第2章 专题特训四 规律探索-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第2章整式及其加减 专题特训四 规律探索 类型一数字变化规律 1已如下列一组数：1，兰；3房…用代数式表示第a为正黎数个数为 A级号 2m-1 B. 2m+1 C.3n-2 D 21+1 2.按一定规律排列的一列数依次为2，一5,10，一17,26，….按此规律排列下去，这列数中的第n(n 为正整数)个数是 三22世丹江术灯爬察下列合数：一，一7一0按此载#排列第aa为壁数) 个数为 4.[2026合肥期中]观察下面的数阵，完成下列问题. 第1行：1 第2行：一23一4 第3行：5-67-89 第4行：-1011-1213-1415-16 … (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 (用含n的式子表示，为正整数). (2)计算第5行所有数的和. (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和. 类型二等式变化规律 5.[2026深圳段考]观察下列各式：32-12=8=8×1；52-32=16=8×2；72-52=24=8×3；92 7=32=8X4…根据以上规律，第n(n为正整数)个等式应为 () A.(2n+1)2-(2n-1)2=8n B.(2n+1)2-(2n-1)2=4n C.(n+2)2-n2=4n+4 D.(2n+3)2-(2m+1)2=8n+8 6.观察以下等式： 第1个等式号+宁第2个等式：号=+第3个等式号+品第1个等式：号计 第5个等式号+ 按照以上规律，解答下面的问题： (1)写出第6个等式： (2)写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： （用含n的等式表示). 45 拔尖特训·数学（华师版）七年级上 类型三图形变化规律 7.★[2026甘南期末]现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第n(n为正整数)个图案中的黑子 共有 () A.(3n-1)枚 B.4n枚 C.(3n+1)枚 D.(4+3m)枚 第1个 第2个 第3个 (第7题)》 (第8题) 8.如图所示的图案是用长度相同的小棒按一定规律拼搭而成的，第1个图案需用8根小棒，第2个 图案需用15根小棒，第3个图案需用22根小棒…照此规律拼搭下去. (1)第7个图案需用 根小棒」 (2)第n(n为正整数)个图案需用的小棒的根数为 (用含n的代数式表示). 9.如图所示为一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案中有4个等 边三角形，第2个图案中有7个等边三角形，第3个图案中有10个等边三角形…照此规律摆 下去 (1)第5个图案中有 个等边三角形 (2)第n(n为正整数)个图案中有 个等边三角形（用含n的代数式表示）. XKXXXK- 第1个 第2个 第3个 (第9题) 10.如图所示为用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规 律，解答下面的问题 (1)摆成图案①需要 枚棋子，摆成图案②需要 枚棋子，摆成图案@(n为正整 数)需要 枚棋子 (2)七年级(1)班有46名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这46枚“棋子”按照以上规 律恰好站成一个“上”字？若能，请问：能站成图案几？并计算最下面一“横”的学生人数.若不 能，请说明理由。 … ①②③ ④ ⑤ (第10题) 46 >“答案与解析”见D19号-5x-2x+2. 5.因为关于x,y的多项式一x2y3-10.xm+1y3一xy+ 9x一3是七次五项式，所以m+1十3=7.所以m=3.又因 为n是五次项一x2y3的系数，所以n=一1. 6.C整式是单项式与多项式的统称，整式中每一项的分 母中都不含字母，对题中各代数式判断如下：x2十5是多项 式，属于整式：一5x2十6是多项式，属于整式：π是单独的 数，属于单项式，是整式：分母含字母，不是整式： 。+日中的日分母含字母，不是整式：7×10是单独的 数，属于单项式，是整式；3ab是单项式，属于整式.综上所 述，整式共有5个 7.D将该多项式按字母a的降幂排列是指将各项按a的 指数从大到小排列，不含a的项排在末尾.