第2章 整式及其加减 章节拔尖攻略-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第2章 整式及其加减 ]高频考点突破 考点一列代数式 典例1某商品的进价为αa元/件，销售时每 件商品加价20元，在促销活动中每件商品 又降价5，则该商品的实际售价是( A.1-）a+20)元/件 R.《1-3》a+20元/件 C.(侣a+20)元/件 D.日a-20)元/件 分析 根据题意，找出售价与进价之间的关系 即可， 解答：加价后的价格为（α十20）元/件.因为 促销时每件在加价后的价格基础上降价5， 所以实际售价为 1-)a+20)元/件 故选A. 小结 销售问题中常见的词语“成本”“进价”“利 润”“售价”“打n折”，厘清它们之间的关系是解 题的关键 对应练习 1.某品牌智能手机原每台售价为m元，现 打9折，再让利n元，那么该手机现在每 台的售价为 A.(gm-n)元B.(品mn元 C.(9m-n)元 D.(9n-m)元 聚焦高频考点，各个击破 考点二 单项式的有关概念 典例2[2026毫州期中]单项式2πxy的 3 系数和次数分别是 B. 32 C. D. 分析 根据单项式的系数与次数的概念即可得到 答案 解答：单项 2πxy的系数与次数分别是 3 6.故选B 4π 小结 “π”是数不是字母，所以它在单项式系数中 2是数，不是字母.所以2的次数不算在单项式 的次数中 对应练习 2.单项式 元xy的系数是 ,次 5 数是 考点三 多项式的有关慨念 典例3多项式xm+1y2-(m-1)x十8是关 于x,y的四次三项式，则m的值是() A.-1 B.1 C.1或-1 D.2 分析 由多项式是四次三项式，列式可得结果 解答：因为多项式xm+1y2-(m一1)x十8 是关于x,y的四次三项式，所以|m|十1十 9 数学（沪科版）七年级上 2=4,-(m-1)≠0，即m=一1.故选A. 小结 多项式中含有单项式的个数即为多项式的 项数，本题是一个三项式，所以每个单项式的系 数都不为0. 对应练习 3.已知多项式2x十(2一k)x一3是关于 x的二次三项式，则k的值为 考点四代数式的值 典例4按如图所示的运算程序，若输入m 的值是一2，则输出结果为 是 -2m+3 输入m m≥0 输出结果 香，2m-1 (典例4图) A. -1 B.3 C.-5 D.7 分析 根据m=一2<0，把m=-2代入2m一 即可求解， 解答：因为m=一2<0，所以将m=一2代入 2m-1,得2×(-2)-1=-5.故选C. 小结 程序运算问题的关键是看清输入值的范围， 代入对应的代数式，才能准确求值 对应练习， 4.按如图所示的运算程序，若输入a=一1， b=2,则输出结果为 (a-b) 输入a,b a≤ 输出结果 否 a'tb" (第4题) A.1 B.3 C.5 D.9 10 考点五规律探究题 典例5[2025青海中考]如图所示为某种地 毯图案的形成过程.按此规律下去，第⑥个 图案中涂色三角形的个数是 ② ③ ④ (典例5图) 分析 找出图形的变化规律，即可得出答案！ 解答：第①个图案中有1个涂色三角形，第 ②个图案中有3=3（个）涂色三角形，第③ 个图案中有32=9（个）涂色三角形，第④个 图案中有33=27（个）涂色三角形，…，按此 规律，第①个图案中有3”-1个涂色三角形， 所以第⑥个图案中有35=243（个）涂色三 角形 小结 图形规律题先观察图形如何变化，再确定 “变化部分”与其对应序号之间的关系，并用含 (n为正整数)的代数式表示出来，然后验证猜想 是否正确。 典例6[2026淮北期未]观察下列等式： 第1个等式：X1X2X3=1: 第2个等式：6×2×3×5=12+2； 第3个等式：6×3×4×7=1+2+3； 第4个等式：6×4×5×9=12+22+32+4； (1)写出第5个等式： (2)试猜想第n个等式（用含n的式子表示）， 分析 (1)观察所给等式，分别从等式左边和右 边的式子结构特征分析.(2)结合(1)中发现的 规律即可解决问题 解答：(1) ×5×6×11=12+22+32+ 6 42+52」 (2)第m个等式可表示为a(m+1D(2+ 1)=12+22+32+…+n2. 小结 数字类规律一般分为两类，一类是每个数与 序号有关系；另一类是循环类，即几个数循环出 现.