用光线照射物体在某个面（地面、墙面、幕布等）上得到的影子叫做物体的 。照射光线叫做 ，投射所在的面叫做 。 ②由平行光线形成的投影，叫做 ，例如物体在太阳光照射下形成的影子叫做平行投影。当投影线垂直于投影面时，产生的平行投影称为 。 ③由一点发出的光线形成的投影，叫做 。例如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就可以看成是中心投影。 知识点03 立体图形的三视图 从正面观察得到的投影，称为 ；从上面观察得到的投影，称为 ；从侧面观察得到的投影，称为 ，依观察（投影）方向不同，有左视图和右视图。通常将 、 和 称为一个物体的三视图。 知识点04 平面图形 是由曲线围成的封闭图形，而其他由线段围成的封闭图形叫做 ，按照组成多边形的边的条数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形...... 知识点05 直线、射线、线段 ①直线：直线是没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。直线是轴对称图形。生活中没有严格意义上无限延伸的直线。但数学上的数轴可以看做直线。 ②射线：射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线有且仅有一个端点，无法测量长度。 ③线段：线段是指两端都有端点，不可延伸的线。 ④两个基本事实：（1）两点之间 最短；（2）两点确定一条 。 ⑤把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的 。 知识点06 角的相关概念 ①绕射线的端点旋转到角的终边和始边成一条直线，这时所成的角叫做 ；第二种情况是绕着射线的端点旋转到终边和始边再次重合，这时所成的角叫做 。（如图所示） ②余角和补角 （1）两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称 。 （2）如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称 。 题型一 平面图形旋转后所得图形 【典例1】(24-25七上·辽宁沈阳·期中)图中的几何体可由平面图形旋转得到，这个平面图形是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25六下·黑龙江哈尔滨德强学校·期中)下面图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥体的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·陕西咸阳秦都区金山学校·期中)下列图形中，绕直线旋转一周所形成的立体图形是球的是（   ） A． B． C． D． 题型二 几何图形的三视图（选填） 解｜题｜步｜骤 1.理解三视图的概念：三视图包括主视图、俯视图和左视图，它们分别是从正面、上面和左面观察物体所得到的视图。 2.分析题目给出的信息：首先，需要明确题目中给出的条件和要求。。 3.绘制或想象三视图：根据题目要求，可能需要自己绘制三视图，或者在脑海中想象出三视图的样子。在这个过程中，需要注意以下几点： 1.外部轮廓：指最大的外部边界，在视图中以实线画出。 2.细节特征：除了外部轮廓外，还需要注意立体图形上的投影图中的线条，这些线条表示物体的细节特征。实线表示可见的部分，虚线表示不可见的部分。 总结和反思：解题完成后，总结解题过程中的经验和教训，反思是否有更简单的方法或更准确的技巧。 【典例2】(24-25七上·甘肃兰州·期中)如图所示的几何体从左面看到的形状是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25八下·海南东方部分学校·期中)如图1是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·安徽淮北濉溪县·期中)如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 题型三 几何图形的三视图（解答） 【典例3】(24-25七上·贵州贵阳·期中)6个完全相同的正方体组成如图所示的几何体，画出该几何体的主视图和左视图（画在所给的方格中）． 【变式1】(24-25七上·宁夏银川永宁三沙源上游学校·期中)一个由几个相同的小立方体搭成的几何体从上面看到的图如图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数，请你在网格中画出这个几何体从三个方面看到的几何体的形状图． 【变式2】(24-25七上·宁夏银川永宁三沙源上游学校·期中)在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．          【变式3】(24-25七上·广东深圳宝安区振兴学校·期中)如图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面看到的形状图，�小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 题型四 平行投影、中心投影、正投影 区｜别｜与｜联｜系 1.平行投影与中心投影：这两种投影方式的主要区别在于投影线是否相交。平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线则相交于一点。 2.正投影与斜投影：正投影和斜投影都属于平行投影的范畴，它们的区别在于投影线与投影面的关系。正投影的投影线垂直于投影面，而斜投影的投影线与投影面不垂直 【典例4】(24-25七上·辽宁沈阳·期中)有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 【变式1】(24-25七上·陕西咸阳·期中)下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 【变式2】(24-25九上·福建东盛教育集团·期中)如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 题型五 已知三视图求侧面积或表面积 【典例5】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据可计算出该几何体的全面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】(24-25七上·山西运城实验中学·期中)图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则俯视图的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(23-24七上·甘肃兰州第十一中学·期中)如图是从一个几何体的正面、左面、上面看到的形状图，根据图中所示数据判断它是什么几何体，并求这个几何体的侧面积（结果保留π）． 【变式3】(24-25七上·安徽淮北部分学校·期末)已知一个几何体的三视图如图所示，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积． 题型六 小立方块堆砌图形的表面积 【典例6】如图中两个几何体都是由8个棱长为的小正方体搭成．那么这两个几何体中，表面积较大的这个几何体的表面积是( )． 【变式1】(24-25七上·浙江杭州临平区·期中)如图，把个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【变式2】(23-24七上·四川成都武侯区成都玉林中学·期中)如图所示，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为3cm正方体堆成的一个几何体．如果在这个几何体的表面（露出的部分）喷上黄色的漆，求这个几何体喷漆的面积 ． 题型七 由三视图判断小正方体的个数 解｜题｜技｜巧 ①首先，根据主视图，从左到右数出每列中的小正方形个数，并在俯视图中对应的列中标出； ②然后，根据左视图，从上到下数出每行中的小正方形个数，并在俯视图中对应的行中标出； ③接下来，取俯视图中每个小正方形内填入的两个数中较小的一个，再把它们相加，就可以得到小正方体的最少个数。同样，可以通过将俯视图中的数字相乘来得到小正方体的最多个数。 【典例7】由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】(24-25九下·黑龙江齐齐哈尔克东县克东县第三中学·期中)用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由m个小立方体搭成，最多由n个小立方体搭成，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】(23-24七上·贵州毕节大方县黄泥塘镇中学·期中)一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体至少是用 个小立方块搭成的.      【变式3】(23-24七上·江西抚州东乡一中、黎川一中等四校·期中)桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有 个． 题型八 由展开图计算几何体的表面积和体积 【典例8】一个半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是 ．（结果保留） 【变式1】(24-25六上·山东淄博博山中学（五四制）·期中)如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【变式2】(24-25七上·河北保定清苑区·期中)图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整； (2)如果正方体纸盒的棱长是2分米，求涂色部分的面积． 