各项中a的指 数分别如下：7b中不含字母a,3a3b2中a的指数为3， -5a2b3中a的指数为2，一4a中a的指数为1，所以按字 母a的降幂排列为3a362-5a2b3-4a十7b. 8.C对于A,当a=0时，该多项式不是二次多项式，故A 不符合题意；对于B,四次多项式是指多项式中次数最高项 的次数为4，故B不符合题意；对于C,一ab,一x都是单项 式，也都是整式，故C符合题意；对于D,一4ab,3ab,一5 是多项式一4a2b十3ab-5中的项，故D不符合题意. 易错警示 对多项式的概念理解不透彻而致错 1.多项式的每一项都包含它前面的符号」 2.多项式的次数是指次数最高项的次数，而不是指 所有项的次数和. 9.D因为关于x,y的多项式3x"y2+(n十3)x2y+ 2x十1的次数是4，共有三项，所以m+2=4,n十3=0.所 以m=2,n=一3.所以mn=2X(一3)=一6. 10.7或6因为多项式x7y2-3x"1y3十xm-y十x3y 是按x的降幂排列的，且x的指数各不相同，所以m一1一 6,m-2=5或m-1=6,m一2=4或m-1=5,m-2=4. 当m-1=6,m-2=5时，m=7:当m-1=6,m-2=4 时，m的值矛盾，舍去；当m一1=5，m一2=4时，m=6.所 以整数m的值为7或6. 11.因为关于x的多项式3x-(m十7)x3+(n-1)x2 5x十3中不含x3项和x2项，所以m十7=0，n一1=0.所 以m=-7,n=1.所以m+2m=-7+2×1=-5. 12.(1)四；四.当m=1时，该多项式为5x2y2+xy 4r十1，共四项.次数最高项为号y,次数为4，故该多 0 项式的次数为4.所以当=1时，该多项式为四次四项式， (2)3。根据题意，得该多项式各项的次数如下：5x'y 的次数为m十1十2=m十3.因为m是自然数，所以m+ 3的最小值为3.xy的次数为2.一4x3的次数为3.常数项 1的次数为0.所以该多项式的次数最小是3.(3)由题 意，得m十1十2=8,2n十m一3=8.所以m=5,n=3.所以 (-m)3+2m=(-5)3+2×3=-125+6=-119. 13.C由题意，得m>1,m十n=4,且m,n为正整数.所 以m=2,n=2或m=3,n=1.当m=2,n=2时， (-n)"=(-2)2=4;当m=3,n=1时，（-n)"= (一1)3=-1.综上所述，(-n)"的值为-1或4. 14.(1)因为关于x的整式是单项式，所以|k|一3=0且 k一3=0，易得k=3.所以k的值为3.(2)因为关于x的 整式是二次多项式，所以k一3=0且k一3≠0，易得k= 一3.所以k的值为一3.(3)因为关于x的整式是二项 式，所以①k一3=0且k一3≠0，易得k=一3：②k=0: ③k一3=0且k一3不为0，矛盾，不成立.所以k的值为 一3或0. 专题特训四规律探索 1.B因为1=2X1-1,3-2×2-152×3-1 124=291 32，…, 所以第(n为正整数)个数为21一」 n2· 2.(一1)+1·(n2+1)由题可知，第1个数为2= (-1)1+1×(1+1),第2个数为-5=(-1)2+1×(22+1)， 第3个数为10=（一1）3+1×(32+1)，第4个数为一17= (-1)1+1×(42+1),第5个数为26=(-1)+1×(5+ 1)…所以这列数中的第n(n为正整数)个数是（一1）+1· (n2+1). 3(一·+观察-日号-=一0品 ,可知这列数符号交替出现，且第n(m为正整 9 数)个数的符号为（一1）”；分子依次为1,3,5,7,9，…，为连 续的奇数，即分子为2m一1；分母依次为2,5,10,17,26，…， 即为n十1所以第n个数为(-1).2二 n2+1 4.(1)(21一1)：（一1）+1·n2.观察数阵，可知第1行有 2×1-1=1(个)数，第2行有2×2-1=3（个）数，第3行 有2×3一1=5（个）数，第4行有2×4一1=7（个）数…则 第n(n为正整数)行有(2n一1)个数.第1行的数为1= (一1)+1×1，第2行最右边的数为一4=（一1）2+1×22，第 3行最右边的数为9=（一1）3+1×3，第4行最右边的数为 一16=（一1）1+1×4…则第n行最右边的数为 19 (-1)+1·n2.(2)第5行的9个数为17，一18,19，-20， 21,-22,23,-24,25,它们的和为(17-18)+(19-20)+ (21一22)+(23-24)+25=(-1)×4+25=21.(3)由 (1)可知，2025位于第45行，该行共有89个数，前88个数 分成44组，每组的和为一1，所以该行所有数的和为44× (-1)+2025=1981. 