因此解决数字类规律探究问题，一般是先求 出前几个数，再观察其中蕴含的规律，若和序号 有关，则第n个数用含n的式子表示；若是循环 类，则用n除以循环出现的数的个数，找出余数 即可找到对应的结果， 对应练习， 5.[2024青海中考]如图所示为由火柴棒摆 成的图案，按此规律摆放，第7个图案要 用火柴棒的根数为 第1个图案 第2个图案 第3个图案 (第5题) 6.[2026六安裕安期末]观察下列等式： 第1个等式：号日 31 第2个等式：5=2+10 .1 311 第3个等式：8=3十24 第4个等式：=44 3141 (1)写出第5个等式： 第2章整式及其加减 (2)写出第n个等式： (用含n的代数式表示). 3,331 (3)计算：5+1735 1 10102420 考点六同类项及合并同类项 典例7如果单项式 3x2y与6xy 2025 的和是单项式，那 (巴 分析 由题意可知，一 x+y与6xy+3是同 2 类项，因此这两个同类项的对应字母的指数 相等。 解答：由题意，得m十2=4，n十3=1，所以 n=2=-2所以) 2025 =-1. m 小结 如果两个单项式的和或者差是单项式，那么 这两个单项式是同类项 对应练习 7. 若3b3与 b-a的差是单项式， 1 则n一m= 考点七整式的化简求值 典例8先化简，再求值：4x2y 3xy2- 2xy,其中 x+1+(3y-1)2=0. 分析 先将多项式去括号，合并同类项，再根据非 负数的性质求出x,y的值，最后代入计算 数学（沪科版）七年级上 解答：原式=4x2y- 3.xy2-2xy2+5.x2y- 2xy=4x2y-3xy2十 2xy:5x'y +2ry-xy2-2xy -ry3y2.因为x+11+8y-1=0, 所以x+1=0,3y-1=0,即x=-1y=3 所以原式=-（-1)×号号×(-1D× 小结 整式的化简求值有两种类型，其一是直接代 入求值，其二是整体代入求值.整体代入求值时 需要将化简后的多项式转化到所给代数式，再代 入求值： 对应练习 8.[2026滁州定远期中]“整体思想”是数学 解题中一种重要的思想方法，它在多项式 的化简与求值中应用较为广泛.如图所示 为老师安排的作业题， 代数式x2十x十3的值为9，则代数式2x2+2x-3 的值为 (第8题) 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：因为 x2十x十3=9，所以x2十x=6.所以 2x2+2x-3=2(x2+x)-3=2X6-3= 9.所以代数式2x2十2x-3的值为9. 【方法运用】 (1)若代数式y3+y+1的值为5，求代数 式-3y3-3y十4的值 (2)当x=2时，代数式a.x3+bx+5的值 12 为9，求当x=一2时，代数式ax3十b.x十 4的值. 【拓展应用】 (3)若3m-4n=-13,mn=-1,求 6(m-n)-2(n-mn)的值. 考点八整式加减中的新定义问题 典例9定义：若两个多项式M与N的和为 常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个 常数称为它们的“对消值”.例如：M=2x2一 x十6与N=一2x2十x一1互为“对消多项 式”，它们的“对消值”为5. (1)3x2+2x与-3.x2+2互为“对消多项 式”吗？x一6与一x十2呢？ (2)求多项式-5x2y3+2xy与5x2y3-2xy 的“对消值”. (3)多项式A=x2-2a.x十a2与多项式 B=一bx2-2x十b(a,b为常数)互为“对消 多项式”，求它们的“对消值”. 分析 (1)求出每组中两个代数式的和，进行判 断即可；(2)根据题意直接计算求解即可； (3)求出A十B,根据新定义，进行求解即可. 解答：(1)3x2十2x-3x2十2=2x十2，不是 常数，所以3x2十2x与一3x2十2不是互为 “对消多项式”.x一6一x十2=一4，为常数， 所以x一6与一x十2互为“对消多项式”. (2)-5.x2y3+2xy与5.x2y3-2xy的“对消 值”为-5.x2y3+2.xy+5.x2y3-2xy=0. 第2章整式及其加减 (3)A+B=x2-2ax+a2-bx2-2x+b= (1) 请判断(2，)是否为“相伴有理 (1-b)x2-(2a+2)x+a2+b.