【变式3】(24-25七上·辽宁凌海·期中)如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． (1)求该纸盒的表面积；（用x，y表示） (2)若时，求该纸盒的体积； (3)为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 题型九 正方体展开图的识别 解｜题｜技｜巧 常见的正方体展开图形 （1）“141”型6种：中间4个一连串，两边各一随便放 （2）“2-3-1”型3种：二三紧连错一个，三一相连一随便 （3）“2-2-2”型1种：两两相连各挪一 （4）“3-3”型1种： 【典例9】(24-25七上·山西晋中平遥县·期中)如图的四个平面图形中，不是正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25七上·山西晋中平遥县·期中)如图，A、B、C、D四个位置中的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的平面图形，其平面图形能拼成正方体的位置有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】(24-25七上·山西运城平陆县多校联考·期中)张明在学习正方体展开图后，将正方体纸盒沿粗实线和粗虚线剪开，则展开后的平面图是（   ） A． B． C． D． 题型十 正方体相对面上的字 解｜题｜技｜巧 正方体的相对面判断可以通过以下口诀进行记忆和快速判断： 1.相邻不相对：这是最基本的判断原则，意思是说在正方体的展开图中，如果两个面在边上相邻，那么它们在正方体中就不是相对的面。 同层隔一面：在正方体的同一层中，如果两个面之间隔了一个面，那么这两个面就是相对的面。 2.异层隔两面：在正方体的不同层中，如果两个面之间隔了两个面，那么这两个面也是相对的面。 3.剩下两面必相对：在正方体的展开图中，如果有两个面既不在同一层，也不在异层中隔两面的位置，那么这两个面就是相对的面。 4.田七和凹要放弃：在判断正方体的相对面时，如果遇到田字形、7字形或凹形的展开图，这些通常不会构成正方体的正确展开图，因此可以直接放弃这些选项。 【典例10】如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折成正方体后，“我”字一面相对面的字是（   ） A．爱 B．大 C．慧 D．谷 【变式1】(2025·河南省南阳市·模拟)“柳叶鸣蜩绿暗，荷花落日红酣”描绘了一幅夏日傍晚绚丽多彩且富有生机的情景．将“荷花落日红酣”这六个字分别写在一个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“荷”字所在面相对面上的汉字是（   ） A．红 B．日 C．落 D．酣 【变式2】(24-25七上·陕西咸阳启迪中学·期中)将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体，若其相对面上两个数之和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·河南焦作博爱县·期中)如图是一个正方体的展开图，若在其中的三个正方形，，内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形，，的三个数依次为（   ） A．0，5， B．5，0， C．0，，5 D．0，5，3 题型十一 多边形对角线条数问题 解｜题｜技｜巧 重要结论：①从一个顶点出发的对角线的条数是n-3；②多边形对角线总条数； 【典例11】(24-25七上·青海西宁·月考)从一个多边形的任何一个顶点出发都只有4条对角线，则这个多边形的对角线共有 条． 【变式1】(24-25七上·山东泰安宁阳县第十二中学（五四制）·月考)边形过一个顶点的对角线有 条，则边形的对角线的条数为 ． 【变式2】(24-25七上·河南南阳励志中学·月考)某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 题型十二 用七巧板拼图形 【典例12】七巧板是中国劳动人民发明的一种智力玩具，被誉为“东方魔板”．如图是七巧板的示意图，图中与平行的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【变式1】(24-25九上·浙江绍兴新昌县南瑞实验学校·期中)如图1是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形（如图2、图3）．由5个同样大小的正方形组成的纸片（如图4），现要剪拼成一个大正方形，则需要在图4的纸片中最少剪（    ） A．1刀 B．2刀 C．3刀 D．4刀 【变式2】(23-24七下·广东深圳龙华区·期中)七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为 ． 题型十三 直线、线段、射线的联系与区别 解｜题｜技｜巧 ①直线：直线是没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。直线是轴对称图形。它有无数条对称轴，其中一条是它本身，还有所有与它垂直的直线（有无数条）对称轴。在平面上过不重合的两点有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。在球面上，过两点可以做无数条类似直线。 ②线段：线段是指两端都有端点，不可延伸的线。例如：公路、火车、铅笔、书本。在连接两点的所有线中，线段最短。简称为两点之间线段最短，所以三角形中两边之和大于第三边。 ③射线：射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线有且仅有一个端点，无法测量长度。直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点。射线只有一个端点，可以向一个方向无限延伸，不可以度量。 【典例13】(23-24七上·河北邯郸·期中)下列说法中，错误的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．在线段、射线、直线中，直线最长 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 【变式1】(24-25七上·四川简阳简城学区·期中)图中射线与表示同一条射线的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25六下·山东泰安泰山区泰安东岳中学·期中)如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．点在线段上 题型十四 画直线、射线、线段 【典例14】如图，已知三点A，B，C． (1)作图：画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“>”“<”或“=”），理由是__________． 【变式1】(24-25七上·河北石家庄长安区·期中)如图，有A、B、C、D四个点．使用直尺、圆规按下列要求画出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)在线段上，截取． 【变式2】(24-25七上·吉林长春赫行教育集团·期中)如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 题型十五 直线、线段、射线之间的数量问题 【典例15】(24-25七上·河北秦皇岛·期中)有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有5个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出多少个不同的长度（    ）    A．12 B．10 C．8 D．6 【变式1】(24-25七上·河南郑州郑东新区春华学校·期中)小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 【变式2】(24-25七上·北京海淀区·期中)、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 题型十六 与线段中点相关的计算 【典例16】(24-25七上·山东泰安·期中)如图，点C是的中点，D，E分别是线段，上的点，且，，若． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【变式1】(24-25六下·山东泰安宁阳县·期中)如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【变式2】(24-25七上·河北石家庄第五十四中学·期中)如图，在数轴上的点M表示的数为﹣2，在点M的右侧依次描有点A，B，C，D，N五个点，其中，且m、n满足，点A，C分别是线段的中点． (1)求数轴上点B、D、N所表示的数； (2)求线段的长． 题型十七 钟面角的认识 解｜题｜技｜巧 熟记一下的结论 ①时针一分钟转0.5度；②时针一小时转30度；③分针一分钟转6度。 【典例17】如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25六下·山东烟台蓬莱区·期中)每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 【变式3】(24-25七上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)在这一时刻，时钟上的时针和分针之间的夹角为 ． 题型十八 与方向角有关的计算 【典例18】(24-25七上·北京师范大学亚太实验学校·期中)如图，一艘船从A点出发先沿北偏东方向航行，到达B点时发现前方有冰山，紧急向左进行了的转弯，然后沿着方向航行，则 ． 【变式1】(23-24七下·广西钦州浦北县·期中)如图，李华同学从点沿北偏东的方向行走到点，再从点沿南偏西方向行走到点，则的大小为 ． 【变式2】(23-24七下·宁夏银川十中、十五中·期中)为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为，A处在B处的北偏东方向，C处在A处的南偏东方向，则行进路线和所在直线的夹角 ．    题型十九 角度的运算（计算题） 解｜题｜技｜巧 度分秒是角度的基本单位，它们的转换依据是：1度等于60分，1分等于60秒2。以下是度分秒转换成度的步骤： （1）提取度分秒值：首先，从给定的角度值中提取出度、分和秒的数值。 （2）将分转换为度：将分数除以60，得到该分对应的度数小数部分。 （3）将秒转换为度：将秒数除以3600，得到该秒对应的度数小数部分。 （4）求和：将上述得到的度数整数部分、分数转换得到的度数小数部分以及秒数转换得到的度数小数部分相加，即可得到最终的度数表示。 【典例19】(1) (2) 【变式1】(24-25六下·山东东营东营经济技术开发区东凯实验学校·期中)（1）； （2）． 【变式2】(23-24七上·贵州黔东南苗族侗族从江县从江县贯洞中学·期中)计算： (1)； (2)． 