5.A观察可得等式左边底数的规律：第n(n为正整数)个 等式中，第一个底数为21十1，第二个底数为2n一1；观察 可得等式右边得数的规律：第n(n为正整数)个等式中得 数为8n,则第n个等式为(2n十1)2-(2n一1)2=8. 6.D启=名+第1个等式：号=}+子，即 是-=+☆：第2个等式：号=合+日，即 2 2×2=3+2及3：第3个等式：号-号+，即 2 1 2 2X3号十议：第4个等式：号=+0，即 2×与子+☆7：第5个等式：号-号+石，即 2 1 1 2 2×5-=行十X9…按照以上规律，第6个等式： 1 2x与=古+脚品-吉+ 21 2 .(2)2m== 1+1 nn(2n-1) 根据(1)可知，第n(n为正整数)个等式 7.C依题意，得第1个图案中的黑子有4十0×3=4（枚）； 第2个图案中的黑子有4十1×3=7（枚）：第3个图案中的 黑子有4十2×3=10（枚）…第n(n为正整数)个图案中 的黑子有4+(n-1)×3=4+3n-3=(3+1)枚. 方法归纳 图形变换规律的探究方法 根据图形提供的信息探索规律，归根结底还是数字 变化问题，解决这类问题要认真观察，首先要从简单图 形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，图形在数量 上的变化规律，从而得出一般性的结论，进而用字母表 示出这个一般性的结论 8.(1)50观察可知，第1个图案需用8根小棒，8=7× 1+1,第2个图案需用15根小棒，15=7×2+1，第3个图 案需用22根小棒，22=7×3十1…所以第7个图案需用 的小棒的根数为7×7十1=50.(2)7n+1由(1)可知， 第n(n为正整数)个图案需用的小棒的根数为7m十1. 9.(1)16第1个图案中有4个等边三角形，即4=3× 1+1,第2个图案中有7个等边三角形，即7=3×2+1，第 3个图案中有10个等边三角形，即10=3×3+1…照此 D 规律，第5个图案中有3×5+1=16（个）等边三角形， (2)(3n十1)由(1)可知，第n(n为正整数)个图案中有 (3m十1)个等边三角形. 10.(1)6:10:(4n+2).由题意，得图案①需要6枚棋子， 图案②需要10枚棋于.因为图案①需要1×4十2=6（枚）棋 子，图案②需要2×4+2=10（枚）棋子，图案③需要3×4+ 2=14(枚)棋子，图案④需要4×4十2=18（枚）棋子，所以 可以推出图案@需要n×4+2=(4n+2)枚棋子. (2)能.令4十2=46，可得n=11.根据图案①最下面的一 “横”需要3枚棋子，图案②最下面的一“横”需要5枚棋子， 图案③最下面的一“横”需要7枚棋子，图案④最下面的一 “横”需要9枚棋子，可以推出图案⑦最下面的一“横”需要 (2n十1)枚棋于.所以图案①最下面的一“横”需要2×11十1= 23(枚)棋于.所以能站成图案①，最下面一“横”的学生人数 为23. 2.4整式的加减 第1课时同类项及合并同类项 1.B所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫 做同类项.A.3xy与3x2y所含字母相同，但x的指数分 别为1和2，不相同，不是同类项，不符合题意：B.一2a2b 与ba所含字母都是a,ba的指数都是2，b的指数都是 1,是同类项，符合题意；C.5x与5y所含字母不同，不是同 类项，不符合题意；D.4x3与4x2所含字母相同，但x的指 数分别为3和2，不相同，不是同类项，不符合题意. 方法归纳 同类项的判断方法 辨别同类项要把握准“两相同，两无关”.“两相同”： ①所含字母相同；②相同字母的指数相同.“两无关”： ①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序 无关 2.B对于选项A,2a与2b所含宇母不同，不是同类项， 不能合并，选项A运算结果错误；对于选项B,一m一 3m=(一1一3)m=一4m,选项B运算结果正确；对于选 项C,5ab与5ab2不是同类项，不能合并，选项C运算结 果错误；对于选项D,6y一4xy=（6-4)xy=2xy≠2，选 项D运算结果错误 3.C根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得 的结果作为和的系数，宇字母和宇母的指数保持不变，结合 选项即可得出答案.2x2-5x十x2-4x十5=(2x2十x2)+ (一5x一4x)十5=3x2一9x十5，结果是二次三项式 42-1因为单项式号xy与-2xy是同类项， 20