由题意，得 1-b=0,2a十2=0，所以b=1,a=-1.所 数对” 以A+B=a2+b=1十1=2.所以它们的“对 (2)若(m,n)是“相伴有理数对”，求n 消值”为2. 3mm十之[7mm一(m+n]的值. 小结 解新定义运算题，首先读懂新定义，将新定 义转化到已学过的运算，然后利用已学过的知识 解决问题， 对应练习 9.[2026六安裕安期中]对于有理数a,b满 足a一b=ab+1,我们称使等式成立的一 对有理数a,b为“相伴有理数对”，记为 (a,b).如(-3,2)满足：-3-2=-3× 2十1，所以（一3,2）是“相伴有理数对”. 閏综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.下列叙述中，正确的是 () A.单项式x2y的系数是0，次数是3 B.多项式3a3b十2a2+1是六次三项式 C.多项式x2-2x-1的常数项是1 D.0是整式 2.[2026合肥期中]已知一3a2mb”和4ab2是同类项，则m十n的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 3.小明乘公共汽车到某地游玩，小明上车时，发现车上已有(6一2b)人，车到中途时，有一 半人下车，但又上来若干人，这时车上共有(10a一6b)人，则中途上车的人数为() A.16a-8b B.7a-5b C.4a-4b D.7a-7b 4.如果苹果的价格是a元/千克，梨子的价格是b元/千克，那么代数式50一(2a十3b)所表 示的意义是 5.[2025合肥期中]用相同的小菱形按如图所示的方式搭图形， 第1个图形第2个图形 第3个图形第4个图形第5个图形 (第5题) (1)按这种方式搭下去，搭第6个图形需要 个小菱形 (2)按这种方式搭下去，搭第n个图形需要 个小菱形（用含n的代数式表示，其 中n为偶数)，第2025个图形需要 个小菱形 13 数学（沪科版）七年级上 6.已知A=3a2b一2ab2十abc,小明错将“2A一B”看成“2A+B”,算得结果C=4a2b一 3ab2+4abc. (1)求B (2)小强认为正确结果的大小与c的取值无关，对吗？请说明理由， 7.如图，公园有一块长为(2a一1)米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出 宽都是b米的小路，余下部分设计成花圃ABCD,并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来。 (1)AB= 米，BC= 米（用含a,b的代数式表示）. (2)求篱笆的总长度（用含a,b的代数式表示） (3)若α=30，b=5,篱笆的价格为60元/米，请计算篱笆的总价. 墙 A 6米 花圃 b米a米 1b米 (2a-1)米 (第7题) 8.新考向代数推理题如图①所示为2026年1月的月历，用如图②所示的“九方格”在图①中 框住9个日期，并把其中被涂色方格覆盖的四个日期分别记为a,b,c,d. (1)a+d b十c(填“>“<”或“=”) (2)当图②在图①的不同位置时，式子a一2b+4c一3d的值是否为定值？若是，求出它 的值；若不是，请说明理由， 二三 四 五六 日 1 3 5 6 7 8 9 10 12 131415 16 17 8 a.9 19 2021 2 23 24 25 262728 29 3031 ① ② (第8题) 14附：答案与解析 第1章有理数 高频考点突破 01)-.(2)原式的倒数-（号-品+}-号） (←-)-（号-品+}-号）×(-36)=-8+21-9叶 24=28.所以原式0 2(1)+5;-6.因为第三天行驶了45km,第六天行驶 了34km,所以第三天处记录的数为45-40=+5，第六天 处记录的数为34-40=一6.(2)由题意，得一6+2十5 3+8-6+7=2+5+8+7一6-3-6=22-15=7(km), 40×7+7=280+7=287(km),287×0.2×0.5= 28.7(元)，所以王老师这7天开新能源汽车的电费为 28.7元.(3)350-350×20%=350-70=280(km), 280<287,所以行车电脑会发出充电提示。 ③(1)①一2；3.