【变式3】(24-25七上·河北邯郸永年区·期中)计算： (1)； (2)． 题型二十 三角板中角度计算问题 【典例20】(24-25七上·重庆实验外国语学校·期中)如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，若为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25七上·甘肃张掖甘州区思源实验学校·期中)将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·山西吕梁交城县·期末)如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 题型二十一 几何图形中角度计算问题 【典例21】(24-25七上·山东泰安·期末)如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25七上·河北石家庄第五十四中学·期中)一副三角板与如图摆放，，平分，平分，则的度数为 ． 【变式2】(24-25七上·宁夏中卫第三中学·期末)如图，直线和相交于点O，，平分，，那么的度数是 ． 题型二十二 角平分线的相关计算 【典例22】(24-25七上·江西九江·期末)如图，已知直线、相交于点O，是射线，，且，求的度数． 【变式1】(23-24七上·黑龙江绥化海伦第三中学·期中)已知：如图OM，ON分别平分和， (1)若，若，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式2】(24-25六下·山东烟台招远（五四制）·期中)如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 题型二十三 余角和补角中相关计算 解｜题｜技｜巧 余角和补角是两个角之间的数量关系。 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。如果两个角的和等干180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 【典例23】如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 【变式1】(24-25七下·甘肃酒泉肃州区·期中)已知一个角比它的余角的倍多，则这个角的度数为 ． 【变式2】(24-25七上·河北石家庄第五十四中学·期中)如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 题型二十四 线段比较长度综合题型 【典例24】(24-25七上·北京市第一一六中学·期中)点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段的长为线段长的1.2倍．点C在数轴上，点C表示的数为x,M为线段的中点． (1)点B表示的数为 ； (2)若线段的长为4.5，则线段的长为 ； (3)若线段的长为x，求线段的长（用含x的式子表示）． 【变式1】如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【变式2】(24-25七上·安徽合肥五十中天鹅湖教育集团·期末)如图，点C在线段上，，，M，N分别是，的中点．    (1)求线段的长． (2)若C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜出的长度吗？请说明理由． (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别是，的中点，你能猜出的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 题型二十五 角的运算综合题型 【典例25】以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则_____； (2)如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系． 【变式1】(24-25六下·山东淄博张店区张店区科技苑中学·期中)（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则　 　cm； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则　 　度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 【变式2】(23-24七上·陕西渭南白水县·期末)【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的初步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 认识常见的立体图形及其分类 能够判别常见的立体图形，能够准确的进行分类 基础常考题，经常出现在选填题中 立体图形的视图 能够正确画出立体图形的三视图和已知三视图还原出立体图形。 高频考点，在选择题中出现在前三道，也在解答题中出现 求立体图形的表面积和体积 掌握立体图形的表面积和体积的计算方法，能够利用三视图计算立体计算的表面积 高频考点，经常出现在解答题中，结合立体图形的三视图进行考查 对平面图形的认识 掌握多边形并能够准确的对多边形进行分类，能正确的解决与多边形相关的问题 易考点，常出现在选填中 与线段有关的计算 掌握与线段和差有关系的计算，掌握与线段中点相关的计算 期中常考题，往往出现在解答题中 角的运算 掌握角度在三角板中，在几何图形中等等的应用 常考在解答题中，角的综合应用是考试的重点 知识点01 常见的立体图形 ①②所表示的立体图形叫做圆柱；④⑤所表示的立体图形叫做锥体；③所表示的立体图形叫做球体； 其中①表示的图形称为棱柱，②所表示的图形称为圆柱，④表示的图形称为圆锥，⑤表示的图形称为棱锥。 在棱柱和棱锥中，相邻两个面的交线叫做棱，两条棱的交点叫做顶点。 知识点02 投影、平行投影、中心投影 ①一般地，用光线照射物体在某个面（地面、墙面、幕布等）上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投射所在的面叫做投影面。 ②由平行光线形成的投影，叫做平行投影，例如物体在太阳光照射下形成的影子叫做平行投影。当投影线垂直于投影面时，产生的平行投影称为正投影。 ③由一点发出的光线形成的投影，叫做中心投影。例如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就可以看成是中心投影。 知识点03 立体图形的三视图 从正面观察得到的投影，称为主视图；从上面观察得到的投影，称为俯视图；从侧面观察得到的投影，称为侧视图，依观察（投影）方向不同，有左视图和右视图。通常将主视图、俯视图和左（或右）视图称为一个物体的三视图。 知识点04 平面图形 圆是由曲线围成的封闭图形，而其他由线段围成的封闭图形叫做多边形，按照组成多边形的边的条数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形...... 知识点05 直线、射线、线段 ①直线：直线是没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。直线是轴对称图形。生活中没有严格意义上无限延伸的直线。但数学上的数轴可以看做直线。 ②射线：射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线有且仅有一个端点，无法测量长度。 ③线段：线段是指两端都有端点，不可延伸的线。 ④两个基本事实：（1）两点之间线段最短；（2）两点确定一条直线。 ⑤把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中线。 知识点06 角的相关概念 ①绕射线的端点旋转到角的终边和始边成一条直线，这时所成的角叫做平角；第二种情况是绕着射线的端点旋转到终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。（如图所示） ②余角和补角 （1）两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。 （2）如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。 题型一 平面图形旋转后所得图形 【典例1】(24-25七上·辽宁沈阳·期中)图中的几何体可由平面图形旋转得到，这个平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，是基础题，准确识图是解题的关键． 观察图形，根据面动成体解答即可． 【详解】解：由图可知，几何体是由D选项平面图形沿虚线旋转一周得到． 故选：D． 【变式1】(24-25六下·黑龙江哈尔滨德强学校·期中)下面图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的认识及特点，灵活掌握圆锥的特点，是解答此题的关键． 根据一个直角三角形以一条直角边为轴，旋转一周，得到的图形是圆锥，据此解答即可． 【详解】解：一个直角三角形以一条直角边为轴，旋转一周，得到的图形是圆锥． 故选：． 【变式2】(24-25七上·陕西咸阳秦都区金山学校·期中)下列图形中，绕直线旋转一周所形成的立体图形是球的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，发挥自身的空间想象力是解题的关键． 由各选项中的平面图形旋转后所得的立体图形即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 绕直线旋转一周所形成的立体图形是球的是， 故选：． 题型二 几何图形的三视图（选填） 解｜题｜步｜骤 1.理解三视图的概念：三视图包括主视图、俯视图和左视图，它们分别是从正面、上面和左面观察物体所得到的视图。 2.分析题目给出的信息：首先，需要明确题目中给出的条件和要求。。 3.绘制或想象三视图：根据题目要求，可能需要自己绘制三视图，或者在脑海中想象出三视图的样子。在这个过程中，需要注意以下几点： 1.外部轮廓：指最大的外部边界，在视图中以实线画出。 2.细节特征：除了外部轮廓外，还需要注意立体图形上的投影图中的线条，这些线条表示物体的细节特征。实线表示可见的部分，虚线表示不可见的部分。 总结和反思：解题完成后，总结解题过程中的经验和教训，反思是否有更简单的方法或更准确的技巧。 