由题意，得点A,B之间的距离为2，点 B,C之间的距离为5一2=3，所以若以B为原点，则点A 表示的数是-2，点C表示的数是3。@-分 (2)因 为点B表示的数是1，点A到点B的距离为2个单位长 度，所以点A表示的数是一1.因为一个动点从点A处出 发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到 达点C,所以点C表示的数是一1+5一4=0.(3)由题 意，可得b<0<a,且|b|>a,所以-a>b,-b>a.所以 b<-a<a<-b. ④(1)因为la|=3且b|=7,所以a=±3，b=±7.因为 a<b,所以b=7,a=±3.所以a十b=10或4.(2)由题 意可知，a>0,b<0或a<0,b>0.当a>0,b<0时， 83(g-）=3(g-2）)=3×1+1)=6:当a<0, 6>0时.a(g)=3×(后2)=-综上所述， 3(日-公)的值为6或-6 ⑤B第1次“F”运算为3×13+1=40，第2次“F”运算 为碧-5，第3次F运算为3X5+1=16,第1次F运算 为日-1，第5次F运算为1X3十1=4，第6次F”运算 为量=1…发现规律：从第4次开始，结果就只是1,4两 个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1：次数是奇数 时，结果是4，而2025是奇数，所以第2025次“F”运算的 结果是4. 0"1,t.2原式=(1-)×(+)× (-号）×1+)×…×-2品)×(+) 、2014、20161008 201520152015 [综合素养提升] ①A因为a1=0,所以a2=-|0十1=-1，a3=-|-1+ 2|=-1,a1=-|-1+3|=-2,a5=-|-2+4|= 一2…所以a2m+1=a2n=一n(n为正整数).所以当2n十 1=2025时，n=1012.所以a2025=一1012. 2(1)7由题意，得|2-21+|-5-2|=0+7=7. (2)6由题意，得m-2+|n-2=2,易知当m,n都大 于2时，m十n取得最大值，为2十2+2=6. ③(1)14点A,对应的数为-2，点A2对应的数为6，点 A3对应的数为一6，点A1对应的数为10…依此类推，当 n为奇数时，A,=一2n;当n为偶数时，Am=21十2，所以 当n=6时，A6对应的数为2×6+2=14.(2)1012或 1013当n为奇数时，A,=一21，因为点A.与原点的距 离等于2026，所以|-2n|=2026,所以n=1013;当n为 偶数时，Am=21十2，因为点Am与原点的距离等于2026， 所以川21十2|=2026，所以n=1012.综上所述，n的值为 1013或1012. ④(1)根据题意，得(-3)×2+4×1+(-1)×3+2×3+ (一5)×2=一9（吨），所以这天冷库的冷冻食品比原来减少 了.(2)方案一：1(-3)×2+(-1)×3+(-5)×2|× 800+(4×1+2×3)×500=20200(元)：方案二：[1(-3)× 2+(-1)×3+(-5)×2|+4×1+2×3]×600= 17400(元)，因为17400<20200，所以选择方案二比较合适. 第2章 整式及其加减 高频考点突破] 0B原每台售价为m元，打9折后为品m元，再让利 n元，现在每台的售价为（品m-)元 2-贺6 ③一2由题意可知，最高次项指数k|=2,所以k=2或 k=一2.又因为2一k≠0，所以k≠2.所以k=一2. ④D输入a=一1，b=2,则将其代人(a一b)2,得(a一 b)2=(-1-2)2=9. ⑤15摆第1个图案要用火柴棒的根数为3；摆第2个图 案要用火柴棒的根数为5=3十2=1+2×2；摆第3个图案 要用火柴棒的根数为7=3十2十2=1十3×2…则摆第n个 41 数学（沪科版）七年级上 图案要用火柴棒的根数为2十1.所以第7个图案要用火 柴棒的根数为2×7+1=15. ++0=++日+成 +品成20名+甘+品是 ⑦-4由题意，得n+1=2,m-2=3,所以m=5,n=1. 所以n一m=1一5=一4. ⑧(1)因为y3+y+1=5,所以y3+y=4.所以原式= -3(y3+y)+4=-3×4+4=-8.(2)当x=2时， ax3+bx+5=8a+2b+5=9,所以8a+2b=4.