【典例2】(24-25七上·甘肃兰州·期中)如图所示的几何体从左面看到的形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键，描述从左面看的图形，即可得到答案． 【详解】解：从左面看可以看到分为上下两层，其中间有一条虚线，下图符合题意； 故选：D． 【变式1】(24-25八下·海南东方部分学校·期中)如图1是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的定义，理解“从正面看几何体，所看到的视图是主视图．”，理解画图时是画轮廓线，看见的轮廓线线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】 解：从正面看到的平面图形是， 故选：C． 【变式2】(24-25七上·安徽淮北濉溪县·期中)如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此可得答案． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两个部分，上部分是一个较大长方形，下部分也是一个较小的长方形，即看到的图形如下： ， 故选：A． 题型三 几何图形的三视图（解答） 【典例3】(24-25七上·贵州贵阳·期中)6个完全相同的正方体组成如图所示的几何体，画出该几何体的主视图和左视图（画在所给的方格中）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画几何体的三视图，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．根据几何体的特征，分别画出从正面看和从左面看的图形，即可得出几何体的主视图和左视图． 【详解】解：如图所示，主视图和左视图即为所求： 【变式1】(24-25七上·宁夏银川永宁三沙源上游学校·期中)一个由几个相同的小立方体搭成的几何体从上面看到的图如图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数，请你在网格中画出这个几何体从三个方面看到的几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三视图； 由俯视图可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，4；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，4，2，据此可画出图形． 【详解】解：如图： 【变式2】(24-25七上·宁夏银川永宁三沙源上游学校·期中)在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．          【答案】画图见解析 【分析】本题考查了画三视图，根据图形画出三视图即可，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：画三视图如下： 【变式3】(24-25七上·广东深圳宝安区振兴学校·期中)如图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面看到的形状图，�小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画小立方体堆砌的几何体的三视图；主视图是从物体的正面看到的图形，左视图是从物体的左面看到的图形，据此作图即可． 【详解】解；如图所示，即为所求； 题型四 平行投影、中心投影、正投影 区｜别｜与｜联｜系 1.平行投影与中心投影：这两种投影方式的主要区别在于投影线是否相交。平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线则相交于一点。 2.正投影与斜投影：正投影和斜投影都属于平行投影的范畴，它们的区别在于投影线与投影面的关系。正投影的投影线垂直于投影面，而斜投影的投影线与投影面不垂直 【典例4】(24-25七上·辽宁沈阳·期中)有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 【答案】D 【分析】本题合考查了平行投影和中心投影的特点和规律，平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据平行投影和中心投影的特点和规律，结合题意可得平行投影和中心投影都可能出现这种情况． 【详解】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，平行投影和中心投影都可能出现这种情况，所以可能是平行投影也可能是中心投影． 故选：D． 【变式1】(24-25七上·陕西咸阳·期中)下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：A. 阳光下沙滩上人的影子，是平行投影； B. 晚上人走在路灯下的影子，是中心投影； C. 中午用来乘凉的树影，是平行投影； D. 阳光下旗杆的影子，是平行投影； 故选：B． 【变式2】(24-25九上·福建东盛教育集团·期中)如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：D． 题型五 已知三视图求侧面积或表面积 【典例5】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据可计算出该几何体的全面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出几何体是圆柱，求出圆柱的表面积即可． 【详解】解：由三视图可知，这个圆柱的底面直径为6，高为10， ∴圆柱的表面积 （）． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用几何体三视图求原几何体的表面积，掌握三视图与原几何体的关系是解题的关键． 【变式1】(24-25七上·山西运城实验中学·期中)图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则俯视图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由主视图和左视图的高相等，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】∵，，且主视图和左视图的高相等， ∴俯视图的长为 ，宽为， ∴． 故选：C. 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 【变式2】(23-24七上·甘肃兰州第十一中学·期中)如图是从一个几何体的正面、左面、上面看到的形状图，根据图中所示数据判断它是什么几何体，并求这个几何体的侧面积（结果保留π）． 【答案】这个几何体是圆柱体，侧面积是 【分析】本题考查从三个不同方向看几何体，根据从三个不同方向看的图形可知这个几何体是圆柱；根据圆柱的侧面积即为长方形面积，求解即可． 【详解】解：由从三个不同方向看的图形可得，这个几何体是圆柱体； ， ∴这个几何体的侧面积是． 【变式3】(24-25七上·安徽淮北部分学校·期末)已知一个几何体的三视图如图所示，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积． 【答案】侧面积为，体积为 【分析】本题考查由三视图判断几何体以及几何体的表面积、体积计算，根据三视图以及各部分的长度，可得出该组合体的形状，再根据表面积、体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据该组合体的三视图的形状可知， 该组合体为下面是长为，宽为，高为的长方体，上面是底面直径为，高为的圆柱体，所以该组合体的侧面积为： ， 体积为：. 题型六 小立方块堆砌图形的表面积 【典例6】如图中两个几何体都是由8个棱长为的小正方体搭成．那么这两个几何体中，表面积较大的这个几何体的表面积是( )． 【答案】 【分析】本题考查了正方形面积公式的应用． 利用数格子的方法再比较大小即可． 【详解】解∶第一个图形露在外面的面有 (个)， 第二个图形露在外面的面有 (个) ， ． 这两个几何体中表面积较大的是 ． 故答案为∶． 【变式1】(24-25七上·浙江杭州临平区·期中)如图，把个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体表面积．掌握立体图形的三视图是解题的关键．由立体图形可知，上表面共有8个正方形，下表面共有8个正方形，前表面共有7个正方形，后表面共有7个正方形，右表面共有8个正方形，左表面共有8个正方形，将各面积相加即可求解． 【详解】解：图中每一个正方形面积， ， 故选：D． 【变式2】(23-24七上·四川成都武侯区成都玉林中学·期中)如图所示，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为3cm正方体堆成的一个几何体．如果在这个几何体的表面（露出的部分）喷上黄色的漆，求这个几何体喷漆的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的表面积，正确确定小正方体露出面的面数，是解答本题的关键．由已知条件可知，从前面看，有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；从左面看，有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；从上面看，有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，据此即可作答． 【详解】解：露出的总面数为， 喷漆的面积为， 故答案为：． 题型七 由三视图判断小正方体的个数 解｜题｜技｜巧 ①首先，根据主视图，从左到右数出每列中的小正方形个数，并在俯视图中对应的列中标出； ②然后，根据左视图，从上到下数出每行中的小正方形个数，并在俯视图中对应的行中标出； ③接下来，取俯视图中每个小正方形内填入的两个数中较小的一个，再把它们相加，就可以得到小正方体的最少个数。同样，可以通过将俯视图中的数字相乘来得到小正方体的最多个数。 【典例7】由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【来源】2025年黑龙江省龙东地区九年级数学下学期中考一模试卷 【分析】本题主要考查对三视图掌握程度和灵活运用能力，从左视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：底层正方体最多有2个正方体，第二层最少有1个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最少有3个． 故选：A． 【变式1】(24-25九下·黑龙江齐齐哈尔克东县克东县第三中学·期中)用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由m个小立方体搭成，最多由n个小立方体搭成，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，最多情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有3个小立方块，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，图1是最少的一种情形下每个位置的小立方块数，图2是最多情形下每个位置的小立方块数， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】(23-24七上·贵州毕节大方县黄泥塘镇中学·期中)一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体至少是用 个小立方块搭成的.      【答案】9 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，应分别根据主视图、俯视图和左视图综合考虑几何体的形状，体现了对空间想象力的考查．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看至少有多少个小立方体，综合考虑即可解答本题． 【详解】解：根据主视图可得俯视图中第一列至少有3层，第二列至少有一处为2层，另一处1层，第三列均为1层， ∴该几何体至少用9个小立方块搭成的． 故答案为：9． 【变式3】(23-24七上·江西抚州东乡一中、黎川一中等四校·期中)桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有 个． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需最多正方体的个数． 【详解】解：依题意，观察主视图和左视图 则底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体， 所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有个． 故答案为： 题型八 由展开图计算几何体的表面积和体积 【典例8】一个半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，平行四边形的面积为：； 故答案为：． 【变式1】(24-25六上·山东淄博博山中学（五四制）·期中)如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 【变式2】(24-25七上·河北保定清苑区·期中)图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整； (2)如果正方体纸盒的棱长是2分米，求涂色部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12平方分米 【分析】本题考查了几何体的展开图，掌握立体和平面的关系及矩形的面积公式是解题的关键． （1）根据几何体的展开图求解； （2）根据矩形的面积公式求解． 【详解】（1）解：涂色部分补充如图： （2）解：（平方分米）， 答：涂色部分的面积为12平方分米． 【变式3】(24-25七上·辽宁凌海·期中)如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． (1)求该纸盒的表面积；（用x，y表示） (2)若时，求该纸盒的体积； (3)为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了几何体的体积和表面积公式，根据题意正确列式是解题的关键； （1）根据纸盒的表面积等于大正方形面积减去4个小正方形面积，计算即可； （2）根据长方体的公式解答即可； （3）如图由题意，，可推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意知：该纸盒的表面积为； （2）解：由题意知：该纸盒的体积为， 当时，， 该纸盒的体积为； （3）解：如图， 由题意得：， ， ， ． 题型九 正方体展开图的识别 解｜题｜技｜巧 常见的正方体展开图形 （1）“141”型6种：中间4个一连串，两边各一随便放 （2）“2-3-1”型3种：二三紧连错一个，三一相连一随便 （3）“2-2-2”型1种：两两相连各挪一 （4）“3-3”型1种： 【典例9】(24-25七上·山西晋中平遥县·期中)如图的四个平面图形中，不是正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图中，相对的面中间一定隔着一个面，且正方体展开图有“141”型，“132”型，“33”型，“222”型，没有“411”型，据此可得答案． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，四个选项中只有D选项中的展开图不是正方体的展开图， 故选：D． 【变式1】(24-25七上·山西晋中平遥县·期中)如图，A、B、C、D四个位置中的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的平面图形，其平面图形能拼成正方体的位置有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体．正方形B、C、D与实线部分的五个正方形组成的图形能围成正方体． 故其平面图形能拼成正方体的位置有3个． 故选：C． 【变式2】(24-25七上·山西运城平陆县多校联考·期中)张明在学习正方体展开图后，将正方体纸盒沿粗实线和粗虚线剪开，则展开后的平面图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是考查正方体的展开图，培养学生的观察能力、分析判断能力和空间想象能力． 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：沿题图剪开，展开后的图是 故选：D． 题型十 正方体相对面上的字 解｜题｜技｜巧 正方体的相对面判断可以通过以下口诀进行记忆和快速判断： 1.相邻不相对：这是最基本的判断原则，意思是说在正方体的展开图中，如果两个面在边上相邻，那么它们在正方体中就不是相对的面。 同层隔一面：在正方体的同一层中，如果两个面之间隔了一个面，那么这两个面就是相对的面。 2.异层隔两面：在正方体的不同层中，如果两个面之间隔了两个面，那么这两个面也是相对的面。 3.剩下两面必相对：在正方体的展开图中，如果有两个面既不在同一层，也不在异层中隔两面的位置，那么这两个面就是相对的面。 4.田七和凹要放弃：在判断正方体的相对面时，如果遇到田字形、7字形或凹形的展开图，这些通常不会构成正方体的正确展开图，因此可以直接放弃这些选项。 【典例10】如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折成正方体后，“我”字一面相对面的字是（   ） A．爱 B．大 C．慧 D．谷 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “爱”与“大”是相对面， “吉”与“慧”是相对面， “我”与“谷”是相对面． 故选：D． 【变式1】(2025·河南省南阳市·模拟)“柳叶鸣蜩绿暗，荷花落日红酣”描绘了一幅夏日傍晚绚丽多彩且富有生机的情景．将“荷花落日红酣”这六个字分别写在一个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“荷”字所在面相对面上的汉字是（   ） A．红 B．日 C．落 D．酣 【答案】A 【分析】此题考查了正方体相对面上的字，根据正方体相对面之间间隔一个正方形即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：与“荷”字所在面相对面上的汉字是“红”， 故选：A． 【变式2】(24-25七上·陕西咸阳启迪中学·期中)将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体，若其相对面上两个数之和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体的展开图，找出正方体的相对面是解题的关键． 利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和为，列出方程求出，， 的值，从而得到的值． 【详解】解：由题意得，，，， ∴，，， ∴， 故选：． 【变式2】(24-25七上·河南焦作博爱县·期中)如图是一个正方体的展开图，若在其中的三个正方形，，内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形，，的三个数依次为（   ） A．0，5， B．5，0， C．0，，5 D．0，5，3 【答案】A 【分析】本题考查正方形的展开图，以及相反数概念，解题的关键在于找出正方形展开图的相对面．根据正方形的展开图找出正方形，，的相对面，再结合相反数概念求解，即可解题． 【详解】解：由正方形的展开图可知， 与相对，与相对， 与相对， 因为折成正方体后相对面上的两个数互为相反数， 所以填入正方形，，的三个数依次为0，5，， 故选：A． 题型十一 多边形对角线条数问题 解｜题｜技｜巧 重要结论：①从一个顶点出发的对角线的条数是n-3；②多边形对角线总条数； 【典例11】(24-25七上·青海西宁·月考)从一个多边形的任何一个顶点出发都只有4条对角线，则这个多边形的对角线共有 条． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．先由n边形从一个顶点出发可引出条对角线，求出n的值，再根据n边形对角线的总条数为即可求出这个多边形所有对角线的条数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，由题意，得， 解得， 所以这个多边形共有对角线：． 故答案为：14． 