所以当 x=-2时，ax3+bx+4=-8a-2b+4=一(8a+2b)+ 4=-4+4=0.(3)6(m-n)-2(n-mn)=6m-6n- 2n+2m=6m-8n+2m=2(3m一4n)+2m,因为3m 41=-13,mm=-1,所以原式=2×(-13)+2× (-1)=-26-2=-28. 0)银据题可知2-号2×号+1=号+1 号所以2-日=2X号十1.所以(2，号)是相停有翠数 对”.(2)因为(m,n)是“相伴有理数对”，所以m一n 7 mm+1.所以原式=n-3mn+2m-2(m+n)= 1 1 1 1 2mm-2(m-n)=2mn-2(mm+1)=2mm 1 1 1 2m-2=-2 [综合素养提升] ①D单项式x2y的系数为1，次数是3，故A错误；多项 式3a3b+2a2+1是四次三项式，故B错误；多项式x2一 2x一1的常数项是一1，故C错误；单独一个数或字母是单 项式，单项式和多项式统称为整式，故D正确。 ②B由同类项的定义，得2m=n,且n=2,则m=1,所以 m+n=3. 0B中途上车的人数为(10a-66)-6a,2驰=10a 2 6b-3a+b=7a-5b. ④用50元钱买2千克苹果和3千克梨子还剩的钱 ⑤(1)9根据表中的数据得，小菱形的个数从1开始，依 次加2，加1，加2，加1…则搭第6个图形需要9个小菱 形.(2)3037当n为偶数时，小菱形的个数依次 2 4 为3=3×1=3×2,6=3×2=3×2,9=3×3=3× “,所以第n个图形中小菱形的个数为所以第 6 42 2024个图形中小菱形的个数为3X2024-3036.因为第 2 2025个图形的小菱形比第2024个图形的小菱形多了 1个，所以第2025个图形需要3037个小菱形 6(1)因为2A+B=C,所以B=C-2A=(4a2b 3ab2+4abc)-2 (3a2b-2ab2+abc)=-2a2b+ab2+ 2ab.(2)对.理由：2A-B=2(3a2b-2ab2+abc）一 (一2a2b十ab2+2abc)=8a2b一5ab2,因为正确结果中不含 c,所以正确结果的大小与c的取值无关 ⑦(1)(a-b);(2a-2b-1).(2)因为BC=(2a-2b- 1)米，AB=(a一b)米，所以篱笆的总长度为(2a一2b 1)+2(a-b)=2a-2b-1+2a-2b=(4a-4b-1)米. (3)当a=30,b=5时，篱笆的总价为(4a一4b-1)×60= (4×30-4×5-1)×60=5940(元. ⑧(1)=.设a=n(n为正整数)，则d=n十16，b=n+ 14,c=n+2,则b+c=n+14+n+2=2m+16,a+d=n十 n+16=2m+16,所以a十d=b+c.(2)代数式a-2b+ 4c一3d的值是定值.设a=n(n为正整数)，则c=n十2， d=n+16,b=n+14,所以a一2b+4c-3d=n-2(n+ 14)+4(n+2)-3(n+16)=n-21-28+4n+8-3m- 48=n-21+4n-3m-28+8-48=-68.所以a-2b+ 4c一3d的值为定值，其定值为一68. 第3章一次方程与方程组 [高频考点突破] ①B由5x-3=7,两边都加上3，得5x=10,故A不符 合题意；由-弓x=2,两边部乘以-3，得x=一6，故B符 合题意：由一8=4，两边都除以-8，得x=一号故C不 符合题意；由4一x=3,移项、合并同类项，得一x=一1，系 数化为1，得x=1,故D不符合题意 2一1因为方程(k一1)x十4=0是关于x的一元一次 方程，所以k|=1,且k一1≠0.所以k=-1. ③-5因为x=一3是关于x的一元一次方程mx十 2m=5的解，所以-3m+21=5.所以3m-21=-5. ④(1)移项，得2x-3x=-1-5.合并同类项，得-x= 一6.系数化为1，得x=6.(2)去括号，得2x一8=3x+ 15.移项，得2x-3x=15+8.合并同类项，得-x=23.系 数化为1，得x=-23.(3)去分母，得4(2x一1) 3(2x-3)=12.去括号，得8x-4-6x+9=12.移项，得 8x一6x=12十4一9.合并同类项，得2x=7.系数化为1，得 x=子(0将分母化为整数，得0.310g+4=1. 3 去分母，得3(20x-3)一5(10x十4)=15.去括号，得60x一