【变式1】(24-25七上·山东泰安宁阳县第十二中学（五四制）·月考)边形过一个顶点的对角线有 条，则边形的对角线的条数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线的求法，边形过一个顶点的对角线有条，个顶点共有条对角线，其中有一半的对角线条数重复计算，除以即可求解，掌握过边形一个顶点有条对角线是解题的关键． 【详解】解：边形过一个顶点的对角线有条，则边形的对角线的条数为， 故答案为：，． 【变式2】(24-25七上·河南南阳励志中学·月考)某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【分析】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【详解】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 题型十二 用七巧板拼图形 【典例12】七巧板是中国劳动人民发明的一种智力玩具，被誉为“东方魔板”．如图是七巧板的示意图，图中与平行的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】本题考查了正方形，等腰直角三角形，平行四边形的性质，理解图示，掌握正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．根据图示可得四边形，四边形是正方形，是全等的等腰三角形，是全等的等腰直角三角形，根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：根据题意，四边形是正方形，对角线交于点，是全等的等腰直角三角形，是全等的等腰直角三角形，四边形是正方形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴与平行的直线共有2条， 故选：C ． 【变式1】(24-25九上·浙江绍兴新昌县南瑞实验学校·期中)如图1是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形（如图2、图3）．由5个同样大小的正方形组成的纸片（如图4），现要剪拼成一个大正方形，则需要在图4的纸片中最少剪（    ） A．1刀 B．2刀 C．3刀 D．4刀 【答案】B 【分析】根据网格的特点求解即可． 【详解】如图所示，由5个小正方形组成的十字形纸板如解图①所示剪开，使剪成的若干块能够拼成如解图②所示的一个大正方形，最少只需剪2刀． 故选：B． 【点睛】本题考查图形的拼剪，利用网格的特点是解题的关键． 【变式2】(23-24七下·广东深圳龙华区·期中)七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查七巧板，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系，是解题的关键． 根据七巧板中，各部分的面积关系，利用割补法求出面积即可． 【详解】由图形可知：图1是由大正方形中，这七部分组成的，图2是由这六部分组成的， ∴图2的面积等于图1的面积减去正方形A的面积， ∵，小等腰直角三角板M的面积为， 即：图2的面积 ； 故答案为：7． 题型十三 直线、线段、射线的联系与区别 解｜题｜技｜巧 ①直线：直线是没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。直线是轴对称图形。它有无数条对称轴，其中一条是它本身，还有所有与它垂直的直线（有无数条）对称轴。在平面上过不重合的两点有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。在球面上，过两点可以做无数条类似直线。 ②线段：线段是指两端都有端点，不可延伸的线。例如：公路、火车、铅笔、书本。在连接两点的所有线中，线段最短。简称为两点之间线段最短，所以三角形中两边之和大于第三边。 ③射线：射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线有且仅有一个端点，无法测量长度。直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点。射线只有一个端点，可以向一个方向无限延伸，不可以度量。 【典例13】(23-24七上·河北邯郸·期中)下列说法中，错误的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．在线段、射线、直线中，直线最长 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 【答案】B 【分析】本题考查的是直线、射线的含义，两点之间，线段最短，两点之间的距离，根据以上基础几何概念逐一判断即可． 【详解】解：两点之间，线段最短，正确；故选项A不符合题意； 在线段、射线、直线中，直线和射线无法度量长度，原说法错误，故选项B符合题意； 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确，故选项C不符合题意； 两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离，正确，故选项D符合题意； 故选：B 【变式1】(24-25七上·四川简阳简城学区·期中)图中射线与表示同一条射线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了射线，根据射线的端点相同，方向相同的两条射线是同一条射线，可得答案． 【详解】解：A、方向相反，不是同一条射线，故本选项错误； B、端点相同，方向相同，是同一条射线，故本选项正确； C、方向相反，不是同一条射线，故本选项错误； D、方向不同，不是同一条射线，故本选项错误； 故选：B． 【变式2】(24-25六下·山东泰安泰山区泰安东岳中学·期中)如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．点在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的定义．根据直线，射线，线段的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．直线和直线是同一条直线，故本选项错误，不符合题意； B．直线没有端点，故本选项错误，不符合题意； C．射线和射线是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； D．点在线段上，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 题型十四 画直线、射线、线段 【典例14】如图，已知三点A，B，C． (1)作图：画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“>”“<”或“=”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)>；两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段、射线、直线的作图以及线段大小比较的原理，解题的关键是掌握三种线的作图方法和理解两点之间线段最短这一基本原理． 明确线段、射线、直线的作图要求并进行作图； 根据两点之间线段最短的原理比较线段大小． 【详解】（1）画线段：用直尺连接点A和点B，线段有两个端点A和B ，长度是固定的， 画射线：以A为端点，向C的方向无限延伸画出射线，射线有一个端点，向一端无限延伸， 画直线：用直尺经过点B和点C向两端无限延伸画出直线，直线没有端点，向两端无限延伸， 如图： （2）因为A，B两点之间，线段是最短路径．而表示从经过到的路径长度，根据两点之间，线段最短，所以． 故答案为：>；两点之间，线段最短． 【变式1】(24-25七上·河北石家庄长安区·期中)如图，有A、B、C、D四个点．使用直尺、圆规按下列要求画出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)在线段上，截取． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画直线、射线、线段，截取线段等于已知线段． （1）依据直线、射线、线段的定义，画出图形即可． （2）依据题意，连接画图即可． （3）依据题意，在线段上截取即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段，射线，直线即为所作； （2）如图所示，连接，与直线交于点E即为所作； （3）如图所示，线段即为所作． 【变式2】(24-25七上·吉林长春赫行教育集团·期中)如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 【答案】(1)见解析 (2)；两点之间线段最短 【分析】本题考查了画线段、直线、射线；两点之间线段最短，掌握线段、射线、直线的特点是解题的关键． （1）根据线段、直线和射线的定义即可画出图形； （2）根据两点之间线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，线段、射线、直线，即为所求； （2）解：根据两点之间线段最短得． 故答案为：，两点之间线段最短． 题型十五 直线、线段、射线之间的数量问题 【典例15】(24-25七上·河北秦皇岛·期中)有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有5个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出多少个不同的长度（    ）    A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的计数问题，找出不同长度的线段即可． 【详解】解：用这把直尺能直接量出的线段有：1厘米，3厘米，7厘米，10厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米， 所以用这把直尺能直接量出8个不同的长度． 故选C． 【变式1】(24-25七上·河南郑州郑东新区春华学校·期中)小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 【答案】 45种 90种 【分析】本题考查了线段数量的问题，掌握线段的计数方法是解题的关键．先求出线段的条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，即可求解． 【详解】解：根据题意，相当于一条直线上有10个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：(种)． 故答案为：45种； 有多少种车票是要考虑顺序的，则有(种)． 故答案为：90种． 【变式2】(24-25七上·北京海淀区·期中)、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 【答案】 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是理解题意． （1）根据题中的连线规则解答即可； （2）根据题意分情况讨论：①若连接，②若连接，③若连接，即可求解． 【详解】解：（1） 、两点之间已有一条线段，、、之间已有两条线段， 、不可以连接， 可与、各连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 还可以与连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 不能再与其他点连接， 而与已连接， 也不可再连接， 为最后一个点，也没有可连接的点， 共（种）， 故答案为：； （2）①若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接，、可以连接， 可以连接，，共条； ②若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 可以连接，共条； ③若连接，则同①还可以连接、，则、不可连接， 可以连接，，共条； 综上所述，最多可以增加条线段， 故答案为：． 题型十六 与线段中点相关的计算 【典例16】(24-25七上·山东泰安·期中)如图，点C是的中点，D，E分别是线段，上的点，且，，若． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差倍分； （1）由线段中点的含义可得，，进一步可得答案； （2）求解，结合，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴. 【变式1】(24-25六下·山东泰安宁阳县·期中)如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】本题主要考查线段的和差，熟练掌握中点的定义是解题的关键． （1）根据题意得到，即可得到答案； （2）由题意求出，即可得到答案． 【详解】（1）解： ，， ， 点M是的中点， ； （2）解：如图： ， ， ． 【变式2】(24-25七上·河北石家庄第五十四中学·期中)如图，在数轴上的点M表示的数为﹣2，在点M的右侧依次描有点A，B，C，D，N五个点，其中，且m、n满足，点A，C分别是线段的中点． (1)求数轴上点B、D、N所表示的数； (2)求线段的长． 【答案】(1)数轴上点B、D、N所表示的数分别是0，6，8 (2)3 【分析】本题考查了数轴，非负数，解题的关键是掌握数轴知识和非负数的性质． （1）利用数轴知识和非负数的性质解答 （2）利用数轴和有理数的运算法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ∵点M表示的数为， ∴， ∴点N表示的数为8，点D表示的数是6， ∴，点B表示的数是0， 答：数轴上点B、D、N所表示的数分别是0，6，8； （2）由（1）得， ∵点A，C分别是线段的中点，点M表示的数为，点B表示的数是0， ∴， ∴点C表示的数为2，点A表示的数是， ∴， 答：线段的长是3． 题型十七 钟面角的认识 解｜题｜技｜巧 熟记一下的结论 ①时针一分钟转0.5度；②时针一小时转30度；③分针一分钟转6度。 【典例17】如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键． 6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为进行求解即可． 【详解】解：， 6点20分，时针和分针中间相差个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：C． 【变式2】(24-25六下·山东烟台蓬莱区·期中)每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 【答案】/165度 【分析】本题考查钟面角，钟面上一大格是30度，中午11点30分时，时针在11和12中间，分针指向6，时针与分针所夹角（小于平角）占5.5个大格，由此可解． 【详解】解：， 时针与分针所夹角（小于平角）的度数为， 故答案为：． 【变式3】(24-25七上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)在这一时刻，时钟上的时针和分针之间的夹角为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了钟面角，利用钟表表盘的特征：钟表上个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，即可求解． 【详解】解：点分，时针和分针中间相差个大格． 钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 点分分针与时针的夹角是． 故答案为：． 题型十八 与方向角有关的计算 【典例18】(24-25七上·北京师范大学亚太实验学校·期中)如图，一艘船从A点出发先沿北偏东方向航行，到达B点时发现前方有冰山，紧急向左进行了的转弯，然后沿着方向航行，则 ． 【答案】 【分析】本题考查方向角、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识的．利用平行线的性质求得即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】(23-24七下·广西钦州浦北县·期中)如图，李华同学从点沿北偏东的方向行走到点，再从点沿南偏西方向行走到点，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方位角．画图正确表示出方位角，利用角的和与差计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 故答案是：40． 【变式2】(23-24七下·宁夏银川十中、十五中·期中)为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为，A处在B处的北偏东方向，C处在A处的南偏东方向，则行进路线和所在直线的夹角 ．    【答案】/60度 【分析】本题主要考查了方向角的定义，正确理解定义是解题的关键．根据方向角的定义，即可求得，，的度数，即可求解． 【详解】解：如图，   ，是正南正北方向， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十九 角度的运算（计算题） 解｜题｜技｜巧 度分秒是角度的基本单位，它们的转换依据是：1度等于60分，1分等于60秒2。以下是度分秒转换成度的步骤： （1）提取度分秒值：首先，从给定的角度值中提取出度、分和秒的数值。 （2）将分转换为度：将分数除以60，得到该分对应的度数小数部分。 （3）将秒转换为度：将秒数除以3600，得到该秒对应的度数小数部分。 （4）求和：将上述得到的度数整数部分、分数转换得到的度数小数部分以及秒数转换得到的度数小数部分相加，即可得到最终的度数表示。 【典例19】(1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的运算，掌握角度是60进制和相关运算法则是解题的关键． （1）根据角度是60进制和角度的加减运算求解即可． （2）根据角度是60进制和角度的乘法运算求解即可． 【详解】（1） （2） 【变式1】(24-25六下·山东东营东营经济技术开发区东凯实验学校·期中)（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式2】(23-24七上·贵州黔东南苗族侗族从江县从江县贯洞中学·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： = =． （2）解： = =． 【变式3】(24-25七上·河北邯郸永年区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了度分秒的计算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 题型二十 三角板中角度计算问题 【典例20】(24-25七上·重庆实验外国语学校·期中)如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，若为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题的关键．设，则，得到，则，解得，再利用为的角平分线，求得，即可求出的度数． 【详解】设， ， ， 由题意可知，， ， ， 解得， ， 为的角平分线， ， ． 故选：． 【变式1】(24-25七上·甘肃张掖甘州区思源实验学校·期中)将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，理解三角板的性质是解题的关键；由题意可得，再结合，即可得出的度数． 【详解】解：依题意，结合图形，得， ∵， ∴， 故选：C 【变式2】(24-25七上·山西吕梁交城县·期末)如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，利用三角板中的角度和差关系先求出，进而求出即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 题型二十一 几何图形中角度计算问题 【典例21】(24-25七上·山东泰安·期末)如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差计算，邻补角互补求角度等知识点． 先由求出，再根据角平分线求出，最后根据邻补角求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】(24-25七上·河北石家庄第五十四中学·期中)一副三角板与如图摆放，，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差，角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线的定义分别表示出∠，再根据角之间的关系求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】(24-25七上·宁夏中卫第三中学·期末)如图，直线和相交于点O，，平分，，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角性质，掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线的定义求出的度数，的度数即可求得． 【详解】平分， ， ， ， ． 故答案为：． 题型二十二 角平分线的相关计算 【典例22】(24-25七上·江西九江·期末)如图，已知直线、相交于点O，是射线，，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角度计算、角的和差，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．由可得，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】(23-24七上·黑龙江绥化海伦第三中学·期中)已知：如图OM，ON分别平分和， (1)若，若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，根据图形理清角之间的和差关系是解题的关键． （1）由角平分线的定义，求出，再由求解； （2）由题得，再利用角平分线的定义，结合求解； 【详解】（1）平分，， ， 平分，， ， ． （2）由题知，， 平分，平分， ，， ， ， ． 【变式2】(24-25六下·山东烟台招远（五四制）·期中)如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）先根据角平分线定义得到，，再求出； （2）先根据角平分线定义得到，再求出，然后根据角平分线定义得出． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 题型二十三 余角和补角中相关计算 解｜题｜技｜巧 余角和补角是两个角之间的数量关系。 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。如果两个角的和等干180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 【典例23】如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两角互余及互补的定义．利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 的余角为：，的补角为：， 故答案为：，． 【变式1】(24-25七下·甘肃酒泉肃州区·期中)已知一个角比它的余角的倍多，则这个角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角的定义，一元一次方程的应用，设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为，再由这个角比它的余角的3倍多列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为． 故答案为：． 【变式2】(24-25七上·河北石家庄第五十四中学·期中)如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1) (2)65° 【分析】此题主要考查了互为余角的定义，角平分线的定义，角度的计算，理解互为余角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据互为余角的定义求出α的余角的度数即可； （2）依题意得画出图形，先求出，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：当时， α的余角的度数为：； （2）如图所示： ∵， ∴， ∵射线平分， ∴ 题型二十四 线段比较长度综合题型 【典例24】(24-25七上·北京市第一一六中学·期中)点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段的长为线段长的1.2倍．点C在数轴上，点C表示的数为x,M为线段的中点． (1)点B表示的数为 ； (2)若线段的长为4.5，则线段的长为 ； (3)若线段的长为x，求线段的长（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2)2或16 (3)线段的长为：或或 【分析】本题考查了列代数式、数轴，解决本题的关键是用数轴表示两点之间的距离． （1）首先根据的长求出的长，即可得出的长，然后根据点的位置，即可得出点{B}表示的数； （2）需分两种情况进行求解：点C在原点的左侧和右侧，求出和的长，即可得出的长； （3）需分4两种情况进行求解：点在点右侧点，在线段上，当点C在线段上，当点在点的左侧时，求出和的长，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵点表示的数为5，线段的长为线段长的1.2倍， ， ， 点B表示的数为， 故答案为-1； （2）∵， ∴（点在原点右侧） 或（点在原点左侧） ∵为线段的中点 ∴或 ∴（点C在原点右侧） 或（点在原点左侧） ∴线段的长为2或16． 故答案为2或16； （3）当， 点在点右侧， ∴ ∴； 点在线段上， ∴ ∴； 当点C在线段上时，， ∴， ； 当点在点的左侧时， ， ∴， ∴； 答：线段的长为：或或． 【变式1】如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握列代数式，注意分类讨论是解题的关键． （1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 【变式2】(24-25七上·安徽合肥五十中天鹅湖教育集团·期末)如图，点C在线段上，，，M，N分别是，的中点．    (1)求线段的长． (2)若C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜出的长度吗？请说明理由． (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别是，的中点，你能猜出的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查线段和差运算和线段中点的计算： （1）根据题意求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （2）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （3）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； 【详解】（1）解：∵，，M，N分别是，的中点， ∴，， 则； （2）解：设，， ∵M，N分别是，的中点． ∴，， 则； （3）解：设，根据题意得，如图，    ∵点C在线段的延长线上，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． 题型二十五 角的运算综合题型 【典例25】以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则_____； (2)如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角，角平分线的定义，熟练掌握余角，角平分线的定义，分情况讨论是解题关键． （1）根据两个角互为余角，求出的度数； （2）①根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出； ②根据角的和差关系求出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵恰好平分 ∴， ∴； ②与之间的数量关系为：； ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 【变式1】(24-25六下·山东淄博张店区张店区科技苑中学·期中)（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则　 　cm； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则　 　度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 【答案】（1）①16；②不变，的长度始终等于 （2）①90；②，理由见解析 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①先求，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可；②设，则，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义可得：，，，， ①由，可得，即可求解； ②设，则，结合，即可求解． 【详解】解：（1）① ，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， 故答案为：； ②不变，的长度始终等于， 设， ， ， 点和点分别是，的中点， ，， ； （2）设，， 射线和射线分别平分和， ，，，， ① ，， ，即， ， ； 故答案为：； ②，和之间的数量关系是：，理由如下： 设， 则， ， ， ． 【变式2】(23-24七上·陕西渭南白水县·期末)【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角的平分线，角的和差计算即可． （2）根据角的平分线，角的和差计算即可． （3）由，设，则，根据角的平分线，角的和差计算即可． 本题考查了角的和差计算，角的平分线，熟练掌握角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ． 又∵平分，平分， ． ， ； （2）解：∵，， ． 故， ∴， 又∵平分， ． ． （3）解：由， 设，则 ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $